畢業(yè)論文數(shù)學(xué)建模競賽全國二等獎?wù)撐?doc

輸油管的布置摘要：針對兩煉油廠到鐵路線的距離和兩煉油廠間的距離等各種不同情形，分析了車站與兩煉油廠三者間的關(guān)系，建立了管道建設(shè)費用的數(shù)學(xué)模型。在問題一中，建立了四種不同情形下鋪設(shè)管線費用最省的方案，利用費爾馬點的相關(guān)性質(zhì)，對共用管線與非共用管線的不同費用，建立了關(guān)于總費用的函數(shù)關(guān)系式。在問題二中，利用第一問建立的數(shù)學(xué)模型，結(jié)合問題二的題設(shè)，在計算城區(qū)管線附加費用時，利用求解加權(quán)平均數(shù)建立了新的函數(shù)關(guān)系式；在問題三中，根據(jù)實際需要，結(jié)合管線費用的不同，又建立了相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，解出了最省費用時管線的布置方案。關(guān)鍵詞：管道建設(shè)，最短距離，費爾馬點一、 問題的重述要在鐵路線的一側(cè)建造兩家煉油廠，同時在此鐵路線上增建一個車站，用來運送成品油。由于這種模式具有一定的普遍性，于是我們需要建立管線建設(shè)費用最省的一般數(shù)學(xué)模型與方法。1.針對兩煉油廠到鐵路線距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形，建立管線建設(shè)的設(shè)計方案。在計算費用時，還要考慮共用管線費用與非共用管線費用相同或不同的情形；2.兩煉油廠的具體位置如圖所示，其中A廠位于郊區(qū)（圖中的I區(qū)域），B廠位于城區(qū)（圖中的II區(qū)域），兩個區(qū)域的分界線用圖中的虛線表示。圖中各字母表示的距離（單位：千米）分別為a = 5，b = 8，c = 15，l = 20。若所有管線的鋪設(shè)費用均為每千米7.2萬元（鋪設(shè)在城區(qū)的管線還需增加拆遷和工程補償?shù)雀郊淤M用）， 要求設(shè)計管線布置方案及相應(yīng)的費用；注：聘請的三家工程咨詢公司（其中公司一具有甲級資質(zhì)，公司二和公司三具有乙級資質(zhì)）對此附加費用的估算結(jié)果如下表所示：工程咨詢公司公司一公司二公司三 附加費用（萬元/千米）2124203. 在該實際問題中，為進一步節(jié)省費用，可以根據(jù)煉油廠的生產(chǎn)能力，選用相適應(yīng)的油管。這時的管線鋪設(shè)費用將分別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬元，輸送B廠成品油的每千米6.0萬元，共用管線費用為每千米7.2萬元，拆遷等附加費用同上。設(shè)計出管線最佳布置方案及相應(yīng)的費用。二、 問題分析本文主要研究如何布置輸油管及確定相應(yīng)的車站位置，使得總建設(shè)費用最少。我們把兩煉油廠及車站的連線看成一個三角形，當(dāng)共用管線與非共用管線的價格相同時，要使建設(shè)費用最省，我們只要使得兩煉油廠到車站的距離和最小。我們利用費爾馬點及相關(guān)性質(zhì)，針對兩煉油廠到鐵路線的距離和兩煉油廠間距離的各種不同情形設(shè)計出了相應(yīng)的費用最省的管道鋪設(shè)方案。當(dāng)共用管線與非共用管線的價格不同時，我們可以建立總費用（P）與管道接點到鐵路線的距離（h）、管道接點到A煉油廠的距離（t）之間的一個函數(shù)關(guān)系式 進而求出費用最省時的h與t值，也就確定了此時費用最省的輸油管的布置。針對城區(qū)管道的鋪設(shè)需要增加額外費用，我們可以建立總費用（P）與費爾馬點到鐵路線的距離（h）之間的函數(shù)關(guān)系式P（h）=令，可計算出相應(yīng)的費用最省時的h的值（1.854），再將其代入函數(shù)關(guān)系式，計算出最省的費用Pmin(282.6948 )。當(dāng)管線鋪設(shè)費用分別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬元，輸送B廠成品油的每千米6.0萬元，共用管線費用為每千米7.2萬元時，利用同上的方法求出相應(yīng)的總費用P與費爾馬點到鐵路線的距離（h）的函數(shù)關(guān)系式，進而求出相應(yīng)的最省費用時的h與費用Pmin。三、 模型假設(shè)與約定1. 假設(shè)公司一的加權(quán)平均數(shù)為0.5，公司二、三的加權(quán)平均數(shù)均為0.25；2. 假設(shè)管道交接處不需額外費用；3. 假設(shè)每一段管線都為直線；4. 忽略管線鋪設(shè)過程中造成的非預(yù)期費用。四、 符號說明及名詞定義費爾馬點：到三角形的三個頂點的距離之和最短的點。對于一個頂角不超過120度的三角形，費爾馬點是對各邊的張角都是120度的點。對于一個頂角超過120度的三角形，費爾馬點就是最大的內(nèi)角的頂點。L 表示煉油廠間距 Pn 表示總費用 A 表示煉油廠一 B 表示煉油廠二M 表示火車站位置 a 表示煉油廠一到鐵路線的距離Sn 表示鋪設(shè)管線長度 n=1,2,3 表示城區(qū)管線每千米所需費用 b 表示煉油廠二到鐵路線的距離 p 表示每千米非共用管線的費用kp 表示每千米共用管線和附加費用的總和 （k1）五、 模型建立與求解問題一的模型：1.當(dāng)共用管線與非共用管線費用相同時：要使得總費用最省，只須使得兩煉油廠到車站的距離和最小，因此我們可以把兩煉油廠與車站的連線看成三角形，用費爾馬點來確定最短距離。但由于兩煉油廠間的距離及它們到鐵路線的距離是不確定的，因而會出現(xiàn)以下幾種情型：當(dāng)，時，如圖2，點D( x ，0)，使得。 解得：x=當(dāng)車站建在D的左側(cè)時，根據(jù)費爾馬點定義可知A為費爾馬點，當(dāng)車站位于M點時所需鋪設(shè)的管線長度最小(如圖3)，最小長度為S1：S1=AB+AC= ，此時對應(yīng)的費用為當(dāng)車站建在D的右側(cè)時，根據(jù)費爾馬點定義找出費爾馬點O，由鐵路線與A，B兩煉油廠及費爾馬點的關(guān)系，如圖。當(dāng)O在弧AB上運動時，由費爾馬點定義可知，費爾馬點必在弧AB上運動，則最短距離為：Smin=OA+OB+OM 解得：o1=m1 ， 所以車站建在費爾馬點正下方時距離和最小。 S2=OA+OB+OM OA= OB= OM=x解得：S2= ，最省費用為P2= 綜合、，則最短距離Smin=min S1，S2 ，最省費用為Pmin=min P1，P2 當(dāng)，時，此時最短距離同上車站建在D右側(cè)，即S3=S2= ， 最省費用為 當(dāng)L=0，此時車站在A、B的正下方C處，則最短距離Smin=b，最省費用為P4= (如圖5) 當(dāng)時，此時車站位于AB之間距離最短Smin=L，最省費用為P5= (如圖6)2.當(dāng)共用管線與非共用管線費用不同時，令非共用管線的價格為p，共用管線的價格為kp(k1)，如圖7，設(shè)管線交接點O(t，h)。則建立函數(shù)關(guān)系： P(h,t)= 解得：令 =0=0解得h= 2/(b2-4*b*h+2*b*a+a2-4*a*h+L2+4*h2)(1/2)*(a-2*h+b)*P t= L*(a-h)/(a-2*h+b)問題二的模型： 由于II區(qū)域需付附加費，因此要盡量使在II區(qū)域內(nèi)的管線短些。但在II區(qū)域的管線變短的過程中，I區(qū)域的管線則變長了。根據(jù)第一問的分析，我們可知在I區(qū)域時，距離最短。如圖7；則鋪設(shè)管線的總費用：P=P1+P2p=7.2 解得總費用： P=P1+P2 = 令，即解得x=0.063，h=1.854則當(dāng)h=1.854時費用最少，Pmin=282.6948 S1 = 6.292 S2 = 12.166 S3 =5.0004管線布置方案如圖7乙所示：問題三的模型：當(dāng)管線鋪設(shè)費用將分別降為輸送A廠成品油的每千米5.6萬元，輸送B廠成品油的每千米6.0萬元，共用管線費用為每千米7.2萬元，拆遷等附加費用同上時，總費用解得令 ，得h=1.80232此時最小費用為Pmin=253.492293六、 模型檢驗及改進模型的檢驗問題二模型檢驗 問題三模型的檢驗hP1290.3451.5284.0681.854282.69482282.9352.5287.448hP1259.73291.5254.27331.80232253.49232253.74012.5260.3487模型的改進由于在實際操作過程中，難免會產(chǎn)生材料的損失等其他費用，因此我們應(yīng)在模型后加上一個額外費用（Q）問題二的模型應(yīng)改為：P=P1+P2 = +Q問題三的模型應(yīng)該為：+Q參考文獻：1 姜啟源，謝金星，葉俊，數(shù)學(xué)模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003；2 劉鵬林，林元重，黃清蘭，高等數(shù)學(xué)（上），北京：高等教育出版社，2010；3 萬福永，戴浩暉，潘建瑜，數(shù)學(xué)實驗教程（Matlab），北京：科學(xué)出版社，2006；附錄：圖像： 編程：問題一：syms a h t L bE1=sym(-P*(a-h)/(a-h)2+t2)(1/2)+(b-h)/(b-h)2+(L-t)2)(1/2)+kp=0)E2=sym(P*t/(a-h)2+t2)(1/2)-P*(L-t)/(b-h)2+(L-t)2)(1/2)=0);h,t=solve(E1,E2)問題二：syms a b L x;E1=sym(sqr(3)*(a-x)+sqr(3)*(b-x)-L=0);x=solve(E1);OA=2*(a-x);OB=2*(b-x);OM=x;S2=OA+OB+OMsyms x h L;S1=2*(5-h);S2=2*(8-x-h);S3=(25+x2)(1/2);E1=(3(1/2)*(5-L)+3(1/2)*(8-x-h)=15);P=solve(S1*5.6+S2*6+S3*27.5)syms p h;E1=sym(28.7*2*(-2)*(13-5*1.732-2*h)/(2*(25+(13-5*1.732-2*h)2)(1/2)+7.2 =0);h=solve(E1)問題三syms x h t;E1=sym(5.6*x/(5-h)2+x2)(1/2)=6*(15-x)/(15-x)2+(8-t-h)2)(1/2);E2=sym(5.6*(5-h)/(5-h)2+x2)(1/2)+6*(8