二項(xiàng)分布及泊松分布.ppt

二項(xiàng)分布,例1 設(shè)生男孩的概率為p,生女孩的概率為 q=1-p，令X表示隨機(jī)抽查出生的4個(gè)嬰兒中“男孩”的個(gè)數(shù).,一、,我們來(lái)求X的概率分布.,X的概率函數(shù)是：,男,女,X表示隨機(jī)抽查的4個(gè)嬰兒中男孩的個(gè)數(shù)， 生男孩的概率為 p.,X可取值0,1,2,3,4.,例2 將一枚均勻骰子拋擲10次， 令X 表示3次中出現(xiàn)“4”點(diǎn)的次數(shù),X的概率函數(shù)是：,不難求得，,擲骰子：“擲出4點(diǎn)”，“未擲出4點(diǎn)”,一般地，設(shè)在一次試驗(yàn)中我們只考慮兩個(gè) 互逆的結(jié)果：A或 ， 或者形象地把兩個(gè)互逆結(jié)果叫做“成功”和“失敗”.,新生兒：“是男孩”，“是女孩”,抽驗(yàn)產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”,這樣的n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)稱作n重貝努利試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱貝努利試驗(yàn)或貝努利概型.,再設(shè)我們重復(fù)地進(jìn)行n次獨(dú)立試驗(yàn) ( “重復(fù)”是指這次試驗(yàn)中各次試驗(yàn)條件相同 )，,每次試驗(yàn)成功的概率都是p，失敗的概率 都是q=1-p.,用X表示n重貝努利試驗(yàn)中事件A（成功）出現(xiàn)的次數(shù)，則,（2）,不難驗(yàn)證：,（1）,稱r.vX服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，記作,XB(n,p),當(dāng)n=1時(shí)， P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1 稱X服從0-1分布,例3 已知100個(gè)產(chǎn)品中有5個(gè)次品，現(xiàn)從中 有放回地取3次，每次任取1個(gè)，求在所取的3個(gè)中恰有2個(gè)次品的概率.,解: 因?yàn)檫@是有放回地取3次，因此這3 次試驗(yàn) 的條件完全相同且獨(dú)立，它是貝努利試驗(yàn).,依題意，每次試驗(yàn)取到次品的概率為0.05.,設(shè)X為所取的3個(gè)中的次品數(shù)，,于是，所求概率為：,注：若將本例中的“有放回”改為”無(wú)放回”，那么各次試驗(yàn)條件就不同了，不是貝努里概型，此時(shí)，只能用古典概型求解.,二項(xiàng)分布描述的是n重貝努里試驗(yàn)中出現(xiàn) “成功”次數(shù)X的概率分布.,可以簡(jiǎn)單地說(shuō)，,例4 某類燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上 的概率是0.2，求三個(gè)燈泡在使用1000 小時(shí)以后最多只有一個(gè)壞了的概率.,解: 設(shè)X為三個(gè)燈泡在使用1000小時(shí)已壞的燈泡數(shù) .,X B (3, 0.8)，,把觀察一個(gè)燈泡的使用 時(shí)數(shù)看作一次試驗(yàn), “使用到1000小時(shí)已壞” 視為“成功”.每次試驗(yàn) “成功”的概率為0.8,P(X 1) =P(X=0)+P(X=1),=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2,=0.104,對(duì)于固定n及p，當(dāng)k增加時(shí) ,概率P(X=k) 先是隨之增加直至 達(dá)到最大值, 隨后單調(diào)減少.,當(dāng)(n+1)p不為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P(X=k)在k=(n+1)p達(dá)到最大值；,( x 表示不超過(guò) x 的最大整數(shù)),對(duì)于固定n及p，當(dāng)k增加時(shí) ,概率P(X=k) 先是隨之增加直至 達(dá)到最大值, 隨后單調(diào)減少.,當(dāng)(n+1)p為整數(shù)時(shí)，二項(xiàng)概率P(X=k)在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1處達(dá)到最大值.,想觀看二項(xiàng)分布的圖形隨參數(shù)n,p的具體變化，請(qǐng)看演示,二項(xiàng)分布,例5 為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修工人 . 設(shè)共有300臺(tái)設(shè)備，每臺(tái)的工作相互獨(dú)立，發(fā)生故障的概率都是0.01.若在通常的情況下，一臺(tái)設(shè)備的故障可由一人來(lái)處理 . 問(wèn): (1)若只配備一名工人，則設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率是多少？ (2)若配備兩名工人，則設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率是多少？,(3) 若使設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概 率小于0.01，至少應(yīng)配備多少工人?,我們先對(duì)題目進(jìn)行分析：,300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，出故障概率都是 0.01 . 一臺(tái)設(shè)備故障一人來(lái)處理.,設(shè)X為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，,300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，每臺(tái)出故障概率 p=0.01 . 可看作n=300的貝努利概型.,XB(n,p)，n=300, p=0.01,可見(jiàn)，,“若只配備一名工人”那么只要同時(shí)發(fā)生故 障的設(shè)備的臺(tái)數(shù)X大于1，其中的X-1 臺(tái)設(shè)備就 會(huì)得不到及時(shí)維修。即所求為,問(wèn)(1)若只配備一名工人，則設(shè)備發(fā)生故障 而不能及時(shí)維修的概率是多少？,同理，“若只配備兩名工人”那么只要同時(shí) 發(fā)生故障的設(shè)備的臺(tái)數(shù)X大于2即可。所求為,300臺(tái)設(shè)備，獨(dú)立工作，出故障概率都是0.01 . 一臺(tái)設(shè)備故障一人來(lái)處理. 問(wèn)(3) 需配備多少工人，若使設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率小于0.01?,設(shè)X為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，,XB(n,p)，n=300, p=0.01,設(shè)需配備N個(gè)工人，,所求的是滿足,的最小的N.,P(XN) 0.01 或 P(X N) 0.99,下面給出正式求解過(guò)程：,由此結(jié)果知，配備一名工人，設(shè)備發(fā)生故 障而不能及時(shí)維修的概率很大，故配備一名工 人不合理。,可見(jiàn)，配備兩名工人，設(shè)備發(fā)生故障而 不能及時(shí)維修的概率仍然很大，故配備兩名 工人仍不合理。,(3)設(shè)需配備N個(gè)維修工人，使得設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率小于0.01，有,P(XN),通過(guò)計(jì)算可知，,則要使設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概 率小于0.01，只需配備8名工人，平均每人負(fù)責(zé) 38臺(tái)。,若將該例改為： (1)若由一人負(fù)責(zé)20臺(tái)設(shè)備，求這20臺(tái)設(shè)備 發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率；,解：(1)設(shè)隨機(jī)變量X表示20臺(tái)設(shè)備在同一 時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，則,(2)若由3人共同負(fù)責(zé)維修80臺(tái)設(shè)備，求這 80臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率。,解：設(shè)隨機(jī)變量X表示80臺(tái)設(shè)備在同一時(shí)刻 發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，則,由(1)(2)結(jié)果，可看出后者的管理經(jīng)濟(jì)效益要 好得多。,例6 某人去一服務(wù)單位辦事，排隊(duì)等候的時(shí) 間(分鐘)為一隨機(jī)變量，設(shè)其概率密度為：,若此人等候時(shí)間超過(guò)15分鐘則憤然離去。假 設(shè)此人一個(gè)月要到該服務(wù)單位辦事10次，則 (1)此人恰好 有2 次憤然離去的概率； (2)此人至少有2次憤然離去的概率； (3)此人多數(shù)會(huì)憤然離去的概率。,解：,設(shè)隨機(jī)變量Y表示“此人來(lái)服務(wù)單位辦事 10次中憤然離去的次數(shù)”，則,(1)此人恰好 有2 次憤然離去的概率；,(2)此人至少有2次憤然離去的概率；,(3)此人多數(shù)會(huì)憤然離去的概率。,二、二項(xiàng)分布的泊松近似,我們先來(lái)介紹二項(xiàng)分布的泊松近似，下一講中，我們將介紹二項(xiàng)分布的正態(tài)近似.,或諸如此類的計(jì)算問(wèn)題，必須尋求近似方法.,當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n很大時(shí)，計(jì)算二項(xiàng)概率變得很麻煩，若 要計(jì)算,定理的條件意味著當(dāng) n很大時(shí)，p 必定很小. 因此，泊松定理表明，當(dāng) n 很大，p 很小時(shí)有以下近似式：,其中,(證明見(jiàn)下一頁(yè)).,證明：,n 100, np 10 時(shí)近似效果就很好,請(qǐng)看演示,二項(xiàng)分布的泊松近似,實(shí)際計(jì)算中，,其中,例5 為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修工人 . 設(shè)共有300臺(tái)設(shè)備，每臺(tái)的工作相互獨(dú)立，發(fā)生故障的概率都是0.01.若在通常的情況下，一臺(tái)設(shè)備的故障可由一人來(lái)處理 . 問(wèn): (1)若只配備一名工人，則設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率是多少？ (2)若配備兩名工人，則設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率是多少？,解：設(shè)X為300臺(tái)設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，,XB(n,p)，n=30010, p=0.010.1,(3) 若使設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概 率小于0.01，至少應(yīng)配備多少