高等數(shù)學(xué)第8章D85平面方程.ppt

,第五節(jié),一、平面的點(diǎn)法式方程,二、平面的一般方程,三、兩平面的夾角,平面及其方程,第八章,一、平面的點(diǎn)法式方程,設(shè)一平面通過(guò)已知點(diǎn),且垂直于非零向,稱(chēng)式為平面的點(diǎn)法式方程,求該平面的方程.,法向量.,量,則有,故,例1.求過(guò)三點(diǎn),即,解: 取該平面 的法向量為,的平面 的方程.,利用點(diǎn)法式得平面 的方程,此平面的三點(diǎn)式方程也可寫(xiě)成,一般情況 :,過(guò)三點(diǎn),的平面方程為,說(shuō)明:,特別,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為,此式稱(chēng)為平面的截距式方程.,時(shí),平面方程為,分析: 利用三點(diǎn)式,按第一行展開(kāi)得,即,二、平面的一般方程,設(shè)有三元一次方程,以上兩式相減 , 得平面的點(diǎn)法式方程,此方程稱(chēng)為平面的一般,任取一組滿足上述方程的數(shù),則,顯然方程與此點(diǎn)法式方程等價(jià),的平面,因此方程的圖形是,法向量為,方程.,特殊情形, 當(dāng) D = 0 時(shí), A x + B y + C z = 0 表示,通過(guò)原點(diǎn)的平面;, 當(dāng) A = 0 時(shí), B y + C z + D = 0 的法向量,平面平行于 x 軸;, A x+C z+D = 0 表示, A x+B y+D = 0 表示, C z + D = 0 表示, A x + D =0 表示, B y + D = 0 表示,平行于 y 軸的平面;,平行于 z 軸的平面;,平行于 xOy 面 的平面;,平行于 yOz 面 的平面；,平行于 zOx 面 的平面.,例2. 求通過(guò) x 軸和點(diǎn)( 4, 3, 1) 的平面方程.,例3.用平面的一般式方程導(dǎo)出平面的截距式方程.,解:,因平面通過(guò) x 軸 ,設(shè)所求平面方程為,代入已知點(diǎn),得,化簡(jiǎn),得所求平面方程,(P39例4 , 自己練習(xí)),三、兩平面的夾角,設(shè)平面1的法向量為,平面2的法向量為,則兩平面夾角 的余弦為,即,兩平面法向量的夾角(常指銳角)稱(chēng)為兩平面的夾角.,特別有下列結(jié)論：,因此有,例4. 一平面通過(guò)兩點(diǎn),垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程 .,解: 設(shè)所求平面的法向量為,即,的法向量,約去C , 得,即,和,則所求平面,故,方程為,且,外一點(diǎn),求,例5. 設(shè),解:設(shè)平面法向量為,在平面上取一點(diǎn),是平面,到平面的距離d .,則P0 到平面的距離為,(點(diǎn)到平面的距離公式),例6.,解: 設(shè)球心為,求內(nèi)切于平面 x + y + z = 1 與三個(gè)坐標(biāo)面所構(gòu)成,則它位于第一卦限,且,因此所求球面方程為,四面體的球面方程.,故,內(nèi)容小結(jié),1.平面基本方程:,一般式,點(diǎn)法式,截距式,三點(diǎn)式,2.平面與平面之間的關(guān)系,平面,平面,垂直:,平行:,夾角公式:,思考與練習(xí),P42 題4 , 5, 8,第六節(jié),作業(yè) P42 2 , 6 , 7 , 9,備用題