二維區(qū)域本征值問題的研究畢業(yè)論文.doc

二維區(qū)域上本征值問題的研究 第 9 頁 共 9 頁二維區(qū)域上本征值問題的研究徐榮超 ( 安慶師范學(xué)院物理與電氣工程學(xué)院 安徽 安慶 246011)指導(dǎo)教師：章禮華摘要：本文是對二維區(qū)域上的本征值問題進行研究，二維本征值問題涉及二維振動問題、輸運問題以及穩(wěn)定場等問題。首先寫出相關(guān)的定解問題，然后導(dǎo)出二維本征值問題，如矩形、圓形、三角形、扇環(huán)形等區(qū)域，并運用數(shù)學(xué)物理方法教程中所涉及的方法對其進行求解，例如分離變量法，拉普拉斯變換法，得到本征值和本征函數(shù)。最后對各種二維區(qū)域的本征值問題進行總結(jié)，并進行分析比較。關(guān)鍵詞：二維區(qū)域，本征值問題，分離變量法1 引言在運用數(shù)學(xué)物理方程來研究物理問題時，我們都必須要解數(shù)學(xué)物理方程,而求解數(shù)學(xué)物理方程的過程中必然會產(chǎn)生本征值問題，需要我們對本征值問題進行求解。梁昆淼的數(shù)學(xué)物理方法、姚端正的數(shù)學(xué)物理方法以及四川大學(xué)出版的高等數(shù)學(xué)第四冊均詳細的向我們講解了利用分離變量法、積分變換等方法來對各種有界問題進行求解，其中包括矩形區(qū)域和圓形區(qū)域1 2 3；章禮華的等腰三角形薄膜振動的解析解在矩形膜的特征解的基礎(chǔ)上，求解了占據(jù)等腰三角形區(qū)域的均勻膜的橫振動問題，并討論了等腰三角形的均勻膜的橫振動的某些性質(zhì)4；彭芳麟的數(shù)學(xué)物理方程的MATLAB求解與可視化以及計算物理基礎(chǔ)向我們介紹了利用MATLAB指令來求解二維區(qū)域上本征值問題，并可將結(jié)果用圖形甚至動畫表現(xiàn)出來5 6。在解決二維振動方程問題、輸運問題或者穩(wěn)定場等問題時免不了要面臨對二維本征值問題的求解，因此研究二維區(qū)域上本征值問題對于解決各種二維數(shù)學(xué)物理方程有著非常重要的作用和意義。2 本征值問題的基本概念考慮長為兩端固定的弦的自由振動 (1)由經(jīng)典力學(xué)的知識我們清楚地知道，兩端固定的弦的自由振動會產(chǎn)生駐波，這就指導(dǎo)我們應(yīng)該考慮利用駐波的一些性質(zhì)來解決這樣的問題。在經(jīng)典力學(xué)中，駐波的表達式為 (2)對于定解問題(1)式可設(shè)其分離變數(shù)的試探解為 (3)也就是說和分別只是變量和的函數(shù)，變量和可以分開互不影響。把試探解（3）式帶入定解問題方程，分離變量得到，即 （4）由（4）式可以看出，等式左邊只是的函數(shù)，右邊只是的函數(shù)，它們是兩個相互獨立的變量，因此只有當(dāng)兩邊都是常數(shù)時，上述等式才可以成立。我們令這個常數(shù)為，即（4）式可以寫成 （5）由（5）式改寫得到兩個常微分方程 ， ， （6）其中被稱為分離常數(shù)?，F(xiàn)將分離變數(shù)的試探解代入邊界條件，即可以得到 ， （7）因為我們考慮的是非零解，所即應(yīng)不恒為零，所以我們可以得到齊次邊界條件。這樣一來，求偏微分方程定解問題的解，即是求常微分方程滿足齊次邊界條件的非零解。只有當(dāng)取某些特定數(shù)值時，偏微分方程定解問題才有非零解，由偏微分方程和邊界條件構(gòu)成的問題，即 （8）稱為本征值問題，稱為本征值問題的本征值，相應(yīng)的非零解為本征值問題的本征函數(shù)，求本征值和本征函數(shù)的問題即為本征值問題。3 二維區(qū)域上本征值問題的研究3.1矩形區(qū)域上本征值問題0考慮邊界條件為四邊固定，求解區(qū)域為0，0的矩形膜的橫向振動問題，如圖1所示。圖1.矩形薄膜的橫向振動與之相對應(yīng)的定解問題為 （9）將定解問題分離變量得三個方程為 (10) (11) (12)方程（10）和其對應(yīng)的邊界條件構(gòu)成一個本征值問題 (13) 方程（11）和其對應(yīng)的邊界條件構(gòu)成又一個本征值問題 (14)分別求解得到本征值問題（13）和（14）的本征值和本征函數(shù)分別為 (15) (16)即得到矩形膜的振動的本征模為 3.2 圓形區(qū)域上本征值問題考慮一個半徑為,上下兩面絕熱的薄圓盤上的穩(wěn)定溫度分布問題，如圖2所示。由于邊界是圓周，因此采用極坐標(biāo)求解更為簡便，又因為圓盤的上下兩面絕熱，所以沒有熱量流動，又因為圓盤很薄，因此可以看成是二維圓形區(qū)域的穩(wěn)定場問題。在極坐標(biāo)下該問題可以表示為 （17）其中為已知的函數(shù)，表示圓盤邊緣的溫度函數(shù)。將極坐標(biāo)中的的表達式帶入定解問題（17）式中可以得到O圖2.圓形的薄圓上穩(wěn)定的溫度分布 （18） 以分離變數(shù)形式的試探解 （19）帶入（18）式，運用分離變量法得到兩個方程 （20） 由于定解問題的邊界條件是并不是齊次的，因此我們無法運用分離變量法對其進行求解，但是我們可以經(jīng)過分類討論來求解本征值以及與其相對應(yīng)的本征函數(shù)。由于在一般的物理問題中，函數(shù)為單值函數(shù)，因此我們可以得到周期性的邊界條件由（19）式即可得也就是需要滿足條件這就給關(guān)于的方程提出了周期性的邊界條件，因此我們得到了一組本征值問題 （21）若則本征值問題（21）的解為其中為常數(shù)，由周期性邊界條件可知所以可得，即若，記，則本征值問題（21）的通解為由于實指數(shù)函數(shù)不是周期函數(shù)，顯然它不滿足周期條件，因此此種情況并不存在。若，則本征值問題的通解為將邊界條件帶入即可得到，但是由于當(dāng)取正整數(shù)和負整數(shù)時本征值方程是線性相關(guān)的，故只要取綜上所述，本征值問題（21）的本征值和相應(yīng)的本征函數(shù)為 （22） （23）3.3等腰直角三角形區(qū)域上本征值問題 圖3.等腰直角三角形均勻膜的橫向振動考慮如圖3所示的直角邊固定斜邊固定（或自由）的等腰直角三角形均勻膜作橫振動的問題時，可以寫出與之對應(yīng)的定解問題 （24）以分離變數(shù)的試探解，分離變量可得所滿足的本征值問題為 （25）式子中為常數(shù)，由于斜邊上邊界條件顯然不能直接采取分離變量法來進一步求解，但是根據(jù)已在數(shù)學(xué)物理方法教材1 2 3中討論過的問題，邊長為的正方形區(qū)域上相對應(yīng)的本征值，相應(yīng)的本征函數(shù)為 （26）顯然滿足本征值問題（25）中的方程以及兩個直角邊上的邊界條件，但還是滿足不了斜邊上的邊界條件。為了找到能滿足斜邊上邊界條件的解，我們可以假想式（26）中的相應(yīng)于同一本征值的兩個不同函數(shù)的組合，即，這樣假想給出的顯然可以滿足式（25）中的方程以及兩個直角邊上的邊界條件，并且同屬于本征值。將這樣給出的帶入斜邊上的邊界條件，得到 （27）因此只需要取就可以了，因此我們可以得到本征值問題（25）的本征值和本征函數(shù)分別為， (28)， (29)3.4扇環(huán)形區(qū)域上本征值問題O圖4.扇環(huán)形薄膜的橫向振動考慮如圖4所示的夾角為周邊固定的扇環(huán)形薄膜的橫向振動，為了簡便，我們采用極坐標(biāo)系來表示，表示內(nèi)外環(huán)的半徑。可以寫出其對應(yīng)的定解問題為 （30）采用分離變數(shù)的試探解，令代回上述方程得 （31）即可得到兩個方程如下 （32） （33）由方程（33）和式（30）中的邊界條件構(gòu)成了本征值問題 （34）當(dāng)時，（33）式的通解為 （35）由邊界條件可得即解得本征值和本征函數(shù)分別為 （36） （37）3 結(jié)語綜合全文來看，在矩形和等腰直角三角形區(qū)域中，涉及的本征值問題的類型為 相應(yīng)的本征值，本征函數(shù)為。在圓形和扇環(huán)形區(qū)域中，定解問題采用極坐標(biāo)求解，其中在圓形區(qū)域中涉及的本征值問題為相應(yīng)的本征值為，本征函數(shù)為，其邊界條件為周期性的邊界條件,而在扇環(huán)形區(qū)域中周期性的邊界條件便不再成立。參考文獻1梁昆淼，劉法，繆國慶，數(shù)學(xué)物理方法(第四版)，高等教育出版社,2010。2姚端正，梁家寶，數(shù)學(xué)物理方法（第三版），科學(xué)出版社，2010。3四川大學(xué)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)教研室，高等數(shù)學(xué)第四冊（第二版），四川大學(xué)出版社，1985。4章禮華，朱德權(quán)，王其申，等腰三角形薄膜橫振動的解析解，大學(xué)物理，2012（7），31-33。5彭芳麟,數(shù)學(xué)物理方程的MATLAB求解與可視化，清華大學(xué)出版社,2004。6彭芳麟,計算物理基礎(chǔ)，高等教育出版社,2010。Research on eigenvalue problem of the two-dimensional areaXU Rong-chao (School of Physics and Electrical Engineering of Anqing Normal College, Anqing 246011)Abstract : In this paper, we make a research on eigenvalue problem of the two-dimensional area. The two-dimensional eigenvalue problem relates to vibration problem, transport problem and stable field problem. First, we have to write out relevant definite solutions problem, then find out the two-dimensional eigenvalue problem. The two-dimensional area includes the range of rectangular, circular, triangular and sector annual area. Besides, we can use the methods what had be mentioned in the Methods of Mathematical physics, such as variables separation, method of Laplace transformation. Through solving the eigenvalue equation, we obtained the eigenvalue and