數(shù)學(xué)建模范文

2高等數(shù)學(xué)建模案例1221一元函數(shù)微積分12案例1反復(fù)學(xué)習(xí)及效率12案例2旅游方案的最優(yōu)選擇13案例3星級(jí)賓館的定價(jià)14案例4高速問(wèn)題15案例5最短路徑問(wèn)題16案例6網(wǎng)球比賽的場(chǎng)次18案例7硬幣游戲中的數(shù)學(xué)對(duì)稱18案例8椅子能在不同地面放穩(wěn)嗎？1922多元函數(shù)微積分20案例1競(jìng)爭(zhēng)性產(chǎn)品生產(chǎn)中的利潤(rùn)最大化21案例2石油轉(zhuǎn)運(yùn)公司22案例3航天飛機(jī)的水箱24案例4綠地噴澆設(shè)施的節(jié)水構(gòu)想25案例5平均利潤(rùn)26案例6允許缺貨的存貯模型27案例7血管分支28案例8消費(fèi)者的選擇31案例9價(jià)格和收入變化對(duì)需求的影響34案例10經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)模型37案例11城市人口3923微分方程40案例1發(fā)射登月體的模型40案例2人口數(shù)量增長(zhǎng)的預(yù)測(cè)模型42案例3放射性廢物處理的模型48案例4戰(zhàn)爭(zhēng)勝負(fù)的數(shù)學(xué)模型50案例5名畫(huà)偽造案的偵破問(wèn)題54案例6“飲酒駕車”問(wèn)題56案例7長(zhǎng)沙馬王堆一號(hào)墓墓葬的年代問(wèn)題57案例8商品價(jià)格如何隨著供求關(guān)系變化59參考文獻(xiàn)603線性代數(shù)建模案例6131行列式與矩陣61案例1過(guò)定點(diǎn)的多項(xiàng)式方程的行列式61案例2土地用途變更模型62案例3文獻(xiàn)檢索模型63案例4運(yùn)動(dòng)會(huì)成績(jī)記錄模型64案例5不同城市之間的交通模型67案例6循環(huán)比賽名次模型68案例7一種矩陣密碼問(wèn)題69案例8城市出租汽車相互流動(dòng)后的數(shù)量穩(wěn)態(tài)分析70案例9動(dòng)物數(shù)量的按年齡段預(yù)測(cè)問(wèn)題7132線性方程組72案例1衛(wèi)星定位問(wèn)題73案例2化學(xué)方程式的平衡問(wèn)題74案例3工資問(wèn)題75案例4交通流量問(wèn)題77案例5最佳食譜（不定方程組的非負(fù)解）78案例6點(diǎn)兵問(wèn)題（不定方程組的整數(shù)解）80案例7投入產(chǎn)出模型81案例8選課策略(線性規(guī)劃問(wèn)題)82案例9調(diào)整氣象站觀測(cè)問(wèn)題84案例10調(diào)味品配制問(wèn)題8533特征值與特征向量87案例1污染與工業(yè)發(fā)展關(guān)系問(wèn)題87案例2快樂(lè)的假期旅游89案例3受教育程度的依賴性93案例4捕食者食餌離散動(dòng)力系統(tǒng)97案例5小行星的軌道問(wèn)題98案例6電路中電壓的確定99參考文獻(xiàn)1004概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)部分建模10241概率基礎(chǔ)模型102案例1特異功能102案例2有趣的蒙特莫特問(wèn)題103案例3人口問(wèn)題104案例4傳染病的感染106案例5考試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)分108案例6這樣找莊家公平嗎109案例7投資決策111案例8報(bào)童的訣竅112案例9保險(xiǎn)問(wèn)題114案例10電瓶的壽命115案例11電話外線總數(shù)的設(shè)定11642統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)模型117案例1大學(xué)生的平均每月生活費(fèi)117案例2捕魚(yú)問(wèn)題118案例3吸煙對(duì)血壓的影響120案例4刀具壽命的“正態(tài)擬合”121案例5身高與體重123案例6論釣魚(yú)問(wèn)題124案例7投訴問(wèn)題127例1 存貯模型工廠為了連續(xù)生產(chǎn)，必須貯存一些原材料，商店為連續(xù)銷售必須貯存一些商品，如此等等，我們把這些貯存物統(tǒng)稱為存貯。存貯問(wèn)題的原型可以是真正的倉(cāng)庫(kù)存貨，水庫(kù)存水，也可以是計(jì)算機(jī)的存貯器的設(shè)計(jì)問(wèn)題，甚至是大腦的存貯問(wèn)題。衡量一個(gè)存貯策略優(yōu)劣的直接標(biāo)準(zhǔn)是，計(jì)算該策略所消耗的平均費(fèi)用，費(fèi)用通常主要包括：存貯費(fèi)、訂貨費(fèi)（訂購(gòu)費(fèi)和成本費(fèi)）、缺貨損失費(fèi)和生產(chǎn)費(fèi)（若外購(gòu)，則無(wú)此項(xiàng)費(fèi)用）。由此可知，存貯問(wèn)題一般模型為：min（訂貨費(fèi)（或生產(chǎn)費(fèi)）+存貯費(fèi)+缺貨損失費(fèi)） (2.1.1)這里考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的庫(kù)存問(wèn)題，不允許缺貨的訂貨銷售模型，假設(shè)： (1)在不允許缺貨的情況下，則把缺貨費(fèi)用當(dāng)作無(wú)窮大；(2)當(dāng)存貯降到零時(shí)，可立即得到補(bǔ)充；(3)需求是連續(xù)均勻的，設(shè)需求速度R為常數(shù)；(4)每次訂貨不變，訂貨費(fèi)或生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為a元不變；(5)單位存貯費(fèi)為k元不變。假定每隔時(shí)間T補(bǔ)充一次存貯， T也稱為訂貨周期， 貨物單價(jià)為k，由上述條件，來(lái)考慮存貯系統(tǒng)是怎樣運(yùn)行的， 從存貯量為的任一時(shí)刻開(kāi)始，貨物以R的速度減少， 直至減少為零時(shí)為止，此時(shí)，必須立即進(jìn)行補(bǔ)充，以便滿足需求，對(duì)于該模型，只有當(dāng)存貯量減少到零時(shí)，才進(jìn)行補(bǔ)充， 不必提前補(bǔ)充， 否則會(huì)增加不必要的存貯費(fèi)用，而且據(jù)假設(shè)易知，每次補(bǔ)充量均相等， 這是一個(gè)典型的T循環(huán)策略，其存貯狀態(tài)圖由圖2.1.1所示。 圖2.1.1下面根據(jù)存貯狀態(tài)圖來(lái)建立相應(yīng)的模型， 只需考慮一個(gè)周期T的費(fèi)用即可，因?yàn)楦鱾€(gè)周期完全相同，只要其中之一的費(fèi)用極小化了，就可使總費(fèi)用極小化。由于訂貨量應(yīng)滿足需求量， 所以訂貨量應(yīng)為RT， 從而成本費(fèi)為kRT，于是，訂貨費(fèi)為，平均訂貨費(fèi)為。 又因平均存貯量為所以平均存貯費(fèi)為，則在時(shí)間T內(nèi)，總的平均費(fèi)用為為于是，問(wèn)題歸結(jié)為 T 取得何值時(shí)，最小，即存貯模型為： 這是一個(gè)簡(jiǎn)單的無(wú)條件極值問(wèn)題，易求得它的最優(yōu)解為： 即每隔時(shí)間訂貨一次， 可使平均費(fèi)用最小，而每次訂貨批量為：這便是存貯論中著名的經(jīng)濟(jì)訂購(gòu)批量（Economic Order Quantity）公式，簡(jiǎn)稱EOQ公式，亦即最優(yōu)庫(kù)存方針的數(shù)學(xué)模型。例2.1.1是一種理想情況下的最簡(jiǎn)庫(kù)存模型， 在建模過(guò)程中，作了若干簡(jiǎn)化，這些簡(jiǎn)化對(duì)建模是必要的，但實(shí)際的市場(chǎng)銷售情況是復(fù)雜的，因此， 所得到的模型只是一種近似情況， 還需經(jīng)過(guò)實(shí)踐的檢驗(yàn)，不過(guò)，式(2.1.3)和(2.1.4)所提供的信息對(duì)做出庫(kù)存方針的決策也是很有價(jià)值的。例2 怎樣使飲料罐制造用材最省的問(wèn)題首先，把飲料罐假設(shè)為正圓柱體(實(shí)際上由于制造工藝等要求，它不可能正好是數(shù)學(xué)上的正圓柱體，但這樣簡(jiǎn)化確實(shí)是近似的、合理的)在這種簡(jiǎn)化下，我們就可以來(lái)明確變量和參數(shù)了，例如可以假設(shè)：V一罐裝飲料的體積，r一半徑，h一圓柱高，b一制罐鋁材的厚度，l一制造中工藝上必須要求的折邊長(zhǎng)度。上面的諸多因素中，我們先不考慮l這個(gè)因素于是： 由于易拉罐上底的強(qiáng)度必須要大一點(diǎn)，因而在制造上其厚度為罐的其他部分厚度的3倍因而制罐用材的總面積A ，每罐飲料的體積V是一樣的，因而V可以看成是一個(gè)常數(shù)(參數(shù))，解出A： 代入A得： 從而知道，用材最省的問(wèn)題就是求半徑r使A(r)達(dá)到最小。A(r)的表達(dá)式就是一個(gè)數(shù)學(xué)模型。可以用多種精確的或近似的方法求A(r)最小時(shí)相應(yīng)的r。 從而求得 例3 數(shù)據(jù)擬合模型在數(shù)學(xué)建模過(guò)程中，常常需要確定一個(gè)變量依存于另一個(gè)或更多的變量的關(guān)系，即函數(shù)。但實(shí)際上確定函數(shù)的形式（線性形式、乘法形式、冪指形式或其它形式）時(shí)往往沒(méi)有先驗(yàn)的依據(jù)。只能在收集的實(shí)際數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上對(duì)若干合乎理論的形式進(jìn)行試驗(yàn)，從中選擇一個(gè)最能擬合有關(guān)數(shù)據(jù)，即最有可能反映實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)形式，這就是統(tǒng)計(jì)學(xué)中的擬合回歸方程問(wèn)題。“人口問(wèn)題”是我國(guó)最大社會(huì)問(wèn)題之一，估計(jì)人口數(shù)量和發(fā)展趨勢(shì)是我們制定一系列相關(guān)政策的基礎(chǔ)。有人口統(tǒng)計(jì)年鑒，可查的我國(guó)從1949年至1994年人口數(shù)據(jù)智料如下：年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1979 1984 1989 1994人口數(shù) (百萬(wàn)) 541.67 602.66 672.09 704.99 806.71 908.59 975.42 1034.75 1106.76 1176.74分析：（1） 在直角坐標(biāo)系上作出人口數(shù)的圖象。（2） 估計(jì)出這圖象近似地可看做一條直線。（3） 用以下幾種方法（之一）確定直線方程，并算出1999年人口數(shù)。方法一：先選擇能反映直線變化的兩個(gè)點(diǎn)，如（1949，541.67），（1984，1034.75）二點(diǎn)確定一條直線，方程為N = 14.088 t 26915.842代入t =1999,得N 12.46億方法二：可以多取幾組點(diǎn)對(duì)，確定幾條直線方程，將t = 1999代入，分別求出人口數(shù)，在取其算數(shù)平值。方法三：可采用“最小二乘法”求出直線方程。設(shè)（x 1, y 1 ), (x 2, y 2), , (x n, y n)是直角平面坐標(biāo)系下給出的一組數(shù)據(jù)，若x 1x 2x n,我們也可以把這組數(shù)據(jù)看作是一個(gè)離散的函數(shù)。根據(jù)觀察，如果這組數(shù)據(jù)圖象“很象”一條直線（不是直線），我們的問(wèn)題是確定一條直線y = bx +a ,使得它能最好的反映出這組數(shù)據(jù)的變化。對(duì)個(gè)別觀察值來(lái)說(shuō)，它可能是正的，也可能是負(fù)的。為了不使它們相加彼此抵消，故最好應(yīng)該是 它可能是正的，也可能是負(fù)的。為了不使它們相加彼此抵消，故最好應(yīng)該是例4 貸款買(mǎi)房問(wèn)題某居民買(mǎi)房向銀行貸款6萬(wàn)元，利息為月利率1%，貸款期為25年，問(wèn)該居民每月應(yīng)定額償還多少錢(qián)？確定參變量：用n表示月份， 表示第n個(gè)月欠銀行的錢(qián)，r表示月利率，x表示每月還錢(qián)數(shù)， 表示貸款額，則可得下表：時(shí)間 欠銀行款初始 一個(gè)月后 二個(gè)月后 三個(gè)月后 n個(gè)月后 由遞推關(guān)系式 可得 令 =60000元， ,n=300,r=0.01得 元因此，該居民每月應(yīng)償還632元。餐廳選菜的規(guī)律學(xué)校餐廳每天供應(yīng)1000名學(xué)生用餐，每星期一有兩樣菜：A，B可供選擇。調(diào)查資料表明，凡是在星期一選A菜的，下星期一會(huì)有20%