復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù).ppt

1,1-4 復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù),一、復(fù)變函數(shù)的極限 二、復(fù)變函數(shù)的連續(xù)性,2,定義：設(shè)函數(shù) 在復(fù)平面上已給點(diǎn)集E上確定，A為E 的一個(gè)聚點(diǎn)， 為一復(fù)常數(shù)，如果對(duì)任意 , 存在 ，使當(dāng) 且 時(shí)，有 則稱當(dāng)z 在E 中趨于 時(shí), 趨于極限A ，記作,3,zz0的路徑無(wú)窮，不能都列舉,復(fù)變函數(shù)在一點(diǎn)的極限可用兩個(gè)二元實(shí)函數(shù)在一點(diǎn)的極限來(lái)討論，即,且,5,定義：設(shè)函數(shù) 在復(fù)平面上已給點(diǎn)集E上確定， 為 E 的一個(gè)聚點(diǎn)，且 ，如果對(duì)任意 ，存在 ，使當(dāng) 且 時(shí)，有 則稱函數(shù) 在 點(diǎn)連續(xù) ，若 在E 中每一點(diǎn)都 連續(xù)，則稱 在E連續(xù).,6,定理：復(fù)變函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0=x0+y0連續(xù)的充要條件是實(shí)部和虛部的兩個(gè)二元函數(shù)在點(diǎn)(x0,y0)都連續(xù)。,7,與數(shù)學(xué)分析中的連續(xù)函數(shù)一樣，我們可類似地證得以下定理 定理1 若函數(shù) 與函數(shù) 均在點(diǎn) 連續(xù)，則 和 在點(diǎn) 連續(xù)進(jìn)一步，如果 ，那么 在點(diǎn) 連續(xù)。,8,定理2 函數(shù) 在簡(jiǎn)單曲線 或者有界閉區(qū)域 上連續(xù)，則 在它上為有界函數(shù)； 在它上能取到最大值與最小值； 在它上一致連續(xù)，即對(duì)任意的 ,存在 ，使當(dāng) 或者 且 時(shí)，有,9,定義：如果對(duì)于任給定常數(shù) ，存在 ，使當(dāng) ， 時(shí)，有 則稱當(dāng)z在E 中趨于 時(shí) 趨于無(wú)窮大 ，記作,10,定義：如果對(duì)于任給定常數(shù)0 ，存在 ，使當(dāng) 且 時(shí)，有 則稱當(dāng)z 在E 中趨于無(wú)窮大 時(shí) 趨于 ，記作,11,函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù)性的判別,基本解法：,(1)把函數(shù)f(z)化為形式f(z)=u(x,y)+iv(x,y),(2)利用教材24頁(yè)定理2判別u(x,y)和v(x,y)在點(diǎn)(x0,y0)處是否連續(xù),若都連續(xù)，則f(z)在z0連續(xù),12,證明argz在原點(diǎn)和負(fù)實(shí)軸不連續(xù),13,(2) argz在z=0點(diǎn)無(wú)意義，因此不連續(xù),綜上所述，argz在出去負(fù)實(shí)軸和原點(diǎn)的整個(gè)復(fù)平面上處處連續(xù)。,f(z)=|z|的連續(xù)性？,是復(fù)變實(shí)值函數(shù)，是x,y的二元連續(xù)函