數(shù)學(xué)分析課件第6章微分中值定理及其應(yīng)用.ppt

5 函數(shù)的凸性與拐點(diǎn),返回,任意弧段位于所張弦的上方, 任意點(diǎn)的切線在曲線上方,任意弧段位于所張弦的下方，任意點(diǎn)的切線在曲線下方,凸函數(shù),凹函數(shù),設(shè) A(x1,f(x1), B(x2,f(x2)，則線段AB間的任意點(diǎn)C(x,y)可表示為：,x,C,注：如(1)和(2)式中的不等號(hào)改為嚴(yán)格不等號(hào),則,則稱(chēng) f 為 I上的一個(gè)凸函數(shù). 反之如果總有,則稱(chēng) f 為 I 上的一個(gè)凹函數(shù).,相應(yīng)的函數(shù)稱(chēng)為嚴(yán)格凸函數(shù)和嚴(yán)格凹函數(shù).,引理 f (x)為區(qū)間 I上的凸函數(shù)的充要條件是：,從而有,因?yàn)?f (x)為 I 上的凸函數(shù)，所以,整理后即為 (3) 式.,即,由于必要性的證明是可逆的，從而得到,（充分性）對(duì)于任意,則,所以 f 為 I 上的凸函數(shù).,同理可證 f 為 I 上的凸函數(shù)的充要條件是：對(duì)于,例 1 設(shè) f 為開(kāi)區(qū)間 (a, b) 上的凸函數(shù), 那么它在,證,(a, b) 中每一點(diǎn)的左、右導(dǎo)數(shù)存在.,由引理得到,則右極限,這就證明了F(h)有下界. 所以,定理 6.13 設(shè) f 為區(qū)間 I 上的可導(dǎo)函數(shù), 則下述,論斷互相等價(jià)：,證,我們?cè)谶@里再一次強(qiáng)調(diào)，,的切線位于曲線的下方.,于相應(yīng)曲線段的上方;而它,義是:曲線 y = f (x) 的弦位,函數(shù) f 是凸函數(shù)的幾何意,(本例說(shuō)明：在凸(凹)函數(shù)的條件下，可微函數(shù)的,極值點(diǎn)與穩(wěn)定點(diǎn)是等價(jià)的.),例 3 設(shè)函數(shù) f (x)為 (a, b) 上的可導(dǎo)凸(凹)函數(shù).,此下面這個(gè)例題自然就產(chǎn)生了.,值總是極小值, 可微凹函數(shù)的極值總是極大值. 因,定理6.14 設(shè) f (x) 在區(qū)間 I 上二階可導(dǎo)，則 f (x),在區(qū)間I上是凸(凹)函數(shù)的充要條件為：,解 因?yàn)?例 4,圖中所示的M 是一個(gè)拐點(diǎn).,定義2,曲線的切線，并且切線的兩側(cè)分別,是嚴(yán)格凸和嚴(yán)格凹的，這時(shí)稱(chēng),下面兩個(gè)定理是顯然的.,定理6.15,定理6.16,但根據(jù)定義2,點(diǎn)(0, 0) 卻是曲線,這是著名的詹森不等式 .,由數(shù)學(xué)歸納法不難證明：f 為 I 上的凸函數(shù)充要,即：,均為正數(shù).,詹森不等式,例 5,證,即,又因,故有,再由對(duì)數(shù)函數(shù)是嚴(yán)格增的，就證得,復(fù)習(xí)思考題,1. 兩個(gè)凸函數(shù)的乘積是否是凸函數(shù) ?,2. 兩個(gè)凸函數(shù)的復(fù)合是否是凸函數(shù) ?,3. 任選一個(gè)凸函數(shù), 利用詹森不等式構(gòu)造出新的,不等式.,的嚴(yán)格凹函數(shù)，所以有,例 6,例 4 設(shè)函數(shù) f (x)為 (