分布的集中趨勢(shì)第二節(jié)分布的離散程度.ppt

第一節(jié) 分布的集中趨勢(shì) 第二節(jié) 分布的離散程度,第三章 統(tǒng)計(jì)分布的數(shù)值特征,本章主要內(nèi)容,本章包括平均指標(biāo)和變異指標(biāo)兩部分內(nèi)容，闡述了平均指標(biāo)的概念和作用；各種平均數(shù)的計(jì)算原則、方法與應(yīng)用條件；主要的平均指標(biāo)(算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)、幾何平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù))；變異指標(biāo)的作用、計(jì)算方法和運(yùn)用條件；主要的變異指標(biāo)(極差、平均差、標(biāo)準(zhǔn)差及其系數(shù))。,第一節(jié) 分布的集中趨勢(shì),一、統(tǒng)計(jì)平均數(shù)的概述 二、數(shù)值平均數(shù) 三、位置平均數(shù) 四、各種平均數(shù)比較,一、統(tǒng)計(jì)平均數(shù)的概述,（一）平均數(shù)的概念 同類(lèi)社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象總體內(nèi)，各單位某一數(shù) 量標(biāo)志的差異抽象化，用以反映總體在具 體條件下的一般水平。 它是度量總體某一數(shù)量標(biāo)志在一定條件下的一 般水平或分布集中趨勢(shì)的綜合指標(biāo)。,一名統(tǒng)計(jì)學(xué)家遇到一位數(shù)學(xué)家，統(tǒng)計(jì)學(xué)家調(diào)侃數(shù)學(xué)家說(shuō)道：“你們不是說(shuō)若且，則嗎！那么想必你若是喜歡一個(gè)女孩，那么那個(gè)女孩喜歡的男孩你也會(huì)喜歡嘍??？” 數(shù)學(xué)家想了一下反問(wèn)道：“那么你把左手放到一鍋一百度的開(kāi)水中，右手放到一鍋零度的冰水里想來(lái)也沒(méi)事吧！因?yàn)樗鼈兤骄臏囟炔贿^(guò)是五十度而已！”,統(tǒng)計(jì)學(xué)家與數(shù)學(xué)家,如果你的腳已經(jīng)踩在爐子上，而頭卻在冰箱裡，統(tǒng)計(jì)學(xué)家會(huì)告訴你，平均而言，你相當(dāng)舒服。,調(diào)侃統(tǒng)計(jì)學(xué)家,（二）平均數(shù)的種類(lèi),根據(jù)各種平均數(shù)的具體代表意義和計(jì)算方 式的不同，統(tǒng)計(jì)平均數(shù)分為兩大類(lèi)： 算術(shù)平均數(shù) 調(diào)和平均數(shù) 數(shù)值平均數(shù) 幾何平均數(shù) 眾數(shù) 中位數(shù) 位置平均數(shù) 分位數(shù),（三）平均數(shù)的特點(diǎn),1.將數(shù)量差異抽象化 2.只能就同類(lèi)現(xiàn)象計(jì)算 3.能反映總體變量值的集中趨勢(shì),二、數(shù)值平均數(shù),（一）概述 1.定義 數(shù)值平均數(shù)是由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)集合中的所有數(shù)據(jù)參與 計(jì)算所得的平均數(shù)。 2.常用的數(shù)值平均數(shù)有： 算術(shù)平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和幾何平均數(shù),（二）算術(shù)平均數(shù),1.概念 算術(shù)平均數(shù)是全部數(shù)據(jù)的算術(shù)平均。 基本公式：,e.g.,2.算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法 (1)簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù) 如果掌握的資料沒(méi)有經(jīng)過(guò)分組，則先將各單位的標(biāo)志值相加得出標(biāo)志總量，然后再除以總體單位數(shù)，得到的平均數(shù)稱(chēng)為簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)。,簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式：,例31某機(jī)械廠某生產(chǎn)班組有10名工人，生產(chǎn)某種零件，每個(gè)工人的日產(chǎn)量分別為45件，48件，52件，62件，69件，44件，52件，58件，38件，64件。試用簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)法計(jì)算工人平均日產(chǎn)量。,(2)加權(quán)算術(shù)平均數(shù) 如果掌握的資料是經(jīng)過(guò)分組整理編成了分布數(shù)列，并且每組頻數(shù)不同時(shí)，用頻數(shù)（率）進(jìn)行加權(quán)計(jì)算的算術(shù)平均數(shù)稱(chēng)為加權(quán)算術(shù)平均數(shù)。,a.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算 公式1：,例：某機(jī)械廠工人日產(chǎn)零件數(shù)的分配數(shù)列。,權(quán)數(shù),加權(quán),公式：,單項(xiàng)式數(shù)列的算術(shù)平均數(shù),組距式加權(quán)算術(shù)平均數(shù),例：某年我國(guó)80個(gè)產(chǎn)棉 大縣的分配數(shù)列如表。 以組中值作為各組的代表值， 假定各組標(biāo)志值在組內(nèi)分布 是均勻的。此時(shí)求得的算 術(shù)平均數(shù)只是其真值的 近似值。,公式2,例 33某企業(yè)工人操作機(jī)床的情況見(jiàn)下表，計(jì)算平均每位工人操作機(jī)床數(shù)。,注意比重轉(zhuǎn)化為小數(shù)再計(jì)算,b.權(quán)數(shù)及作用,權(quán)數(shù)：加權(quán)算術(shù)平均數(shù)中的權(quán)數(shù)，是標(biāo)志值出現(xiàn)的頻數(shù)（次數(shù)） f 或各組次數(shù)占總次數(shù)的比重（頻率） 。 權(quán)數(shù)的作用：權(quán)衡平均數(shù)大小。 某一組的次數(shù)或頻率越大，則該組的標(biāo)志值對(duì)平均數(shù)的影響就越大，反之越小。,c.影響加權(quán)算術(shù)平均數(shù)大小的因素,加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的大小受兩個(gè)因素影響 受單位標(biāo)志值大小的影響。 受各標(biāo)志值頻數(shù)的影響，更準(zhǔn)確的講是受各組頻數(shù)占總頻數(shù)比重即頻率的影響。,d.加權(quán)算術(shù)平均數(shù)適用,分組的統(tǒng)計(jì)資料，如果已知各組的代表變量值和頻數(shù)（頻率），則可采用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算。 已知頻數(shù)用公式1。 已知頻率用公式2。,e.簡(jiǎn)單與加權(quán)算術(shù)平均數(shù)相等的條件,在分組的條件下，當(dāng)各組頻數(shù)所占比重均相等時(shí)，權(quán)數(shù)就失去了權(quán)衡輕重的作用，這時(shí)用加權(quán)算術(shù)平均數(shù)計(jì)算的結(jié)果與用簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)計(jì)算的結(jié)果相同。 當(dāng)分布數(shù)列完全對(duì)稱(chēng)時(shí)，加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算結(jié)果與簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)計(jì)算結(jié)果相同。,3.算術(shù)平均數(shù)的數(shù)學(xué)性質(zhì),各個(gè)變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差總和等于零。 各個(gè)變量值與算術(shù)平均數(shù)的離差平方總和為最小值。 兩個(gè)獨(dú)立的同性質(zhì)變量代數(shù)和的平均數(shù)等于各變量平均數(shù)的代數(shù)和。 兩個(gè)獨(dú)立的同性質(zhì)變量乘積的平均數(shù)等于各變量平均數(shù)的乘積。,1.概念 調(diào)和平均數(shù)是變量值倒數(shù)的算術(shù)平均數(shù)的倒數(shù)，故又稱(chēng)倒數(shù)平均數(shù)。 調(diào)和平均數(shù)是算術(shù)平均數(shù)的一種，它是根據(jù)變量值的倒數(shù)計(jì)算的。,（二）調(diào)和平均數(shù),原來(lái)只是計(jì)算時(shí)使用了不同的數(shù)據(jù)！,（1）簡(jiǎn)單調(diào)和平均數(shù),2.調(diào)和平均數(shù)的計(jì)算,（2）加權(quán)調(diào)和平均數(shù) ,例：某工廠工人日產(chǎn)零件數(shù)資料,作為算術(shù)平均數(shù)的變形使用。 已知分配數(shù)列各組標(biāo)志值及 其標(biāo)志總量時(shí)，計(jì)算平均數(shù) 可用加權(quán)調(diào)和平均法，權(quán)數(shù) m為各組的標(biāo)志總量。 即：,3.應(yīng)用場(chǎng)合,4.調(diào)和平均數(shù)的特點(diǎn),如果數(shù)列中有一個(gè)標(biāo)志值等于零，則無(wú)法計(jì)算調(diào)和平均數(shù)。 它作為一種數(shù)值平均數(shù)受所有標(biāo)志值的影 響，且受極小值的影響大于受極大值的影響，但較之算術(shù)平均數(shù)，調(diào)和平均數(shù)受極端值的影響較小。,說(shuō)明：,算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)不僅可以用于計(jì) 算嚴(yán)格意義上的單位標(biāo)志平均數(shù)，而且還 可以用于計(jì)算平均指標(biāo)和相對(duì)指標(biāo)的平均 數(shù)，算的時(shí)候并不要求符合平均數(shù)的基本 公式。 下面僅舉例子說(shuō)明！,1.由平均數(shù)計(jì)算平均數(shù),e.g.已知某商品在三個(gè) 集貿(mào)市場(chǎng)上的平均價(jià) 格及銷(xiāo)售量資料如 右表： 求三個(gè)市場(chǎng)的平均價(jià) 格。,2.由相對(duì)數(shù)計(jì)算平均數(shù),e.g.某工業(yè)公司有三個(gè) 工廠，已知其計(jì)劃完 成程度（）以及計(jì) 劃產(chǎn)值資料如 右表： 求該公司平均計(jì)劃完 成程度。,計(jì)算相對(duì)指標(biāo)（或平均指標(biāo)）的平均數(shù)的 一般方法可以概括如下： (1)若已知的是相對(duì)指標(biāo)（或平均指標(biāo)）的分母資料時(shí)，可將其作為權(quán)數(shù)，采用加權(quán)算術(shù)平均法計(jì)算； (2)若已知的是相對(duì)指標(biāo)（或平均指標(biāo)）的分子資料時(shí)，可將其作為權(quán)數(shù)，采用加權(quán)調(diào)和平均數(shù)法計(jì)算。,小 結(jié),1.某蔬菜市場(chǎng)三種蔬菜的日銷(xiāo)售數(shù)據(jù)如表，計(jì)算三種蔬菜該日的平均價(jià)格。,例題,某公司下屬三個(gè)部門(mén)銷(xiāo)售情況,2.設(shè)某公司下屬三個(gè)部門(mén)的銷(xiāo)售資料如下表，求公司的平均銷(xiāo)售利潤(rùn)率。,三個(gè)部門(mén)的平均利潤(rùn)率即是公司的銷(xiāo)售利潤(rùn)率。所以可用各部門(mén)的利潤(rùn)率乘以銷(xiāo)售額得到各部門(mén)的利潤(rùn)額，然后用各部門(mén)利潤(rùn)總額除以總銷(xiāo)售額便可得到平均利潤(rùn)率。其計(jì)算公式為：,如果上例若缺少銷(xiāo)售額資料而有利潤(rùn)額資料， 如下表 某公司下屬三個(gè)部門(mén)銷(xiāo)售情況,則三個(gè)部門(mén)的平均利潤(rùn)率可以用各部門(mén)利潤(rùn)額除以銷(xiāo)售利潤(rùn)率得到銷(xiāo)售額，然后用各部門(mén)利潤(rùn)之和除以總銷(xiāo)售額，便可得到平均利潤(rùn)率。其計(jì)算公式：,3.某管理局所屬15個(gè)企業(yè)銷(xiāo)售計(jì)劃完成情況資料如下表：,權(quán)數(shù)的正確選擇很重要,【例34】水果甲級(jí)每元1公斤，乙級(jí)每元1.5公斤，丙級(jí)每元2公斤。問(wèn)： （1）若各買(mǎi)1公斤，平均每元可買(mǎi)多少公斤？ （2）各買(mǎi)6.5公斤，平均每元可買(mǎi)多少公斤？ （3）甲級(jí)3公斤，乙級(jí)2公斤，丙級(jí)1公斤，平均每元可買(mǎi)多少公斤？ （4）甲乙丙三級(jí)各買(mǎi)1元，每元可買(mǎi)幾公斤？ 【例35】自行車(chē)賽時(shí)速：甲30公里/小時(shí)，乙28公里/小時(shí)，丙20公里/小時(shí)，全程200公里，問(wèn)三人平均時(shí)速是多少？若甲乙丙三人各騎車(chē)2小時(shí)，平均時(shí)速是多少？,調(diào)和平均數(shù) (例題分析),【例34】解 （1） （2） （3） （4）,【例35】解,1.概念 幾何平均數(shù)又稱(chēng)為對(duì)數(shù)平均數(shù)，它是n個(gè)變量值連乘積的n次算術(shù)根。 2.適用范圍 它是計(jì)算平均比率和平均速度時(shí)比較適用的一種方法。,（三）幾何平均數(shù),3.幾何平均數(shù)的計(jì)算方法 (1)簡(jiǎn)單幾何平均數(shù) ,【例3-6】謀生產(chǎn)車(chē)間生產(chǎn)某產(chǎn)品合格率分別為：97、93、91和87，則該車(chē)間制品平均合格率為：,(2)加權(quán)幾何平均數(shù) ,【例3-7】投資銀行某筆投資是按復(fù)利計(jì)算的，25年間 年利率的分配情況是：有1年為3，有4年為5，有 8年為8，有10年為10，有2年為15。求平均年 利率。 計(jì)算平均年利率，必須先將各年的利率加上100，換 算為各年的本利率；然后按加權(quán)幾何平均數(shù)的方法， 計(jì)算平均年本利率；再減去100，得出平均年利率。 計(jì)算如下： 這就是說(shuō)，25年間年平均本利率為108.6。因而，年 平均利率為8.6。,（四）幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù) 和調(diào)和平均數(shù)的關(guān)系 幾何平均數(shù)、算術(shù)平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)之間存在著一定的數(shù)量關(guān)系。這種數(shù)量關(guān)系表現(xiàn)在：根據(jù)同一資料所計(jì)算的三種平均數(shù)，幾何平均數(shù)大于調(diào)和平均數(shù)而小于算術(shù)平均數(shù)，只有當(dāng)所有變量值都相同時(shí)，三種平均數(shù)才相等。用數(shù)學(xué)公式表示，它們之間的關(guān)系為：,三、位置平均數(shù),（一）概述 1.概念 位置平均數(shù)是根據(jù)總體中處于特殊位置上的個(gè) 別單位或部分單位的標(biāo)志值來(lái)確定的代表值。 2.常用的位置平均數(shù) 眾數(shù)、中位數(shù),（二）眾數(shù),1.概念 總體中出現(xiàn)次數(shù)最多的變量值稱(chēng)為眾數(shù)。 2.特點(diǎn) 適于數(shù)據(jù)較多時(shí)使用，主要用于定類(lèi)數(shù)據(jù)； 不受極端值和開(kāi)口組數(shù)列的影響； 眾數(shù)是一個(gè)不容易確定的平均指標(biāo)，當(dāng)數(shù)列 沒(méi)有明顯的集中趨勢(shì)而趨向集中均勻分布時(shí)，則 無(wú)眾數(shù)可言；當(dāng)變量數(shù)列是異距分組時(shí)，眾數(shù)的 位置也不好確定。,眾數(shù)(不惟一性),無(wú)眾數(shù) 原始數(shù)據(jù): 10 5 9 12 6 8,一個(gè)眾數(shù) 原始數(shù)據(jù): 6 5 9 8 5 5,多于一個(gè)眾數(shù) 原始數(shù)據(jù): 25 28 28 36 42 42,（1）定類(lèi)數(shù)據(jù)的眾數(shù),解：這里的變量為“飲料品牌”，這是個(gè)分類(lèi)變量，不同類(lèi)型的飲料就是變量值 所調(diào)查的50人中，購(gòu)買(mǎi)可口可樂(lè)的人數(shù)最多，為15人，占總被調(diào)查人數(shù)的30%，因此眾數(shù)為“可口可樂(lè)”這一品牌，即 Mo可口可樂(lè),3.計(jì)算,（2）定序數(shù)據(jù)的眾數(shù),解：這里的數(shù)據(jù)為順序數(shù)據(jù)。變量為“回答類(lèi)別” 甲城市中對(duì)住房表示不滿意的戶數(shù)最多，為108戶，因此眾數(shù)為“不滿意”這一類(lèi)別，即 Mo不滿意,（3）數(shù)值型數(shù)據(jù)的眾數(shù) 下限公式:,上限公式:,某年級(jí)83名女生身高資料,身高 人數(shù) （CM） （人） 152 1 154 2 155 2 156 4 157 1 158 2 159 2 160 12 161 7 162 8 163 4,身高 人數(shù) （CM） （人） 164 3 165 8 166 5 167 3 168 7 169 1 170 5 171 2 172 3 174 1 總計(jì) 83,身高 人數(shù) 比重 （CM） （人） （%） 150-155 3 3.61 155-160 11 13.25 160-165 34 40.96 165-170 24 28.92 170以上 11 13.25 總計(jì) 83 100,某年級(jí)83名女生身高資料,（三）中位數(shù),1.概念 中位數(shù)是將總體各單位標(biāo)志值按大小順序排列 后，處于中間位置的那個(gè)數(shù)值。 2.意義 中位數(shù)是處于統(tǒng)計(jì)數(shù)列中間位置的數(shù)值。由于 其位置居中，不受極端數(shù)值大小的影響，因而 有時(shí)直接利用它來(lái)代表現(xiàn)象的一般水平。,3.中位數(shù)的特點(diǎn),（1）與眾數(shù)一樣，也是一種位置平均數(shù)，不受極端值及開(kāi)口組的影響，具有穩(wěn)健性； （2）各單位標(biāo)志值與中位數(shù)離差的絕對(duì)值之和為最小。即 （3）對(duì)某些不具有數(shù)學(xué)特點(diǎn)或不能用數(shù)字測(cè)定的現(xiàn)象，可用中位數(shù)求其一般水平。,（1）由未分組資料確定中位數(shù) 在資料未經(jīng)分組時(shí)，確定中位數(shù)的方法是：首先將各總體單位的標(biāo)志值或變量值，按照大小順序排列；然后確定中位數(shù)的位置，處于中位數(shù)位置的標(biāo)志值或變量值就是中位數(shù)。 由未分組資料確定中位數(shù)，中位數(shù)的位置是： 如果總體單位的項(xiàng)數(shù)（n）是奇數(shù)，則處于中間位置的標(biāo)志值就是中位數(shù)。如果總體單位的項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，則處于中間位置的兩個(gè)標(biāo)志值的算術(shù)平均數(shù)就是中位數(shù)。,4.計(jì)算,e.g1，某年我國(guó)飲料制造業(yè)按利稅總額排序，前10名企業(yè)的利稅總額資料如下，,根據(jù)上列資料，如果確定這10名企業(yè)利稅總額的中位數(shù)，則： 就是說(shuō)，中位數(shù)處于第5個(gè)企業(yè)和第6個(gè)企業(yè)的中間位置。第5個(gè)企業(yè)的利稅總額為66百萬(wàn)元，第6個(gè)企業(yè)的利稅總額為65百萬(wàn)元，故10名企業(yè)利稅總額的中位數(shù)為：,e.g2，9個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù) 原始數(shù)據(jù): 1500 750 780 1080 850 960 2000 1250 1630 排 序: 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9,中位數(shù) 1080,10個(gè)家庭的人均月收入數(shù)據(jù) 排 序: 660 750 780 850 960 1080 1250 1500 1630 2000 位 置: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10,（2）單項(xiàng)式數(shù)列確定中位數(shù),對(duì)于單項(xiàng)式數(shù)列資料，由于變量值已經(jīng)序列化，故 中位數(shù)的確定也很簡(jiǎn)單。 步驟： 第一，求中位數(shù)位置 （ 為總體單位數(shù)之 和）； 第二，計(jì)算各組的累計(jì)次數(shù)（向上或向下累計(jì)皆 可）； 第三，根據(jù)中位數(shù)的位置找出中位數(shù)。,（3）由組距分組數(shù)列確定中位數(shù) a.步驟 由組距數(shù)列確定中位數(shù)，應(yīng)先計(jì)算累計(jì)次數(shù)，然 后確定中位數(shù)所在組的位置，最后再按比例推算 中位數(shù)的具體數(shù)值。 b.由分組資料確定中位數(shù)，中位數(shù)的位置是：,c.由組距數(shù)列計(jì)算中位數(shù) 下限公式：(向上累計(jì)時(shí)用)：,（向下累計(jì)時(shí)用）,身高 人數(shù) 累計(jì) （CM） （人） 人數(shù) 150-155 3 3 155-160 11 14 160-165 34 48 165-170 24 72 170以上 11 83 總計(jì) 83,e.g，某年級(jí)83名 女生身高資料,e.g，某年某市80個(gè)中型工業(yè)企業(yè)按照工業(yè)總產(chǎn)值（按1980年不變價(jià)格計(jì)算）的分組資料如下：,由上表中的資料計(jì)算中位數(shù): 首先，應(yīng)確定中位數(shù)的位置。 f80， f /240，即中位數(shù)的位置是第40個(gè) 企業(yè)。 其次，應(yīng)確定中位數(shù)的所在組。 第二組的累計(jì)次數(shù)為35，距離中位數(shù)的位置還差 5個(gè)企業(yè)；第三組的累計(jì)次數(shù)已達(dá)55，顯然中位 數(shù)在第三組內(nèi)。 第三，按比例推算中位數(shù)在組內(nèi)的具體位置。,因而，某市80個(gè)中型工業(yè)企業(yè)工業(yè)總產(chǎn)值的中位數(shù)，按下限公式計(jì)算為：,（四）分位數(shù)（簡(jiǎn)介）,1.概念 能夠?qū)⑷靠傮w單位按標(biāo)志值大小等分為k個(gè) 部分的數(shù)值稱(chēng)為“k分位數(shù)”。 2.常用的分位數(shù) 四分位數(shù)、十分位數(shù)和百分位數(shù)。 中位數(shù)實(shí)際上是一個(gè)兩分位數(shù),四、各種平均數(shù)的比較,（一）算術(shù)平均數(shù)、幾何平均數(shù)和調(diào)和平均數(shù)三者的關(guān)系。（證明略） （二）數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)的比較 （1）數(shù)值平均數(shù)對(duì)于數(shù)據(jù)的概括能力比位置平均數(shù)強(qiáng)。 （2）數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)對(duì)數(shù)據(jù)變化的“靈敏度”“耐抗性”不同。 （3）數(shù)值平均數(shù)和位置平均數(shù)使用的數(shù)據(jù)類(lèi)型不同。,眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的特點(diǎn)和應(yīng)用,眾數(shù) 不受極端值影響 具有不惟一性 數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時(shí)應(yīng)用 中位數(shù) 不受極端值影響 數(shù)據(jù)分布偏斜程度較大時(shí)應(yīng)用 平均數(shù) 易受極端值影響 數(shù)學(xué)性質(zhì)優(yōu)良 數(shù)據(jù)對(duì)稱(chēng)分布或接近對(duì)稱(chēng)分布時(shí)應(yīng)用,（三）算術(shù)平均數(shù)與眾數(shù)、中位數(shù)在鐘形分布時(shí)三種集中趨勢(shì)的關(guān)系,（1）當(dāng)總體分布呈對(duì)稱(chēng)狀態(tài)時(shí)，三者合而為一，即三者相等。 （2）當(dāng)總體分布呈右偏，則中位數(shù)大于眾數(shù)，小于算術(shù)平均數(shù)。 （3）當(dāng)總體分布呈左偏，則中位數(shù)大于算術(shù)平均數(shù)，小于眾數(shù)。 以上第2、3種情況均為總體分布呈非對(duì)稱(chēng)狀態(tài)，這時(shí) 三者之間就存在著一定的差別，愈不對(duì)稱(chēng)，差別越 大。,英國(guó)統(tǒng)計(jì)學(xué)家卡爾.皮爾遜認(rèn)為，當(dāng)分布只是適 當(dāng)偏態(tài)時(shí)，三者之間的數(shù)量關(guān)系是: 中位數(shù)一般介于眾數(shù)和均值之間，中位數(shù)與算 術(shù)平均數(shù)的距離是眾數(shù)與算術(shù)平均數(shù)距離的三 分之一，即關(guān)系式為： 或,第二節(jié) 分布的離散程度,一、變異指標(biāo)概述 二、極差 三、平均差 四、方差和標(biāo)準(zhǔn)差 五、變異系數(shù),一、變異指標(biāo)概述,（一）概念 標(biāo)志變異指標(biāo)是反映統(tǒng)計(jì)數(shù)列中以平均數(shù)為中心，總體 各單位標(biāo)志值的差異大小范圍或離差程度的指標(biāo)。 變異指標(biāo)是評(píng)價(jià)平均數(shù)代表性的依據(jù)。變異越大，平均 數(shù)的代表性越差；反之，越好。 Eg.某車(chē)間有兩個(gè)生產(chǎn)小組，都是7名工人，各人日產(chǎn)件數(shù)： 甲組：20，40，60，70，80，100，120； 乙組：67，68，69，70，71，72， 73； 甲、乙兩組的平均每人日產(chǎn)量都為70件。 雖然兩組平均日產(chǎn)量相等，但甲組各工人日產(chǎn)件數(shù)相差很大 ，分布很散；而乙組各工人日產(chǎn)件數(shù)相差不大，分布相對(duì)集 中。平均數(shù)70件對(duì)甲組來(lái)說(shuō)代表性不如對(duì)乙組的代表性大。,(二)標(biāo)志變異指標(biāo)的作用 1.標(biāo)志變異指標(biāo)可以衡量平均數(shù)代表性的大小。 2.標(biāo)志變異指標(biāo)可以反映社會(huì)經(jīng)濟(jì)活動(dòng)過(guò)程的節(jié)奏性和均衡性。 3.標(biāo)志變異指標(biāo)可以反映總體單位標(biāo)志值的均勻性和穩(wěn)定性。 4.標(biāo)志變異指標(biāo)是科學(xué)地確定必要的抽樣單位數(shù)應(yīng)考慮的重要因素。,（三）常見(jiàn)的變異指標(biāo),極差（全距） 分位差 平均差 標(biāo)準(zhǔn)差 離散系數(shù)（變異系數(shù)）,二、極差,1.概念 極差又稱(chēng)“變異全距”，它是總體各單位標(biāo)志的 最大值與最小值之差，通常用“R”表示。 2.計(jì)算 極差最大標(biāo)志值最小標(biāo)志值 極差最高組上限最低組下限 如前例，甲組日產(chǎn)件數(shù)的極差,R=1202010（件） 乙組日產(chǎn)件數(shù)的極差,R=73676（件）,3.意義,極差用以說(shuō)明標(biāo)志值變動(dòng)范圍的大小，極差越 小，說(shuō)明變量值越集中，變異程度越?。环?之，R數(shù)值越大，說(shuō)明變量值越分散，變異程 度越大。 極差說(shuō)明分布的離散程度有兩點(diǎn)不足之處： 它取決于兩個(gè)極端值的大小，不能反映中間數(shù)據(jù)的分布情況； 受極端值的影響過(guò)于顯著，對(duì)數(shù)據(jù)的變化反映不敏感。,三、分位差,分位差是對(duì)極差的改進(jìn)，也就是從變量數(shù)列中剔除了一部分極端值后重新計(jì)算的類(lèi)似于極差的指標(biāo)。 自己看書(shū)（p77）,四、平均差,1.概念 總體中各單位對(duì)其平均數(shù)的離差絕對(duì)值的算術(shù)平 均數(shù)，通常用“A.D.”表示。 2.意義 平均差能夠綜合反映總體中各單位標(biāo)志值變動(dòng)的影 響。平均差越大，表示標(biāo)志變異程度越大，則平均數(shù)的 代表性就越??；反之，平均差越小，表示標(biāo)志變異稱(chēng)度 越小，則平均數(shù)的代表性就越大。,3.特點(diǎn) 平均差是根據(jù)全部變量計(jì)算出來(lái)的，所以對(duì)整個(gè)變量 值的離散程度有較充分的代表性。但平均差計(jì)算由于 采用取離差絕對(duì)值的方法來(lái)消除正負(fù)離差，因而不適 合于代數(shù)方法的演算，使其應(yīng)用受到限制。 4.計(jì)算 （1）未分組資料： （2）分組資料：,五、方差和標(biāo)準(zhǔn)差,1.概念 標(biāo)準(zhǔn)差又稱(chēng)“均方差”，是總體各單位標(biāo)志值與其算術(shù) 平均數(shù)的離差平方的算術(shù)平均數(shù)的算術(shù)平方根，通常 用“ ”表示。 標(biāo)準(zhǔn)差的平方就是方差。 2.意義 其意義與平均差基本相同，也是根據(jù)各個(gè)標(biāo)志值對(duì)其 算術(shù)平均數(shù)求其平均離差后再來(lái)計(jì)算的，但是由于用 離差平方的方法來(lái)消除正負(fù)離差，因此在數(shù)學(xué)處理長(zhǎng) 比平均差更為合理和優(yōu)越。,3.計(jì)算 （1）未分組資料： （2）分組資料： 簡(jiǎn)便計(jì)算方法： 其中,4.方差和標(biāo)準(zhǔn)差的性質(zhì),（1）方差和標(biāo)準(zhǔn)差具有平移不變性。即yax的方差與x的方差相同，a為任意常數(shù)。 （2）將原變量乘以一個(gè)任意常數(shù)b，則新變量ybx的方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別變?yōu)樵瓉?lái)的 倍和 倍。 （3）如果兩個(gè)變量x和y相互獨(dú)立，它們的代數(shù)和的方差就等于原來(lái)兩個(gè)變量的方差之和，它們的代數(shù)和的標(biāo)準(zhǔn)差則等于兩個(gè)變量方差之和的正平方根。 （4）在總體分組的條件下，變量的總方差可以分解為組內(nèi)方差平均數(shù)和組間方差兩部分。,5.“01”分布的數(shù)值特征,有些事物或現(xiàn)象的特征只表現(xiàn)為兩種性質(zhì)上的差異。例如，產(chǎn)品的質(zhì)量表現(xiàn)為合格和不合格；人的性別表現(xiàn)為男或女；對(duì)某一電視節(jié)目表現(xiàn)為收看或不收看；學(xué)生成績(jī)可以分為及格或不及格，等等。