數(shù)學(xué)期望第四部分隨機(jī)變量的數(shù)字特征教學(xué).ppt

第四章 隨機(jī)變量的 數(shù)字特征,在前面的課程中，我們討論了隨機(jī)變量及其分布，如果知道了隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，那么X的全部概率特征也就知道了.,然而，在實際問題中，分布函數(shù)一般是較難確定的. 而在一些實際應(yīng)用中，人們并不需要知道隨機(jī)變量的一切概率性質(zhì)，只要知道它的某些數(shù)字特征就夠了.,因此，在對隨機(jī)變量的研究中，確定某些數(shù)字特征是重要的 .,這一講，我們先介紹隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望.,在這些數(shù)字特征中，最常用的是,期望和方差,4.1 數(shù)學(xué)期望,一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 五、小結(jié),一、離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,平均值是日常生活中最常用的一個數(shù)字特征，,它對評,判事物作出決策等具有重要作用.,例如，,某商場計劃于5月1日在戶外搞一次促銷活動，,統(tǒng)計資料表明，,如果在商場內(nèi)搞,可獲得經(jīng)濟(jì)效益,3萬元；,在商場外搞，,如果不遇雨天可獲得12萬元，,遇到雨天則帶,來經(jīng)濟(jì)損失5萬元；若前一天的天氣,預(yù)報稱當(dāng)日有雨,的概率為40%，則商場應(yīng)如何選擇,促銷方式？,1.概念的引入,顯然商場在該日搞促銷活動預(yù)期獲得的經(jīng)濟(jì)效益,是一個隨機(jī)變量，,其概率分布為,要作出決策就要將此時的平均效益與3萬元進(jìn)行比較,如何求平均效益呢？,要客觀地反映平均效益,即為,既要考,（萬元）.,2.數(shù)學(xué)期望的定義,定義,為隨機(jī)變量,的數(shù)學(xué)期望,（又稱,均值）,完,則稱,也就是說,離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收斂的級數(shù)的和.,例1,甲, 乙兩人進(jìn)行打靶,所得分?jǐn)?shù)分別記為,它們的分布律分別為,試評定他們的成績的好壞.,解,得,(分).,這意味著,如果甲進(jìn)行很多次的射擊,那么,所,得分?jǐn)?shù)的算術(shù)平均就接近 1.8,很明顯,乙的成績遠(yuǎn)不如甲的成績.,完,而乙所得分?jǐn)?shù)的,數(shù)學(xué)期望為,例2,某種產(chǎn)品每件表面上的疵點數(shù)服從參數(shù),的泊松分布,若規(guī)定疵點數(shù)不超過 1 個為一等品,值 10 元;,疵點數(shù)大于 1 個不多于 4 個為二等品,價值 8 元;,疵點數(shù)超過 4 個為廢品,求:,(1) 產(chǎn)品的廢品率;,(2) 產(chǎn)品價值的平均值.,解,價,因為,所以產(chǎn)品的廢品率為,(2) 求產(chǎn)品價值的平均值.,解,所以產(chǎn)品價值的平均值為,完,例3 某人的一串鑰匙上有n把鑰匙，其中只有一把能打開自己的家門，他隨意地試用這串鑰匙中的某一把去開門. 若每把鑰匙試開一次后除去，求打開門時試開次數(shù)的數(shù)學(xué)期望.,解: 設(shè)試開次數(shù)為X,P(X=k)= 1/n , k=1,2,n,E(X),于是,二、連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,其密度函數(shù)為,數(shù)軸上取很密的分點,的概率為,在,小區(qū)間xi, xi+1),陰影面積 近似為,小區(qū)間Xi, Xi+1),由于xi與xi+1很接近, 所以區(qū)間xi, xi+1)中的值可以用xi來近似代替.,這正是,的漸近和式.,陰影面積 近似為,該離散型r.v 的數(shù)學(xué)期望是,定義,其密度函數(shù)為,如果,絕對收斂，,注：,（1）并非所有隨機(jī)變量都有數(shù)學(xué)期望，,也就是說,連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收斂的積分.,例如，,密度函數(shù)為,的密度函數(shù)為,由于廣義積分,發(fā)散，,完,若XU(a,b), 則,若X服從,若X服從參數(shù)為,（2）由隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的定義，不難計算得：,例4,求,解,故,完,例5,求,解,使用分部積分法，,得到,完,例6,某商店對某種家用電器的銷售采用先使用后,付款的方式,規(guī)定:,概率密度為,一臺付款 1500 元;,一臺付款 2000 元;,一臺付款 2500 元;,一臺付款 3000 元.,解,即有,完,得,例7,設(shè)隨機(jī)變量,且,并求分布函數(shù),解,由題意知,解方程組得,例7,設(shè)隨機(jī)變量,且,并求分布函數(shù),解,解方程組得,有,所以,完,三、隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望,1. 問題的提出：,設(shè)已知隨機(jī)變量X的分布，我們需要計算的不是X的期望，而是X的某個函數(shù)的期望，比如說g(X)的期望. 那么應(yīng)該如何計算呢？,如何計算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望?,一種方法是，因為g(X)也是隨機(jī)變量，故應(yīng)有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出來. 一旦我們知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定義把Eg(X)計算出來.,使用這種方法必須先求出隨機(jī)變量函數(shù)g(X)的分布，一般是比較復(fù)雜的 .,那么是否可以不先求g(X)的分布而只根據(jù)X的分布求得Eg(X)呢？,定理1,下面引入有關(guān)計算隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望的定理.,在,于是,(1),其概率分布為,(2),其概率密度為,則,的數(shù)學(xué)期望為,注：定理的重要性在于：,的分布，,這給求隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望帶來很大方便.,完,定理2,且,存在，,(1),(2),其概率密度為,注：,上述定理可推廣到二維以上的情形,例8,設(shè)隨機(jī)變量,求,解,分部積分得,完,例9,求,解,分布.,則有,例10,及,解,根據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)數(shù)學(xué)期望的計算公式,有,求,例10,及,解,根據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)數(shù)學(xué)期望的計算公式,有,求,完,例11,設(shè)國際市場上對我國某種出口商品的每年需,它服從區(qū)間,上的均勻分布,每銷售出一噸商品,可為國,家賺取外匯 3 萬元;,若銷售不出,則每噸商品需貯,存費 1 萬元,問應(yīng)組織多少貨源,才能使國家收益,最大?,解,顯然應(yīng)要求,達(dá)式為,表,則,此組織 3500 噸商品為好.,易得,因,完,四、數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),1.,則,2.,則,3.,E(X1+X2) = E(X1)+E(X2);,4. 設(shè)X、Y獨立，則 E(XY)=E(X)E(Y);,注意:由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y獨立,數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),4.,且,相互獨立,則,相互獨立).,注：,有,2.,則,證,這里只對離散型情形進(jìn)行證明，,連續(xù)型情形留,給讀者.,則由定理1，,有,完,4.,則,證,這里只對連續(xù)型情形進(jìn)行證明，,離散型情形留給,讀者.,所以有,所以有,注：,例如，,在例8中，,我們已計算得,但,顯然,注：,例如，,在例8中，,我們已計算得,但,顯然,完,例12,證明,證,因為,于是,完,例13,(二項分布的數(shù)學(xué)期望),若,求,解,因,功” 次數(shù).,若設(shè),則,因為,所以,可見,的數(shù)學(xué)期望是,完,例14,一民航送客車載有 20 位旅客自機(jī)場開出,旅客有 10 個車站可以下車.,如到達(dá)一個車站沒,有旅客下車就不停車,求,(設(shè)每位旅客在各個車站下車是等可能的,并設(shè)各旅客是否下車相互獨立).,解,引入隨機(jī)變量,易知,現(xiàn)在來求,按題意,下車的概率為,因此 20 位旅客都不在