數(shù)學分析課程設(shè)計

河南科技大學課 程 設(shè) 計 說 明 書課程名稱 數(shù)學分析課程設(shè)計題 目 一元函數(shù)微分學及其應(yīng)用 學 院 數(shù)學與統(tǒng)計學院班 級 數(shù)應(yīng)122班學生姓名 趙明陽指導教師 侯海龍日 期 2015年1月9日課程設(shè)計任務(wù)書（指導教師填寫）課程設(shè)計名稱 學生姓名 專業(yè)班級 設(shè)計題目 一、課程設(shè)計目的 數(shù)學分析課程設(shè)計運用所學數(shù)學分析知識歸納、推廣、研究若干有關(guān)課題。通過本課程設(shè)計，使學生更深入地理解所學數(shù)學分析的知識，掌握運用所學數(shù)學分析知識用于數(shù)學理論，設(shè)計算法，培養(yǎng)學生數(shù)學的思維和分析能力，為今后數(shù)學學習和應(yīng)用打好基礎(chǔ)。二、設(shè)計內(nèi)容、技術(shù)條件和要求運用微分學的思想方法解決一定的實際問題。 由此對微分學的思想和方法形成深刻的認識，從而運用運動的、辯證的觀點分析問題，解決問題。 掌握數(shù)學分析的基本知識和基本理論，能熟練地進行基本運算，并具有一定的邏輯思維能力和抽象思維能力，以及分析論證能力。三、時間進度安排 第一天, 集中學習、討論，給出參考資料，進行資料查閱。 第二天, 學生選題，初步擬定實習題目，開始研究、設(shè)計。 第三天, 再次討論實習中所涉及的問題。教師指導。 第四天, 檢查各小組的實習情況。教師指導。 第五天, 提交實習成果及文檔。 四、主要參考文獻 1陳紀修數(shù)學分析第二版北京：高等教育出版社，2004 2 陳傳璋，歐陽光中數(shù)學分析第二版北京：高等教育出版社，2003 3華東師大數(shù)學系編.數(shù)學分析第三版北京：高等教育出版社，2001 4費定暉.吉米多維奇數(shù)學分析習題集題解（16冊）第四版濟南：山東科學技術(shù)出版社，2012指導教師簽字： 年 月 日一元函數(shù)微分學及其應(yīng)用摘 要 微積分局部求近似，極限求精確的基本思想貫穿于整個微積分學體系中，而微積分在各個領(lǐng)域中又有廣泛的應(yīng)用，隨著市場經(jīng)濟的不斷發(fā)展，微積分的地位也與日俱增，本文著重研究微分在經(jīng)濟活動中邊際分析、彈性分析、最值分析的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：微積分，微分，基本思想，經(jīng)濟應(yīng)用 一、微積分的產(chǎn)生、發(fā)展及其作用微積分思想的萌發(fā)出現(xiàn)的比較早，中國戰(zhàn)國時代的莊子天下篇中的“一尺之錘，日取其半，萬事不竭【】”就蘊涵了無窮小的思想。經(jīng)查閱文獻晏能中.微積分數(shù)學發(fā)展的里程牌【】得知：到了十七世紀，歐洲許多數(shù)學家也開始運用微積分的思想來解決極大值與極小值，以及曲線的長度等等。帕斯卡在求曲邊形面積時，用到“無窮小矩形”的思想，并把無窮小概念引入數(shù)學，為后來萊布尼茲的微積分的產(chǎn)生奠定了基礎(chǔ)。隨著數(shù)學科學的發(fā)展，微積分得到了進一步的發(fā)展，其中歐拉對于微積分的貢獻最大，他的無窮小分析引論、微分學、積分學三部著作對微積分的進一步豐富和發(fā)展起了重要的作用。之后，洛必達、達朗貝爾、拉格朗日、拉普拉斯、勒讓德、傅立葉等數(shù)學家也對微積分的發(fā)展作出了較大的貢獻。由于這些人的努力,微分方程、級數(shù)論得以產(chǎn)生，微積分也正式成為了數(shù)學一個重要分支。微積分的創(chuàng)立改變了整個數(shù)學世界。微積分的創(chuàng)立，極大的推動了數(shù)學自身的發(fā)展，同時又進一步開創(chuàng)了諸多新的數(shù)學分支，例如：微分方程、無窮級數(shù)、離散數(shù)學等等。此外，數(shù)學原有的一些分支，例如：函數(shù)與幾何等等，也進一步發(fā)展成為復變函數(shù)和解析幾何，這些數(shù)學分支的建立無一不是運用了微積分的方法。在微積分創(chuàng)設(shè)后這三百年中，數(shù)學獲得了前所未有的發(fā)展。二、微積分的基本思想局部求近似、極限求精確微積分是微分學和積分學的總稱，它的基本思想是：局部求近似、極限求精確。本文只具體闡述微分學的思想。1微分學的基本思想微分學的基本思想在于考慮函數(shù)在小范圍內(nèi)是否可能用線性函數(shù)或多項式函數(shù)來任意近似表示。直觀上看來，對于能夠用線性函數(shù)任意近似表示的函數(shù)，其圖形上任意微小的一段都近似于一段直線。在這樣的曲線上，任何一點處都存在一條惟一確定的直線該點處的“切線”。它在該點處相當小的范圍內(nèi)，可以與曲線密合得難以區(qū)分。這種近似，使對復雜函數(shù)的研究在局部上得到簡化。下面通過一個例子物理中物體的運動速度【】來形象了解微分學的基本思想：取坐標軸如下圖，設(shè)路程函數(shù)已知, 求物體的運動速度(即變化率)的方法分為兩步圖 （1）“局部求近似”：盡管物體在時段上作非勻速運動，但在微小時段上可近似看成是勻速運動的。以“勻”代“不勻”，或者說對變化率以“不變”代“變”，使用處理均勻問題的除法得近似值。 （2）“極限求精確”： 越小，近似程度越高，于是令，利用極限法便將此近似值轉(zhuǎn)化為精確值，即。微分學主要是研究微觀的問題，研究對象往往是“非均勻”變化量，但解決問題的基本思想方法卻大體上是一致的?？蓺w納為兩步：a.微小局部求近似值；b.利用極限求精確。微分學的這一基本思想方法貫穿于整個微積分學體系中，并且將指導我們應(yīng)用微積分知識去解決各種相關(guān)的問題。三、微分學在經(jīng)濟學中的應(yīng)用隨著經(jīng)濟的發(fā)展及數(shù)學理論的完善,數(shù)學與經(jīng)濟學的關(guān)系越來越密切,應(yīng)用越來越廣泛.微積分作為數(shù)學知識的基礎(chǔ),介紹微積分與經(jīng)濟學的書也越來越多,本文主要通過對一些簡單的微分學知識在經(jīng)濟學中的應(yīng)用,以使人們意識到理論與實際結(jié)合的重要性.、邊際分析在經(jīng)濟學中，經(jīng)常會遇到邊際這一概念，如邊際成本、邊際收益、邊際利潤等等，從文獻趙樹源.經(jīng)濟應(yīng)用數(shù)學基礎(chǔ)（一）微積分【】看，經(jīng)濟學中的邊際問題，就是相應(yīng)的經(jīng)濟函數(shù)的變化率問題，即把一個經(jīng)濟函數(shù)的導數(shù)稱為該函數(shù)的邊際函數(shù)，邊際函數(shù)在某一點的值稱為邊際值，總成本函數(shù)關(guān)于產(chǎn)量的導數(shù)稱為邊際成本，其經(jīng)濟含義是：當產(chǎn)量為時，再生產(chǎn)一個單位（即）所增加的總成本；邊際收益是指總收益函數(shù)關(guān)于銷售量的導數(shù)，其經(jīng)濟含義是：當銷售量為時，再銷售一個單位（即）所增加的總收益；邊際利潤是指總利潤函數(shù)關(guān)于銷售量的導數(shù)，其經(jīng)濟含義是：當銷售量為時，再銷售一個單位（即）所增加的總利潤。 例1 已知某企業(yè)某種產(chǎn)品的收益（元）是銷售量（噸）的函數(shù)為：求銷售噸該產(chǎn)品時的邊際收益，并說明其經(jīng)濟含義。解：依題意得，銷售噸產(chǎn)品的邊際收益函數(shù)為：因此，銷售噸該產(chǎn)品的邊際收益為：其經(jīng)濟含義是：當銷售量為噸時，再增加一噸（即）所增加的總收益是元。例2 某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每月的總成本（千元）是產(chǎn)量（件）的函數(shù)，如果每件產(chǎn)品的銷售價格為萬元，求每月生產(chǎn)件、件、件、件時的邊際利潤，并說明其經(jīng)濟含義。 解：依題意得，每月生產(chǎn)件產(chǎn)品的總收入函數(shù)為：因此，生產(chǎn)件產(chǎn)品的總利潤函數(shù)為：于是，邊際利潤函數(shù)為 則每月生產(chǎn)件、件、件、件時的邊際利潤分別是：其經(jīng)濟含義是：當月產(chǎn)量為件時，再增產(chǎn)件，利潤將增加元；當月產(chǎn)量為件時，再增產(chǎn)件，利潤將增加元；當月產(chǎn)量為件時，再增產(chǎn)件，利潤則不會增加；當月產(chǎn)量為件時，再增產(chǎn)件，利潤反而會減少元。2、彈性分析由經(jīng)濟學知識知，某個變量對另一個變量變化的反映程度稱為彈性或彈性系數(shù)。在經(jīng)濟工作中有多種多樣的彈性，這決定于所考察和研究的內(nèi)容，如果是價格的變化與需求反映之間有關(guān)系，那么這個反映就稱為需求彈性。由于具體商品本身屬性的不同以及消費需求的差異，同樣的價格變化給不同商品的需求帶來的影響是不同的。有的商品反應(yīng)靈敏，彈性大，漲價降價會造成劇烈的銷售變動；有的商品則反應(yīng)呆滯，彈性小，價格變化對其沒什么影響。（）需求彈性：對于需求函數(shù),根據(jù)彈性的定義，需求對價格的彈性系數(shù)為由于價格上漲時，商品的需求函數(shù)為單調(diào)減函數(shù)， 與異號，所以特殊定義需求對價格的彈性函數(shù)為。 例1 設(shè)某商品的需求函數(shù)為，求需求彈性函數(shù)；的需求彈性。 解： ，說明當時，價格上漲，需求減少，需求變動的幅度小于價格變動的幅度； ，說明當時，價格上漲，需求也減少，需求變動的幅度與價格變動的幅度是一樣的； ，說明當時，價格上漲，需求減少，需求變動的幅度大于價格變動的幅度。3、最值分析 例1國內(nèi)市場和國外市場的需求函數(shù)分別,，某企業(yè)的總成本函數(shù)。企業(yè)為取得最大利潤，在國內(nèi)外市場銷售產(chǎn)品可以實行差別定價或統(tǒng)一定價。求：（1）差別價格；（2）統(tǒng)一價格；（3）比較這兩種定價的不同利潤。 解：利潤函數(shù) （1）, , , （2）求最大利潤而統(tǒng)一定價，即,合并兩個需求函數(shù) 總收入為 (3) 差別價格時的利潤為： 統(tǒng)一價格時的利潤為： 綜上所述，說明差別價格時取得的最大利潤比較高。4.總結(jié)： 微積分是人類智慧最偉大的成就之一，局部求近似、極限求精確的基本思想是進一步學習高等數(shù)學的基礎(chǔ)。隨著市場經(jīng)濟的不斷發(fā)展，利用數(shù)學知識解決經(jīng)濟問題顯得越來越重要，本文主要探討運用微分對經(jīng)濟活動中的實際問題進行量化分析，從而為企業(yè)經(jīng)營者的科學決策提供依據(jù)。微分學局部求近似、極限求精確的基本思想方法貫穿于整個微積分學體系中，在經(jīng)濟日益發(fā)展的今天，微分學的地位也與日俱增，貸款、養(yǎng)老金、醫(yī)療保險、企業(yè)分配、市場需求等等金融問題越來越多地進入普通人的生活，利用微分學的知識有利于我們?nèi)ソ鉀Q各種相關(guān)的問題。 注釋：邊際：是指隨著某一事物超過一定界限而隨著再增