2018_2019學年高中數(shù)學第一章三角函數(shù)第6節(jié)三角函數(shù)模型的簡單應用教案（含解析）新人教A版.docx

1.6三角函數(shù)模型的簡單應用知識點1三角函數(shù)在物理中的應用講一講1單擺從某點開始來回擺動，離開平衡位置的距離s(單位：cm)和時間t(單位：s)的函數(shù)關系式為s6sin.(1)作出函數(shù)的圖象；(2)當單擺開始擺動(t0)時，離開平衡位置的距離是多少？(3)當單擺擺動到最右邊時，離開平衡位置的距離是多少？(4)單擺來回擺動一次需多長時間？嘗試解答(1)利用“五點法”可作出其圖象(2)因為當t0時，s6sin3，所以此時離開平衡位置3 cm.(3)離開平衡位置6 cm.(4)因為T1，所以單擺來回擺動一次所需的時間為1 s.類題通法三角函數(shù)在物理中的應用三角函數(shù)模型在物理中的應用主要體現(xiàn)在簡諧運動中，其中對彈簧振子和單擺的運動等有關問題考查最多，解決這類問題時尤其要弄清振幅、頻率、周期、平衡位置等物理概念的意義和表示方法練一練1交流電的電壓E(單位：V)與時間t(單位：s)的關系可用E220sin來表示，求：(1)開始時電壓；(2)電壓值重復出現(xiàn)一次的時間間隔；(3)電壓的最大值和第一次獲得最大值的時間解：(1)當t0時，E110(V)，即開始時的電壓為110 V.(2)T(s)，即時間間隔為0.02 s.(3)電壓的最大值為220 V，當100t，即t s時第一次取得最大值.知識點2三角函數(shù)在實際問題中的應用講一講2心臟跳動時，血壓在增加或減少血壓的最大值、最小值分別稱為收縮壓和舒張壓，血壓計上的讀數(shù)就是收縮壓和舒張壓，讀數(shù)120/80 mmHg為標準值設某人的血壓滿足函數(shù)式p(t)11525sin 160t，其中p(t)為血壓(mmHg)，t為時間(min)，試回答下列問題：(1)求函數(shù)p(t)的周期；(2)求此人每分鐘心跳的次數(shù)；(3)畫出函數(shù)p(t)的草圖；(4)求出此人的血壓在血壓計上的讀數(shù)嘗試解答(1)由于160，代入周期公式T，可得T(min)，所以函數(shù)p(t)的周期為 min.(2)每分鐘心跳的次數(shù)即為函數(shù)的頻率f80(次)(3)列表：t0p(t)11514011590115描點、連線并向左右擴展得到函數(shù)p(t)的簡圖如圖所示：(4)由圖可知此人的收縮壓為140 mmHg，舒張壓為90 mmHg.類題通法(1)在讀題時把問題提供的“條件”逐條地“翻譯”成“數(shù)學語言”，這個過程就是數(shù)學建模的過程(2)在解題中，將實際問題轉化為與三角函數(shù)有關的問題，常見形式有：求出三角函數(shù)的解析式，畫出函數(shù)的圖象以及利用函數(shù)的性質進行解題練一練2如圖為一個纜車示意圖，纜車半徑為4.8 m，圓上最低點與地面的距離為0.8 m,60 s轉動一圈，圖中OA與地面垂直，以OA為始邊，逆時針轉動角到OB，設B點與地面距離是h.(1)求h與間的函數(shù)解析式；(2)設從OA開始轉動，經(jīng)過t s后到達OB，求h與t之間的函數(shù)解析式，并求纜車到達最高點時用的最少時間是多少？解：(1)以圓心O為原點，建立如圖所示的坐標系，則以Ox為始邊，OB為終邊的角為，故B點坐標為.h5.64.8sin.(2)點A在圓上轉動的角速度是，故t s轉過的弧度數(shù)為.h5.64.8sin，t0，)到達最高點時，h10.4 m.由sin1，得t2k，kN，tmin30(s)即纜車到達最高點時，用的時間最少為30秒.知識點3建立三角函數(shù)模型解決實際問題講一講3已知某海濱浴場海浪的高度y(米)是時間t(0t24，單位：時)的函數(shù)，記作：yf(t)下表是某日各時的浪高數(shù)據(jù).t(時)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)yf(t)的函數(shù)解析式；(2)依據(jù)規(guī)定，當海浪高度高于1米時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù)(1)的結論，判斷一天內上午8：00至晚上20：00之間，有多少時間可供沖浪愛好者進行運動？嘗試解答(1)由表中數(shù)據(jù)描出各點，并把這些點用平滑的曲線連接起來(如圖)，由圖知，可設f(t)Acos tb，并且周期T12，.由t0，y1.5，得Ab1.5；由t3，y1.0，得b1.0.A0.5，b1.ycos t1.(2)由題知，當y1時才可對沖浪愛好者開放，cos t11.cos t0.2kt2k(kZ)，即12k3t12k3(kZ)0t24，故可令中k分別為0,1,2，得0t3或9t15或210，0，)的半個周期的圖象，則該天8 h的溫度大約為()A16 B15 C14 D13 解析：選D由題意得A(3010)10，b(3010)20.2(146)16，16，y10sin20，將x6，y10代入得10sin62010，即sin1，由于0，0)，則解得A100，b800.又周期T2(60)12，y100sin800.又當t6時，y900，900100sin800，sin()1，sin 1，取，y100sin800.(2)當t2時，y100sin800750，即當年3月1日動物種群數(shù)量約是750.題組3建立三角函數(shù)模型解決實際問題7設yf(t)是某港口水的深度y(米)關于時間t(時)的函數(shù)，其中0t24.下表是該港口某一天從0時至24時的時間t與水深y的關系：t03691215182124y1215.112.19.111.914.911.98.912.1經(jīng)長期觀察，函數(shù)yf(t)的圖象可近似地看成函數(shù)ykAsin(t)的圖象下列函數(shù)中，最能近似表示表中數(shù)據(jù)間對應關系的是()Ay123sin t，t0,24By123sin，t0,24Cy123sin t，t0,24Dy123sin，t0,24解析：選Ayf(t)的關系對應的“散點圖”如下：由“散點圖”可知，k12，A3.周期T12，所以.又t0時，y12，t3時，y15.所以0.因此，y123sin t，故選A.能力提升綜合練1如圖是一向右傳播的繩波在某一時刻繩子各點的位置圖，經(jīng)過周期后，乙的位置將移至()A甲 B乙 C丙 D丁解析：選C該題目考查了最值與周期間的關系：相鄰的最大值與最小值之間間隔區(qū)間長度相差半個周期，故選C.2.如圖是函數(shù)ysin x(0x)的圖象，A(x，y)是圖象上任意一點，過點A作x軸的平行線，交其圖象于另一點B(A，B可重合)設線段AB的長為f(x)，則函數(shù)f(x)的圖象是()解析：選A當x時，f(x)2x；當x時，f(x)2x，故選A.3動點A(x，y)在圓x2y21上繞坐標原點沿逆時針方向勻速旋轉，12秒旋轉一周已知當時間t0時，點A的坐標是，則當0t12時，動點A的縱坐標y關于t(單位：秒)的函數(shù)的單調遞增區(qū)間是()A0,1 B1,7 C7,12 D0,1和7,12解析：選D由已知可得該函數(shù)的周期T12，.又當t0時，A，ysin，t0,12可解得函數(shù)的單調遞增區(qū)間是0,1和7,124.如圖，半圓的直徑為2，A為直徑MN的延長線上一點，且OA2，B為半圓上任意一點，以AB為邊作等邊三角形ABC.當AOBx時，S四邊形OACB等于()Asin x Bsin xcos xCcos x Dsin xcos x解析：選B如圖，S四邊形OACBSAOBSABC.過點B作BDMN于D，則BDBOsin(x)，即BDsin x.SAOB2sin xsin x.ODBOcos(x)cos x，AB2BD2AD2sin2x(cos x2)254cos x.SABCABcos x.S四邊形OACBSAOBSABCsin xcos x.5一根長a cm的線，一端固定，另一端懸掛一個小球，小球擺動時，離開平衡位置的位移s(cm)和時間t(s)的函數(shù)關系式是s3cos，t，則小球擺動的周期為_解析：T.答案：6據(jù)市場調查，某種商品一年內每件的出廠價在7千元的基礎上，按月呈f(x)Asin(x)B的模型波動(x為月份)，已知3月份達到最高價9千元，9月份價格最低為5千元根據(jù)以上條件可確定f(x)的解析式為_解析：由條件可知，B7，A972.又T2(93)12，.3月份達到最高價，3，0.所以f(x)的解析式為f(x)2sin x7.答案：f(x)2sin x7(1x12，xN)7.如圖，某市某天從6時到14時的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)yAsin(x)b.(1)求這一天最大的溫差；(2)求這段曲線的函數(shù)解析式解：(1)由圖象得這一天的最高溫度是2 ，最低溫度是12 ，所以這一天最大的溫差是2(12)10()(2)由(1)得解得由圖象得函數(shù)的周期T2(146)16，則16，解得.所以y5sin7.由圖象知點(6，12)在函數(shù)的圖象上，則125sin7，整理得sin1，所以2k，kZ，即2k，kZ，則可取.所以這段曲線的函數(shù)解析式是y5sin7(6x14)8在一個港口，相鄰兩次高潮發(fā)生時間相距12 h，低潮時水的深度為8.4 m，高潮時為16 m，一次高潮發(fā)生在10月10日4：00.每天漲潮落潮時，水的深度d(m)與時間t(h)近似滿足關系式dAsin(t)h.(1)若從10月10日0：00開始計算時間，試用一個三角函數(shù)來近似描述該港口的水深d(m)和時間t(h)之間的函數(shù)關系；(2)10月10日17：00該港口水深約為多少？(精確到0.1 m)(3)10月10日這一天該港口共有多少時間水深低于10.3 m?解：(1)依題意知T12，故，h12.2，A16