幾種特殊類型函數(shù)的積分(4).ppt

幾種特殊類型函數(shù)的積分,一、有理函數(shù)的積分,有理函數(shù)的定義：,兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之.,假定分子與分母之間沒(méi)有公因式,這有理函數(shù)是真分式；,這有理函數(shù)是假分式；,利用多項(xiàng)式除法, 假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.,例,難點(diǎn),將有理函數(shù)化為部分分式之和.,（1）分母中若有因式 ，則分解后為,有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：,特殊地：,分解后為,注,關(guān)于部分分式分解,例如,但若,矛盾,特殊地：,分解后為,真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法,例1,代入特殊值來(lái)確定系數(shù),取,取,取,并將 值代入,例2,例3,整理得,例4 求積分,解,例5 求積分,解,例6 求積分,解,令,說(shuō)明,將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：,多項(xiàng)式；,討論積分,令,則,記,這三類積分均可積出, 且原函數(shù)都是初等函數(shù).,結(jié)論,有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).,注意,以上介紹的雖是有理函數(shù)積分的普遍方法，但對(duì) 一個(gè)具體問(wèn)題而言，未必是最簡(jiǎn)捷的方法，應(yīng)首先考慮用其它的簡(jiǎn)便方法。,基本思路,三角有理式的定義：,由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之一般記為,二、三角函數(shù)有理式的積分,（萬(wàn)能置換公式）,例7 求積分,解,由萬(wàn)能置換公式,例8 求積分,解（一）,解（二）,修改萬(wàn)能置換公式,令,解（三）,可以不用萬(wàn)能置換公式.,結(jié)論,比較以上三種解法, 便知萬(wàn)能置換不一定是最佳方法, 故三角有理式的計(jì)算中先考慮其它手段, 不得已才用萬(wàn)能置換.,如,若用萬(wàn)能代換，則,化部分分式比較困難,但若是湊微分，則比較簡(jiǎn)單,基本思路,例9 求積分,解,討論類型,解決方法,作代換去掉根號(hào).,例10 求積分,解,三、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的積分,例11 求積分,解 令,說(shuō)明,無(wú)理函數(shù)去根號(hào)時(shí), 取根指數(shù)的最小公倍數(shù).,例12 求積分,解,先對(duì)分母進(jìn)行有理化,原式,例13,解一,令,解二,令,簡(jiǎn)單無(wú)理式的積分.,有理式分解成部分分式之和的積分.,（注意：必須化成真分式）,三角有理式的積分.（萬(wàn)能置換公式）,（注意：萬(wàn)能公式并不萬(wàn)能）,四、小結(jié),思考