函數(shù)的連續(xù)性(130).ppt

2.7 函數(shù)的連續(xù)性(1),一、函數(shù)的連續(xù)性,二、函數(shù)的間斷點(diǎn),三、 小結(jié),一、函數(shù)的連續(xù)性,1.函數(shù)的增量,設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)有定義，,稱為自變量在點(diǎn) 的增量.,稱為函數(shù) 相應(yīng)于 的增量.,2.連續(xù)的定義,那末就稱函數(shù) 在 點(diǎn)連續(xù),設(shè)函數(shù) 在 內(nèi)有定義，若,從而，我們有連續(xù)的等價(jià)定義:,（1） 在 有定義；,（2） 存在；,（3）,定義給出了連續(xù)性的判斷方法：看極限值是否等于函數(shù)值.,由定義2知,證,因?yàn)?又,函數(shù) 在 處連續(xù).,3.左、右連續(xù),若 在 內(nèi)有定義且,則稱 在 左連續(xù).,若 在 內(nèi)有定義且,定理,此定理常用來(lái)判斷分段函數(shù)在分界點(diǎn)的連續(xù)性.,在 連續(xù),則稱 在 右連續(xù).,在 處既左連續(xù)又右連續(xù).,即：,例2,解,處連續(xù).,要使,例3. 討論函數(shù)在 x = 0 處的連續(xù)性, y = | x | 在點(diǎn) x = 0 處連續(xù).,x,y,y = | x |,O,證明：,sgn x|x=0=sgn 0 = 0,故符號(hào)函數(shù) y = sgnx 在點(diǎn) x = 0 處不連續(xù).,證明：,證明：,連續(xù),4.連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間,在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),如果函數(shù)在開區(qū)間 內(nèi)連續(xù),在右端點(diǎn) 處左連續(xù)，,或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).,連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.,二、函數(shù)的間斷點(diǎn),. 定義,（或間斷）；,稱 在點(diǎn) 處不連續(xù),而稱點(diǎn) 為函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)(或間斷點(diǎn)).,可能的間斷點(diǎn)：沒(méi)有意義的點(diǎn)，分段函數(shù)的分界點(diǎn),則稱點(diǎn) 為可去間斷點(diǎn).,1）跳躍間斷點(diǎn),例4,間斷點(diǎn)的分類,如果 在點(diǎn) 處左、右極限都存在，但是不相等,則稱點(diǎn) 為函數(shù)的,跳躍間斷點(diǎn).,解,2）可去間斷點(diǎn),如果 在點(diǎn) 的極限存在，但,解,如例5中,跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷點(diǎn).,其特點(diǎn):,注意 可去間斷點(diǎn)只要改變或者補(bǔ)充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).,如果 在點(diǎn) 處的左、右極限至少有一個(gè)不存在，,3）第二類間斷點(diǎn),例6,解,這種情況稱為無(wú)窮間斷點(diǎn).,例7,解,二類間斷點(diǎn).,這種情況稱為振蕩間斷點(diǎn).,例8 求函數(shù),的間斷點(diǎn)，并判斷,其類型,解 顯然,是,的間斷點(diǎn)。,又,所以,是第二類間斷點(diǎn)。,注: 間斷點(diǎn)的求法, 間斷點(diǎn)類型的判別,如何找間斷點(diǎn)？,（1）初等函數(shù)：求定義域,各子區(qū)間的邊界點(diǎn),（2）分段函數(shù)：討論分段函數(shù)的分界點(diǎn),(1) (x)在x0 是否處有定義？,逐步研究：,左連續(xù),右連續(xù),第一類間斷點(diǎn),可去間斷點(diǎn),跳躍間斷點(diǎn),左右極限都存在,第二類間斷點(diǎn),無(wú)窮間斷點(diǎn),振蕩間斷點(diǎn),左右極限至少有一個(gè)不存在