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文檔簡介

一、可分離變量的微分方程,可分離變量的微分方程.,解法,為微分方程的解.,分離變量法,例1 求解微分方程,解,分離變量,兩端積分,二、典型例題,解,分離變量,兩端積分,將,代入上式，得,所以原方程的通解為,所以原方程的特解為,即,。,解,由題設條件,衰變規(guī)律,例 4,有高為1米的半球形容器, 水從它的底部小孔流出, 小孔橫截面積為1平方厘米(如圖). 開始時容器內盛滿了水, 求水從小孔流出過程中容器里水面的高度h(水面與孔口中心間的距離)隨時間t的變化規(guī)律.,解,由力學知識得,水從孔口流出的流量為,設在微小的時間間隔,水面的高度由h降至 ,比較(1)和(2)得:,即為未知函數(shù)的微分方程.,可分離變量,所求規(guī)律為,解,設鼓風機開動后 時刻 的含量為,在 內,的通入量,的排出量,6分鐘后, 車間內 的百分比降低到,三、齊次方程,的微分方程稱為齊次方程.,2.解法,作變量代換,代入原式,可分離變量的方程,1.定義,例 6 求解微分方程,微分方程的解為,解,例 7 求解微分方程,解,微分方程的解為,例 8 拋物線的光學性質,實例: 車燈的反射鏡面-旋轉拋物面,解,如圖,得微分方程,由夾角正切公式得,分離變量,積分得,平方化簡得,拋物線,四、可化為齊次的方程,為齊次方程.,（其中h和k是待定的常數(shù)）,否則為非齊次方程.,2.解法,1.定義,有唯一一組解.,得通解代回,未必有解, 上述方法不能用.,可分離變量的微分方程.,可分離變量的微分方程.,可分離變量.,解,代入原方程得,分離變量法得,得原方程的通解,方程變?yōu)?例10 求解微分方程,解,令,再令,兩邊積分后得,變量還原得,例11 求解微分方程,解,令,令,令,兩邊同時積分得,變量還原后得通解,利用變量代換求微分方程的解,解,代入原方程,原方程的通解為,通解為,解,分離變量法步驟:,1、分離變量;,2

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