科學(xué)與工程計算科學(xué)計算.ppt

,科學(xué)與工程計算方法,主要內(nèi)容 常微分?jǐn)?shù)值計算方法簡介 偏微分方程數(shù)值計算方法 （差分法、有限元法、有限體積法） 統(tǒng)計方法簡介 選講內(nèi)容 計算流體力學(xué)方法簡介 計算電磁學(xué)方法簡介,主要參考書 科學(xué)與工程計算方法 北京理工大學(xué)出版社 數(shù)值計算方法 北京理工大學(xué)出版社等 偏微分方程數(shù)值解法 清華大學(xué)出版社、華中理工大學(xué)出版社等 微分方程的數(shù)值方法(英文) springer出版社 實用多元統(tǒng)計方法與SAS系統(tǒng) 北京大學(xué)出版社 計算電磁學(xué)的數(shù)值方法 清華大學(xué)出版社,常微分方程的初值問題 第一節(jié) 幾種經(jīng)典方法,求解常微分方程初值問題,的數(shù)值解，就是尋求準(zhǔn)確解,在一系列離散節(jié)點,上的近似值,只有初值問題的解存在且唯一時，使用數(shù)值解法才有意義， 這一前提條件由下 面定理保證。,1: 歐拉法(歐拉折線法),向前、向后歐拉(Euler)公式。以上方法稱為歐拉法或歐拉折線法。,歐拉公式的幾何意義,歐拉法的其它解釋：,2: 改進的歐拉法(梯形法),歐拉法形式簡單，計算方便，但曲線的曲率較大時，歐拉法 的效果差。于是，對歐拉法進行改進，用梯形公式計算,得到改進的歐拉公式,稱為改進的歐拉法，也稱為梯形法。,先用歐拉公式,3: 預(yù)估一校正法,預(yù)估校正公式也常寫成下列形式：,公式的局部截斷誤差,歐拉法的局部截斷誤差,近似解與準(zhǔn)確解比較，歐拉法的結(jié)果大致只有兩位有效數(shù)字， 而預(yù)估校正法的結(jié)果則 有3位有效數(shù)字。,四 顯式龍格庫塔法,一 泰勒級數(shù)法,設(shè)有初值問題,由泰勒展開式,即公式(2)為k階方法。,所以這種方法實際上不能用來解初值問題。,二 龍格庫塔方法(R-K方法),R-K方法不是通過求導(dǎo)數(shù)的方法構(gòu)造近似公式，而是通過計算不同 點上的函數(shù)值，并對這些函數(shù)值作線性組合，構(gòu)造近似公式，再把 近似公式與解的泰勒展開式進行比較，使前面的若干項相同，從而 使近似公式達到一定的階數(shù)。先分析歐拉法與預(yù)估校正法。,與二階龍格庫塔公式的討論方法類似，只需8個參數(shù)滿足,滿足條件(6)的一族公式(5)統(tǒng)稱為三階龍格庫塔公式。,一個比較簡單的三階龍格龍塔公式是,(6),(6)式中13個待定常數(shù)需滿足下列11個方程的方程組,和吉爾公式,例 用標(biāo)準(zhǔn)四階龍格庫塔方法求解初值問題,解 計算過程和結(jié)果,五、常用的線性多步公式,四階Adams顯式公式,四階Adams隱式公式,1. Adams公式,（二）Milne公式,（三）Hamming公式,第二節(jié)：常微分方程組與高階方程的數(shù)值解法 經(jīng)典方法的推廣,前面幾節(jié)介紹了一階微分方程初值問題的各種數(shù)值解法，這些解法 同樣適用 于一階微分方程組與高階方程。首先從簡單的開始，下 面僅就兩個未知函數(shù)的方程組和二階方程為例說明各種方法的計算 公式。,3四階標(biāo)準(zhǔn)龍格庫塔公式,4四階亞當(dāng)斯顯式公式,高階方程,我們以二階方程為例來說明高階方程