高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)講解.ppt

導(dǎo)數(shù)的概念 及基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一、復(fù)習(xí)目標,了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景(瞬時速度, 加速度, 光滑曲線切線的斜率等), 掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 理解導(dǎo)數(shù)的概念, 熟記常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式 c, xm(m 為有理數(shù)), sinx, cosx, ex, ax, lnx, logax 的導(dǎo)數(shù), 并能熟練應(yīng)用它們求有關(guān)導(dǎo)數(shù).,二、重點解析,導(dǎo)數(shù)概念比較抽象, 其定義、方法一般不太熟悉, 因此對導(dǎo)數(shù)概念的理解是學(xué)習(xí)中的一個難點. 本節(jié)要重點掌握根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法. 一方面, 根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)可進一步理解導(dǎo)數(shù)的概念, 另一方面, 許多法則都是由導(dǎo)數(shù)定義導(dǎo)出的.,導(dǎo)函數(shù)(導(dǎo)數(shù))是一個特殊的函數(shù), 它的引出和定義始終貫穿著函數(shù)思想, 首先定義函數(shù) y=f(x) 在點 x0 處可導(dǎo), 且在 x0 處有唯一的導(dǎo)數(shù) f(x0), 然后定義函數(shù) y=f(x) 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo),因而對于開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)每一個確定的值, 都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù) f(x0). 據(jù)函數(shù)定義, 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)就構(gòu)成了一個新函數(shù), 即導(dǎo)數(shù).,三、知識要點,1.導(dǎo)數(shù)的概念,f(x0) 或 y | x=x0, 即:,求函數(shù) y=f(x) 在點 x0 處的導(dǎo)數(shù)的步驟:,(1)求函數(shù)的增量: y=f(x0+x)-f(x0);,如果函數(shù) f(x) 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)每一點都可導(dǎo), 就說 f(x) 在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo). 這時, 對于開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)每一個確定的值 x0, 都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù) f(x0), 這樣就在開區(qū)間 (a, b) 內(nèi)構(gòu)成一個新的函數(shù), 我們把這一新函數(shù)叫做 f(x) 在開區(qū)間 (a, b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù), 記作 f(x) 或 y(需指明自變量 x 時記作 yx), 即:,函數(shù) y=f(x) 在點 x0 處的導(dǎo)數(shù) f(x0), 就是曲線y=f(x) 在點 P(x0, f(x0) 處的切線的斜率 k, 即: k=tan=f(x0). 相應(yīng)的切線方程為 y-y0=f(x0)(x-x0).,2.導(dǎo)數(shù)的意義,(1)幾何意義:,(2)物理意義:,函數(shù) S=s(t) 在點 t0 處的導(dǎo)數(shù) s(t0), 就是當物體的運動方程為 S=s(t) 時, 物體運動在時刻 t0 時的瞬時速度 v, 即: v=s(t0). 設(shè) v=v(t) 是速度函數(shù), 則 v(t0)表示物體在時刻 t=t0 時的加速度.,導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù). 當 x0(a, b) 時, 函數(shù) f(x) 在點 x0 處的導(dǎo)數(shù) f(x0) 等于函數(shù) f(x) 在開區(qū)間 (a, b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù) f(x) 在點 x0 處的函數(shù)值.,如果函數(shù) y=f(x) 在點 x0 處可導(dǎo), 那么函數(shù) y=f(x) 在點 x0 處連續(xù), 但要注意連續(xù)不一定可導(dǎo).,3.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù),(1)c=0(c 為常數(shù)), (xn)=nxn-1(nQ);,(2)(sinx)=cosx, (cosx)=-sinx;,(4)(ex)=ex, (ax)=axlna.,典型例題 1,解: (1)要使 f(x) 在 x=0 處連續(xù), 則需,故當 b=1 時, 可使 f(x) 在 x=0 處連續(xù).,故當 b-1=0 且 a=1 即 a=b=1 時, f(x) 在 x=0 處可導(dǎo).,綜上所述, 當 b=1, aR 時, f(x) 在 x=0 處連續(xù), 當 a=b=1 時, f(x) 在 x=0 處可導(dǎo).,(2)由(1)知, f(0)=1, 又 f(0)=1,故曲線 y=f(x) 在點 P(0, f(0) 處的切線方程為,y-1=x-0,即 x-y+1=0.,典型例題 2,若 f(x) 在 R 上可導(dǎo), (1)求 f(-x) 在 x=a 處的導(dǎo)數(shù)與 f(x) 在 x=-a 處的導(dǎo)數(shù)的關(guān)系; (2)證明: 若 f(x) 為偶函數(shù), 則 f(x) 為奇函數(shù).,(1)解: 設(shè)f(-x)=g(x), 則,=-f(-a).,f(-x) 在 x=a 處的導(dǎo)數(shù)與 f(x) 在 x=-a 處的導(dǎo)數(shù)互為相反數(shù).,(2)證: f(x) 為偶函數(shù),f(x) 為奇函數(shù).,=-f(x),注: 本題亦可利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則解決.,典型例題 3,已知曲線 C: y=x3-3x2+2x, 直線 l: y=kx, 且直線 l 與曲線 C 相切于點 (x0, y0)(x00), 求直線 l 的方程及切點坐標.,點 (x0, y0) 在曲線 C 上, y0=x03-3x02+2x0.,又 y=3x2-6x+2,在點 (x0, y0) 處曲線 C 的切線斜率 k=y|x=x0.,x02-3x0+2=3x02-6x0+2.,整理得 2x02-3x0=0.,注 有關(guān)曲線的切線問題, 可考慮利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義. 曲線 C 在某一定點處的切線是唯一的, 因此斜率也是唯一的(若存在的話), 采用斜率相等這一重要關(guān)系, 往往都可解決這類問題.,典型例題 4,它在 P 處的切線斜率 k1=-2,課后練習(xí) 1,=1, f(x) 在 x=1 處不可導(dǎo).,注 判定分段函數(shù)在“分界點處”的導(dǎo)數(shù)是否存在, 要驗證其左、右極限是否存在且相等, 如果存在且相等, 那么這點的導(dǎo)數(shù)存在, 否則不存在.,課后練習(xí) 2,若函數(shù) f(x)=|x|, (1)試判斷 f(x) 在 x=0 處是否可導(dǎo); (2)當 x0時, 求 f(x) 的導(dǎo)數(shù).,解: (1)y=f(0+x)-f(0)=|x|,故函數(shù) f(x)=|x| 在點 x=0 處不可導(dǎo).,(2)當 x0 時, 可使 x+x0.,=1.,同理可得, 當 x0 時, f(x)=-1.,注 函數(shù)在一點連續(xù), 但不一定可導(dǎo); 函數(shù)在一點可導(dǎo), 直觀反映是函數(shù)的圖象在這一點是平滑的.,課后練習(xí) 3,一質(zhì)點作直線運動, 它所經(jīng)過的路程 S(單位: m)和時間 t(單位: s)的關(guān)系是 S=3t2+t+1. (1)求 2, 2.01 這段時間內(nèi)質(zhì)點的平均速度; (2)當 t=2 時的瞬時速度.,解: (1)S=32.012+2.01+1-(322+2+1),=0.1303.,=13.03(m/s).,(2)S=3(t+t)2+(t+t)+1-(3t2+t+1),=3t2+(1+6t)t,=3t+1+6t.,=6t+1.,v | t=2=13.,即當 t=2 時, 質(zhì)點運動的瞬時速度為 13m/s.,注 (2)亦可直接對函數(shù)求導(dǎo)后解決.,課后練習(xí) 4,如果曲線 y=x3+x-10 的某一切線與直線 y=4x+3 平行, 求切點坐標與切線方程.,解: 切線與直線 y=4x+3 平行,切線斜率為 4.,又切線在 x0 處斜率為 y | x=x0,3x02+1=4.,x0=1.,當 x0=1 時, y0=-8;,當 x0=-1 時, y0=-12.,切點坐標為 (1, -8) 或 (-1, -12).,切線方程為 y=4x-12 或 y=4x-8.,=(x3+x-10) | x=x0,=3x02+1.,課后練習(xí) 5,已知曲線 S: y=x3-6x2-x+6. (1)求 S 上斜率最小的切線方程; (2)證明: S 關(guān)于切點對稱.,(1)解: 由已知 y=3x2-12x-1,當 x=2 時, y 最小, 最小值為 -13.,S 上斜率最小的切線的斜率為 -13, 切點為 (2, -12).,切線方程為 y+12=-13(x-2),即 13x+y-14=0.,(2)證: 設(shè) (x0, y0)S, (x, y) 是 (x0, y0) 關(guān)于 (2, -12) 的對稱點,則 x0=4