大地線的定義與性質(zhì).ppt

2.2.5 大地線,1、大地線的定義與性質(zhì) 法截?。河蓹E球面上A點(diǎn)的法線與B點(diǎn)所確定的法截面與橢球面相割得到的曲線稱為A到B的法截弧。 相對(duì)法截?。?A到B的法截弧與B到A的法截弧。 由相對(duì)法截弧構(gòu)成的橢球面三角形 不是閉合圖形。,2.2.5 大地線（續(xù)1）,大地線的定義：大地線的主法線與曲面法線處處重合。 大地線的性質(zhì)：1、大地線上任何點(diǎn)的密切平面就是該點(diǎn) 的法截面； 2、曲面上連接任何兩點(diǎn)的最短直線必為 大地線。 3、大地線的測地曲率等于0 曲線的測地曲率：曲線的曲率在曲面切平面上的投影。 大地線的曲率： 大地線的撓率,2.2.5 大地線（續(xù)2）,2、大地坐標(biāo)系中大地線的微分方程 (1). 大地線的二階微分方程 以u(píng),v 為參數(shù)的一般曲面的大地線微分方程可表示為： 下標(biāo)為相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)。,2.2.5 大地線（續(xù)3）,對(duì)于橢球面，有： 代入前面公式，得： 則旋轉(zhuǎn)橢球面上大地線的微分方程為：,2.2.5 大地線（續(xù)4）,(2). 克萊勞定理,直角坐標(biāo)系中的橢球面方程：,橢球面法向量為：,以大地線弧長為參數(shù)的大地線主法線向量為：,兩者指向一致，即：,2.2.5 大地線（續(xù)5）,由上式的前兩個(gè)方程得：,將三維空間坐標(biāo)與大地坐標(biāo)的關(guān)系及其微分關(guān)系：,1,代入 式，整理得：,1,2,2.2.5 大地線（續(xù)6）,將關(guān)系： 即：大地線上各點(diǎn)的平行圈 半徑與該點(diǎn)的大地線方位角 正弦的乘積是常數(shù)。,代入上式，即得克萊勞定理：,2.2.5 大地線（續(xù)7）,(3). 大地線的一階微分關(guān)系式,由克萊勞定理，微分得：,2.2.5 大地線（續(xù)8）,又如圖所示：,代入上式，得：,三個(gè)微分關(guān)系式可整理為：,3,2.2.5 大地線（續(xù)9）,3、以弧長和大地方位角為參數(shù)的大地線方程,大地線始點(diǎn)坐標(biāo)P0(B0,L0)，大地線上任何點(diǎn)的位置向量都可以展開成S,A的級(jí)數(shù)形式：,Frenet標(biāo)架的坐標(biāo)軸定義：x指向大地線的切向t， y指向大地線的主法向n，向內(nèi)為正， z指向大地線的副法向b，構(gòu)成左手系。,4,2.2.5 大地線（續(xù)10）,顯然有：,根據(jù)曲線論中的Frenet公式：,由以上兩式可求出各階導(dǎo)數(shù)：,2.2.5 大地線（續(xù)11）,將上式代入大地線展開式 ，得Frenet標(biāo)架下的三維坐標(biāo)：,4,5,顧及公式：,2.2.5 大地線（續(xù)12）,和：,求導(dǎo)得：,2.2.5 大地線（續(xù)13）,代入Frenet標(biāo)架下的三維坐標(biāo)公式 ，得：,5,2.2.5 大地線（續(xù)14）,將坐標(biāo)系饒 y逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)A， 得x”、y”、z”坐標(biāo)系，則有：,以P0點(diǎn)為原點(diǎn)的地平坐標(biāo)系(站心坐標(biāo)系) x、y、z，與x”、y”、z”坐標(biāo)系的關(guān)系為：,2.2.5 大地線（續(xù)15）,最后得到地平坐標(biāo)系（站心系）中的大地線方程，稱為Weingarten級(jí)數(shù)。,6,2.2.5 大地線（續(xù)16）,法截弧為平面曲線，其撓率為0，同理可推得地平坐標(biāo)系中的計(jì)算式為：,2.2.5 大地線（續(xù)17）,4、基于大地線的橢球面曲線坐標(biāo)系 (1). 大地線極坐標(biāo)系 大地圓：到極點(diǎn)具有相同大地線長 度的點(diǎn)所構(gòu)成的軌跡。 由大地線長度和大地方位角可描述 曲面點(diǎn)的位置 。,如圖所示：,對(duì)照第一基本形式，得：,由圖中的微分直角三角形，得大地極坐標(biāo)系中的微分關(guān)系式：,2.2.5 大地線（續(xù)18）,大地線的歸化長度 m 的計(jì)算公式：,由 式求出偏導(dǎo)數(shù)代入得：,6,2.2.5 大地線（續(xù)19）,(2). 測地坐標(biāo)系,以過P0點(diǎn)的經(jīng)線及其平行線為v曲線， 過P0點(diǎn)與經(jīng)線正交的一族大地線為u曲線，構(gòu)成的坐標(biāo)格網(wǎng)稱為測地坐標(biāo)系,測地坐標(biāo)在v曲線方向用Sx， u曲線方向用Sy,即：,2.2.5 大地線（續(xù)19）,n 稱為測地平行線的歸化長度因子。,2.2.5 大地線（續(xù)20）,根據(jù)球面角超的定義，在球面直角三角形 中，球面角超為：,根據(jù)球面三角形的Legendre定理：,7,2.2.5 大地線（續(xù)21）,代入測地平行線的歸化長度因子公式，得：,精確到二次項(xiàng)時(shí)的歸化長度因子計(jì)算公式為：,則與子午弧長相應(yīng)的測地平行線的弧長為：,習(xí) 題,1. 緯度相同的兩個(gè)點(diǎn)的相對(duì)法截弧是否