成都理工量子力學羅培燕ppt第二章波函數與薛定諤方程.ppt

量子力學導論 Introduction to Quantum mechanics,成都理工大學 2013年9月10月,課程內容,第一章 緒論 第二章 波函數和薛定諤方程 第三章 基本原理 第四章 表象理論 第五章 中心力場,第二章 波函數和薛定諤方程,2.1 波函數的統(tǒng)計解釋 2.2 薛定諤方程 2.3 定態(tài)薛定諤方程的求解,薛定諤方程的特解：,薛定諤方程的通解：,Cn的確定（利用初始狀態(tài)波函數）：,求定態(tài)薛定諤方程：,得出：,分離變量法：, 2.3定態(tài)薛定諤方程的求解,一維定態(tài)問題的求解 1、一維無限深平底勢阱 2、一維有限深勢阱 3、勢壘貫穿,1、一維無限深平底勢阱,a 一維無限深勢阱的求解,求解 S 方程 分四步： 列出各勢域的一維定態(tài)S方程 解方程 使用波函數邊界條件定解 定歸一化系數,1、一維無限深平底勢阱,列出各勢域的一維定態(tài)S方程,1、一維無限深平底勢阱,解方程、使用波函數邊界條件定解,當x -，有限，C2=0。,從物理考慮，粒子不能透過無窮高的勢壁。 根據波函數的統(tǒng)計解釋，要求在阱壁上和阱壁外波函數為零，特別是(-a) = (a) = 0,1、一維無限深平底勢阱,使用波函數邊界條件定解,波函數連續(xù),1、一維無限深平底勢阱,定歸一化系數,1、一維無限深平底勢阱,定歸一化系數,1、一維無限深平底勢阱,一維無限深勢阱中粒子的能量與定態(tài)波函數為：,對于一維無限深方勢阱，粒子束縛于有限空間范圍，在無限遠處， = 0 。這樣的狀態(tài)，稱為束縛態(tài)。一維有限運動能量本征值是分立能級，組成分立譜，基態(tài)（n=1），激發(fā)態(tài)（n1)。,1、一維無限深平底勢阱,b 物理意義 能量離散,基態(tài)能量不為0,相鄰能級間隔,波函數,波函數交替為偶、奇函數，隨能量升高，與x軸交點越來越多,與經典最低能量為零不同，這是微觀粒子波動性的表現，因為“靜止的波”是沒 有意義的。,n取負整數與正整數描寫同一狀態(tài)。 波函數取實數。,1、一維無限深平底勢阱,c 定態(tài)波函數的性質 定態(tài)波函數的正交歸一,定態(tài)波函數的完備性,任一函數(x)可用定態(tài)波函數的線性組合表示出來：,1、一維無限深平底勢阱,d 通解 無限深勢阱中，薛定諤方程的特解為：,無限深勢阱中，薛定諤方程的通解為：,1、一維無限深平底勢阱,d 通解 系數Cn,由初始波函數,2、一維有限深勢阱,-a a,三個區(qū)域的 Schrodinger 方程可寫為：,II,V0 0 情況,2、一維有限深勢阱,A 方程求解,V0 E0情況,當x時，波函數有限。A=0,C=0,2、一維有限深勢阱,A 方程求解,偶宇稱態(tài),2、一維有限深勢阱,A 方程求解,奇宇稱態(tài),2、一維有限深勢阱,B 物理意義 能量 （能級） 能級為有限個分立值，至少有一個，能級總數為 波函數 無論能量大小，粒子在全空間都有出現。,3、勢壘貫穿,勢壘穿透是粒子入射被勢壘散射的 一維運動問題。典型勢壘是方勢壘， 其定義如下：,現在的問題是已知粒子以 能量 E 沿 x 正向入射。,3、勢壘貫穿,A 方程求解,三個區(qū)域的 Schrodinger 方程可寫為：,0 V0 情況,3、勢壘貫穿,A 方程求解,0E V0 情況,式中第一項是沿x正向傳播的平面波，第二項是沿x負向傳播的平面波。,利用波函數連續(xù)、波函數導數連續(xù)確定各參數。,3、勢壘貫穿,B 反射系數與投射系數,為了定量描述入射粒子透射勢壘的幾率和被勢壘反射的幾率，定義透射系數和反射系數。,透射系數：透射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比稱為透射系數 JD/JA,反射系數：反射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比稱為反射系數 JR/JA,其物理意義是：描述貫穿到 x a 的 III區(qū)中的粒子在單位時間內流過垂 直 x方向的單位面積的數目與入射粒子（在 x 0 的 I 區(qū)）在 單位時間內流過垂直于x方向單位面積的數目之比。,3、勢壘貫穿,B 反射系數與投射系數,說明入射粒子一部分貫穿勢壘到 xa 的III區(qū)，另一部分則被勢壘反射回來。,入射波+反射波,透射波,隧道效應,粒子能夠穿透比它動能更高的勢壘的現象.它是粒子具有波動性的生動表現。當然，這種現象只在一定條件下才比