假設(shè)檢驗(yàn)與統(tǒng)計(jì)推斷.ppt

假設(shè)檢驗(yàn)與重要概率分布,計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)第一次小組展示,一、假設(shè)檢驗(yàn),1、定義：根據(jù)樣本信息判斷總體分布是否具有指定特征，這個(gè)過(guò)程就叫做假設(shè)檢驗(yàn)。 2、方法：運(yùn)用“反證法”的思想，即先假定假設(shè)成立，然后根據(jù)某種判別準(zhǔn)則看能得出什么樣的結(jié)果。如果得出合理結(jié)果，則自然認(rèn)為假設(shè)成立；如果得出不合理結(jié)果，則認(rèn)為假設(shè)不成立。,在假設(shè)檢驗(yàn)中，我們首先對(duì)總體參數(shù)做一個(gè)嘗試性的假設(shè)。該嘗試性的假設(shè)被稱為原假設(shè)，記作H0。然后，定義另一個(gè)與原假設(shè)內(nèi)容完全相反的假設(shè)，記作H，稱之為備擇假設(shè)。假設(shè)檢驗(yàn)的過(guò)程就是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)對(duì)這兩個(gè)對(duì)立的假設(shè)H0和H進(jìn)行檢驗(yàn)。,一般來(lái)說(shuō)，假設(shè)檢驗(yàn)是拒絕H0，從而證明H 正確,1.等號(hào)只能位于原假設(shè)H0中； 2.單側(cè)檢驗(yàn)方向的設(shè)定，決定了拒絕規(guī)則的選擇； 3.一般先設(shè)定備擇假設(shè)H ； 4. H0與H 應(yīng)保證相互獨(dú)立且完備。,注意事項(xiàng)：,假設(shè)檢驗(yàn)的兩類錯(cuò)誤,表格中的第一行說(shuō)明，當(dāng)做出接受H0結(jié)論時(shí)所可能發(fā)生的情況。這時(shí)，如果H0是真的，則該結(jié)論正確；如果H是真的，那么我們發(fā)生了第二類錯(cuò)誤，即當(dāng)H0為假時(shí)我們卻接受了H0. 表格中的第二行說(shuō)明，當(dāng)做出拒絕H0結(jié)論時(shí)所可能發(fā)生的情況。這是，如果H0是真的，那么我們發(fā)生了第一類錯(cuò)誤，即當(dāng)H0是真的時(shí)候我們卻拒絕了H0 ，如果H是真的，則拒絕H0是正確的。,當(dāng)原假設(shè)以等式的形式為真時(shí)，犯第一類錯(cuò)誤的概率被稱為檢驗(yàn)的顯著性水平。 用希臘字母表示顯著性水平，一般取為0.05或0.01。通過(guò)選擇，控制了犯第一類錯(cuò)誤的概率。一般的，我們將控制第一類錯(cuò)誤的假設(shè)檢驗(yàn)叫做顯著性檢驗(yàn)。,3、原假設(shè)和備擇假設(shè)的建立三種形式：,計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)中的假設(shè)檢驗(yàn)主要是雙側(cè)假設(shè)檢驗(yàn),雙側(cè)檢驗(yàn),左側(cè)檢驗(yàn),右側(cè)檢驗(yàn),設(shè) 是來(lái)自正態(tài)總體X的一個(gè)簡(jiǎn)單隨機(jī)樣 本，樣本均值為 ，根據(jù)單個(gè)總體的抽樣分布結(jié) 論，選用統(tǒng)計(jì)量,選用統(tǒng)計(jì)量：,4、檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,5、P-值法,P-值是一個(gè)概率值，衡量樣本對(duì)原假設(shè)的支持程度。P-越小說(shuō)明對(duì)原假設(shè)的支持程度越低。小的P-值表明在假設(shè)H0為真時(shí)，統(tǒng)計(jì)量的值時(shí)異常的。 （以下側(cè)檢驗(yàn)為例）方法：首先根據(jù)題目中所給條件計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，然后通過(guò)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得出Z下側(cè)的面積（即P-值），接著找到給定的顯著性水平，最后如果P-值，則拒絕H0。,5、臨界值法,臨界值導(dǎo)致拒絕原假設(shè)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的最大值，一般的，臨界值是在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的下側(cè)面積對(duì)應(yīng)于=0.01的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值。 （以下側(cè)檢驗(yàn)為例）方法：首先根據(jù)題目中所給條件計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，然后計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的下側(cè)面積對(duì)應(yīng)于 的Z值（即臨界值）最后如果所求Z值-Z ，則拒絕H0,假設(shè)檢驗(yàn)的步驟： 1、提出原假設(shè)和備擇假設(shè) 2、指定檢驗(yàn)中的顯著性水平 3、搜集樣本數(shù)據(jù)并計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值 P-值法 4、利用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量計(jì)算出P-值 5、如果P-值 ，則拒絕H0 臨界值法 4、顯著性水平確定臨界值以及拒絕規(guī)則 5、利用檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值及拒絕規(guī)則確定是否拒絕H0,對(duì)于上側(cè)檢驗(yàn)，和雙側(cè)檢驗(yàn)的P-值法和臨界值法運(yùn)用的原理是相同的，這里不一一列舉。,總體均值的檢驗(yàn),例：某電子元器件生產(chǎn)廠對(duì)一批產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，使用壽命不低于2000小時(shí)為合格品。該電子元器件的使用壽命服從正態(tài)分別，標(biāo)準(zhǔn)差為100小時(shí)。從該批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取了120個(gè)產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，測(cè)得樣本均值為1960小時(shí)，在 的顯著性水平下檢驗(yàn)該批電子元器件的質(zhì)量是否符合要求。,解：由題意總體服從正態(tài)分布，,樣本均值 ，樣本容量,4.382,拒絕域,= -2.33,所以拒絕原假設(shè)，即電子元件的質(zhì)量不符合標(biāo)準(zhǔn)。,(1),(2),(3),(4),二、重要的概率分布復(fù)習(xí),（一）正態(tài)分布 （二） t分布 （三） x分布 （四） F分布,（一）正態(tài)分布,1、簡(jiǎn)介：對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量而言，正態(tài)分布是最重要的一種概率分布，其形狀似“鐘型”。經(jīng)驗(yàn)表明：對(duì)于其值依賴于眾多微小因素且每一因素均產(chǎn)生微小的或正或負(fù)影響的連續(xù)型隨機(jī)變量來(lái)說(shuō)，正態(tài)分布是一個(gè)相當(dāng)好的描述模型。如身高、體重、考試成績(jī)等。,表示隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布。 符號(hào)表示隨機(jī)變量服從什么樣的分布；N表示正態(tài)分布；，為正態(tài)分布的（總體）均值（或期望）和方差。X是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，可在區(qū)間（,+）內(nèi)任意取值。,-,-2,2,68%近似,3,-3,95%近似,99.7%近似,2、正態(tài)曲線下的區(qū)域示意圖,正態(tài)分布曲線以均值為中心，對(duì)稱分布。 正態(tài)分布的概率密度函數(shù)呈中間高、兩邊低，在均值處達(dá)到最高，向兩邊逐漸降低，即隨機(jī)變量在遠(yuǎn)離均值處取值的概率逐漸變小。 正態(tài)曲線下的面積約有68%位于 兩值之間；約有95%面積位于2之間；約有99.7%的面積位于 3之間。這些區(qū)域可用作概率的度量。（即經(jīng)驗(yàn)法則）,3、性質(zhì),正態(tài)分布可由兩個(gè)參數(shù)，來(lái)描述，即一旦知道，的值，就可以根據(jù)附錄表查到隨機(jī)變量X落于某一區(qū)間的概率值。 兩個(gè)（或多個(gè)）正態(tài)分布隨機(jī)變量的線性組合仍服從正態(tài)分布。該性質(zhì)很重要，解釋如下： 正態(tài)分布的偏度為0，峰度為3。,如果變量X的均值為，方差為，定義一個(gè)新的變量Z， 則根據(jù)性質(zhì)5，變量Z的均值為0，方差為1。在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，我們稱之為單位或標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，用符號(hào)表示為：XN（0,1）任一給定均值和方差的正態(tài)變量都可轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，將其標(biāo)準(zhǔn)化可以大大簡(jiǎn)化計(jì)算。,4、標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,（二）t分布,1、樣本均值的抽樣分布或概率分布 樣本均值是總體均值的估計(jì)量，但是由于樣本均值是依靠某一給定樣本而定，因此它的值會(huì)因隨機(jī)樣本的不同而變化。由此，我們將樣本均值看作隨機(jī)變量，在樣本是隨機(jī)抽取得到的條件下，求樣本均值的概率密度函數(shù)。,2、理論依據(jù)： 若X1，X2，X3，Xn是來(lái)自于均值為，方差為的正態(tài)總體的一隨機(jī)樣本。則樣本均值 也服從正態(tài)分布，其均值為，方差為/n，即：,也就是說(shuō)，樣本均值 的抽樣（或概率）分布，同樣服從正態(tài)分布。,樣本均值概率分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量：,將樣本均值的概率密度轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布后，可以從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表中計(jì)算某一給定樣本均值大于或小于給定的總體均值的概率。,3、中心極限定理：如果X1，X2，Xn是來(lái)自(均值為，方差為)任一總體的隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的無(wú)限增大，其樣本均值趨于正態(tài)分布，其均值為，方差為/n。,4、假定已知和的估計(jì)量S，則可以用樣本標(biāo)準(zhǔn)差（S）代替總體標(biāo)準(zhǔn)差（），得到一個(gè)新的變量t。,根據(jù)統(tǒng)計(jì)理論得知：變量t服從自由度為(n-1)的t分布。 注意：在這里，自由度為(n-1)，而不是n。 結(jié)論：從正態(tài)總體中抽取隨機(jī)樣本，若該正態(tài)總體的均值為，但方差用其估計(jì)量S來(lái)代替，則其樣本均值服從t分布。通常用符號(hào)tk表示，其中k表示自由度。,k=120(正態(tài)）,K=20,K=5,0,不同自由度下的 t分布,5、性質(zhì), t分布與正態(tài)分布相類似，具有對(duì)稱性。 t分布的均值與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布均值相同，為0，但方差為k/(n-2)。由此，在求t分布的方差時(shí)定義自由度必須大于2。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的方差等于1，因此，t分布方差總大于標(biāo)準(zhǔn)分布的方差，也就是說(shuō)，t分布比正態(tài)分布略“胖”些。,t分布與正態(tài)分布 當(dāng)k增大時(shí)，t分布的方差接近于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布方差值1。 當(dāng)k=10時(shí)，t分布的方差為10/8=1.25； 當(dāng)k=30時(shí)，t分布的方差為30/28=1.07； 當(dāng)k=100時(shí)，t分布的方差為100/98=1.02； 結(jié)論：隨著自由度的逐漸增大t分布近似于正態(tài)分布。 注意：對(duì)于t分布，不要求其樣本容量很大k=30時(shí)，t分布與正態(tài)分布已很近似。,t分布表的使用:,0,-1.812,1.812,例：自由度為10，P (t1.812)=P (t1.812)=P (t1.812)+P(t-1.812)=0.1,0.05,0.05,例：已知20名10歲男孩的跳遠(yuǎn)成績(jī)的平均數(shù)為1.65m,標(biāo)準(zhǔn)差為0.2m，求出其總體平均數(shù)的95%的置信區(qū)間。,（三） 分布,1、分布是統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用的一種概率分布，它與正態(tài)分布有緊密的關(guān)系。 統(tǒng)計(jì)理論證明：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的平方服從自由度為1的分布，用符號(hào)表示為，,其中，Z是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，即ZN(0,1)； x的下標(biāo)(1)表示自由度。自由度是指平方和中獨(dú)立觀察值的個(gè)數(shù)。因?yàn)槲覀兛紤]的是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的平方，故自由度為1。,現(xiàn)在令Z1，Z2,，Zk為k個(gè)獨(dú)立的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量（即每一個(gè)變量都是均值為0，方差為1的正態(tài)變量），現(xiàn)在對(duì)所有的變量Zs平方，則它們的平方和服從自由度為k的X分布，即,公式里的自由度為k，因?yàn)樵谒凶兞康钠椒胶椭?有k個(gè)獨(dú)立的觀察值。,分布的幾何圖形：,f(),概率密度,K=2,K=5,K=10,變量的密度函數(shù),0,性質(zhì),與正態(tài)分布不同， 分布只取正值（它是平方和的分布），并且取值范圍從0到無(wú)限大。 與正態(tài)分布不同， 分布是斜分布，其偏度取決于自由度的大小，自由度越小，越向右偏，但是隨著自由度的增大，逐漸呈對(duì)稱，接近于正態(tài)分布。 分布的期望值為k，方差為2k。k為分布的自由度。即分布的方差是其均值的2倍。 若E1、E2分別為自由度為k1,k2的兩個(gè)相互獨(dú)立的 變量，則其和(Z1+Z2)也是一個(gè)變量，其自由度為(k1+k2)。,可以證明： 樣本方差與總體方差的比值與自由度 (n-1)的積服從自由度為(n-1)的分布。公式表示為：,其中，為總體方差，S為樣本方差，樣本容量為n。,（四） F分布,令隨機(jī)樣本X1，X2，X3，Xm來(lái)自均值為x和方差為x的正態(tài)總體，其樣本容量為m；隨機(jī)樣本Y1，Y2，Y3，Yn來(lái)自均值為y和方差為y的正態(tài)總體，其樣本容量為n；且這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立。假設(shè)知道這兩個(gè)隨機(jī)樣本的樣本方差Sx和Sy（兩個(gè)總體方差的估計(jì)量）。,定義一個(gè)新的變量F,分析F值：如果這兩個(gè)總體方差真實(shí)相等，則計(jì)算出的F值接近于1，如果兩個(gè)總體方差真實(shí)值不相等，則F值不等于1；兩總體方差相差越大，則F值越大。 統(tǒng)計(jì)理論表明：如果x =y（即兩總體方差相等），則F服從分子自由度為k1=(m-1)，分母自由度為k2=(n-1)的F分布。,需要說(shuō)明一點(diǎn)： 在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，更準(zhǔn)確的說(shuō)法是：（ Sx/ x）/（Sy/ y）服從F分布，但我們上式給出， x =y，故樣本方差之比服從F分布。 F分布又稱為方差比分布，通常用符號(hào)表示為： 其中的雙下標(biāo)表明了分子與分母的自由度。 在計(jì)算F值時(shí)，將方差大的值放在上面，故F值總是大于或等于1。,性質(zhì), 與分布類似，F(xiàn)分布也是斜分布，向右偏，其取值范圍也為0到無(wú)限大（見(jiàn)下圖） 。,0,F,F (F),概率密度,F2,2,F50,50,F10,2, 與分布類似，當(dāng)自由度k1，k2逐漸增大時(shí)，F(xiàn)分布近似于正態(tài)分布。 t分布變量的平方服從分子自由度為1，分母自由度為k的F分布，即 變量與其自由度之比近似為分母自由度為m，分子自由度很大（無(wú)限大）的F變量，即,當(dāng)n ,對(duì)于大容量的樣本，我們可以用分布來(lái)代替F分布；同樣，也可用F分布代替分布。 性質(zhì)3也可以改寫為：,即若分子自由度充分大，則Fm,n值的m倍，等于自由度為m的分布。,例：兩個(gè)班做同樣的計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)測(cè)試。其中，一班級(jí)共有學(xué)生100名，二班級(jí)共有學(xué)生150名。老師從一班級(jí)隨機(jī)抽取25個(gè)學(xué)生，從二班級(jí)隨機(jī)抽取31個(gè)學(xué)生，觀察得到兩個(gè)班級(jí)學(xué)生考試平均分?jǐn)?shù)的樣本方差分別為100和132。假設(shè)學(xué)生考試平均分?jǐn)?shù)這一隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，能否認(rèn)為這兩個(gè)班級(jí)的分?jǐn)?shù)平均值同方差。 分析：這兩個(gè)隨機(jī)樣本來(lái)自兩個(gè)正態(tài)總體，并且相互獨(dú)立，則首先利用公式計(jì)算F值。 F=132/100=1.32 它服從自由度為30、24的F分布。,查F分布表得當(dāng)分子自由度為30、分母自由度為24時(shí)