chapt6-2統(tǒng)計量與抽樣分析.ppt

第二節(jié) 統(tǒng)計量與抽樣分布,一、統(tǒng)計量,二、統(tǒng)計學(xué)中三個常用分布和上分位點(diǎn),三、抽樣分布定理,1.定義 P142,中不含有任何的未知參數(shù)，則稱函數(shù)g(X1，X2，,Xn),如果樣本X1，X2，,Xn的函數(shù)g(X1，X2，,Xn),為統(tǒng)計量.,g(x1，x2，, xn)為統(tǒng)計量g(X1，X2，,Xn)的一個,若x1，x2，, xn是相應(yīng)的樣本值，則稱函數(shù)值,觀察值.,一、統(tǒng)計量,由樣本值去推斷總體情況，需要對樣本值進(jìn)行“加工”，這就要構(gòu)造一些樣本的函數(shù)，它把樣本中所含的（某一方面）信息集中起來.,若 , 2 已知, 則,是統(tǒng)計量，而,例如：,不是統(tǒng)計量.,也是統(tǒng)計量.,是未知參數(shù),2.幾個常用的統(tǒng)計量 P142,樣本均值,樣本方差,它反映了總體均值 的信息,它反映了總體方差 的信息,樣本標(biāo)準(zhǔn)差,樣本 k 階(原點(diǎn))矩,樣本 k 階中心矩,k=1,2,它反映了總體 k 階矩 的信息,它反映了總體 k 階 中心矩的信息,它們的觀察值分別為：,例1. 從一批相同的電子元件中隨機(jī)地抽出8個，測得使用壽命（單位：小時）分別為：2300，2430，2580，2400，2280，1960，2460，2000，試計算樣本均值、樣本方差.,解：,如何使用計算器：,1. 進(jìn)入SD狀態(tài),2. 保險起見，清除數(shù)據(jù)，檢測 n =0,3. 輸入數(shù)據(jù),4. 檢測一下 n 是否正確,5. 查看結(jié)果,6. 清除數(shù)據(jù)，以備下次使用,注： 是樣本標(biāo)準(zhǔn)差，求 需再平方,抽樣分布,統(tǒng)計量是樣本的函數(shù)，而樣本是隨機(jī)變量，故統(tǒng)計量也是隨機(jī)變量，因而就有一定的分布，它的分布稱為“抽樣分布” .,二、統(tǒng)計學(xué)中三個常用分布和上分位點(diǎn) P143,下面介紹三個來自正態(tài)總體的抽樣分布.,(1)定義: 設(shè) 相互獨(dú)立,都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài),分布 N(0,1), 則稱隨機(jī)變量：,所服從的分布為自由度為 n 的 分布，記為,分布的概率密度為,處的值.,(2),有所改變.,分布的概率密度圖形如下：,(3),性質(zhì)1.,分布的性質(zhì)：,(4),這個性質(zhì)稱為 分布的可加性.,性質(zhì)1證明：,設(shè),相互獨(dú)立,則,t 的概率密度為：,(1)定義: 設(shè)XN( 0 , 1 ) , Y,所服從的分布為自由度為 n 的 t 分布.記為tt (n).,2、t 分布 P144,，且 X 與 Y 相互,獨(dú)立，則稱變量,n=4,n=10,n=1,當(dāng)n充分大時(n30)，其圖形與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度函數(shù)的圖形非常接近.但對于較小的n，t 分布與N (0,1)分布相差很大.,(2) 性質(zhì),性質(zhì)1： t分布的概率密度函數(shù)關(guān)于t=0對稱,性質(zhì)2： t分布的極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,由定義可見，,3、F分布 P145,則稱統(tǒng)計量,服從自由度為n1及 n2 的F分布，n1稱為第一自由度，,F(n2,n1),定義: 設(shè),X 與 Y 相互獨(dú)立，,n2稱為第二自由度，記作 FF(n1,n2) .,若XF(n1,n2)，則X的概率密度為,注意：統(tǒng)計的三大分布的定義、基本性質(zhì)在后面的學(xué)習(xí)中經(jīng)常用到，要牢記！,例2.設(shè)總體X和Y相互獨(dú)立，同服從,分布，而 X1，X2，, X9 和 Y1，Y2，, Y9,的分布.,分別是來自X和Y的簡單隨機(jī)樣本，求統(tǒng)計量,解：,X1，X2，,X15是來自X的簡單隨機(jī)樣本，求,解：,試確定常數(shù) c ,使,解：,故,因此,4、上分位點(diǎn) P145,(1)定義：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為 f(x),對于,任意給定的(01),若存在實數(shù)x,使得：,則稱點(diǎn)x為該概率分布的上分位點(diǎn),(2)正態(tài)分布的上分位點(diǎn),對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變量ZN(0, 1)和給定的，上分位數(shù)是由：,PZz =,即 PZz =1-,(z) =1-,確定點(diǎn)z.,如圖：,例如， =0.05，而,PZ1.645 =0.95,所以， z0.05 =1.645.,z0.01 =,2.33,a）對于 分布，當(dāng)n充分大時（n45），,其中Z是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn),=26.296,=4.865,(3) 分布的上分位點(diǎn),P277 附表4,a)由其對稱性，有：,b) 當(dāng)n充分大時（n45），,=1.7396,=1.4759,c)由其對稱性，有：,(4) t分布的上分位點(diǎn),P276 附表3,a）對于F分布，有：,(5) F分布的上分位點(diǎn),P279 附表5,共5個表,3.29,3.68,練習(xí) 查表求下列值：,解：,，,根據(jù)中心極限定理知，正態(tài)分布在實際應(yīng)用中經(jīng)常用到，故在統(tǒng)計推斷中占有及其重要的地位。下面介紹幾個重要的當(dāng)總體為正態(tài)分布時的抽樣分布定理.,三、抽樣分布定理 P147,（1）樣本均值,（2）樣本均值 與樣本方差 相互獨(dú)立。,（3）隨機(jī)變量,補(bǔ)充,注意與的區(qū)別,簡證：,定理 2 設(shè)X1,X2,Xn是取自正態(tài)總體,則有,注意與的區(qū)別,簡證：,定理 3 (兩個總體樣本均值差的分布),且X與Y獨(dú)立,分別是這兩個樣本的樣本方差,則有,補(bǔ)充,簡證：,故成立,注：此時 已知，若未知，則用樣本方差代替，即,特別，若,則,定理 4 (兩個總體樣本方差比的分布),且X與Y獨(dú)立,分別是這兩個樣本的樣本方差,則有,簡證：,上述4個抽樣分布定理很重要，要牢固掌握.,正態(tài)分布的抽樣分布定理,的概率不小于90%,則樣本容量至少取多少?,解：設(shè)樣本容量為 n , 則,得,即,所以至少取,n = 20的樣本,解： (1)