高中數(shù)學(xué)第四講復(fù)習(xí)素材新人教A版選修.docx

整合提升知識(shí)網(wǎng)絡(luò)典例精講 數(shù)學(xué)歸納法是專(zhuān)門(mén)證明與自然數(shù)集有關(guān)的命題的一種方法.它可用來(lái)證明與自然數(shù)有關(guān)的代數(shù)恒等式、三角恒等式、不等式、整除性問(wèn)題及幾何問(wèn)題.在高考中，用數(shù)學(xué)歸納法證明與數(shù)列、函數(shù)有關(guān)的不等式是熱點(diǎn)問(wèn)題，特別是數(shù)列中的歸納猜想證明是對(duì)觀察、分析、歸納、論證能力有一定要求的，這也是它成為高考熱點(diǎn)的主要原因.【例1】設(shè)nN*且n2，求證:1+恒成立.證明:n=2時(shí)，左邊=1+=右邊，原不等式成立；設(shè)n=k(k2)時(shí)原不等式成立，即1+.當(dāng)n=k+1時(shí)，有1+即n=k+1時(shí)原不等式成立.由，可知對(duì)于任何nN*（n2）原不等式成立.【例2】設(shè)a1,a2,a3,anR且0ana1+a2+an+1-n(n2,nN*).證明:n=2時(shí)，（1-a1）(1-a2)0,a1a2a1+a2+1-(1+1)成立.設(shè)n=k(n2)時(shí)原不等式成立，即a1a2aka1+a2+ak+1-k成立，則a1a2ak+ak+1-1a1+a2+ak+ak+1+1-(k+1)成立.要證明n=k+1時(shí)原不等式成立，即a1a2akak+1a1+a2+ak+1+1-(k+1)成立,只需證明不等式a1a2akak+1a1a2ak+ak+1-1(*)成立.要證明不等式（*）成立，只需證明(a1a2ak-1)(ak+1-1)0.又0ai1(i=1,2，,k,k+1)恒成立，0a1a2ak0成立.不等式(*)也成立，即n=k+1時(shí)原不等式成立.由可知對(duì)于任何nN*（n2）原不等式成立.溫馨提示當(dāng)“假設(shè)不等式”直接向“目標(biāo)不等式”過(guò)渡有困難時(shí)，可以先找一個(gè)介于“假設(shè)不等式”和“目標(biāo)不等式”之間的“中途不等式”.通過(guò)對(duì)“中途不等式”的證明，實(shí)現(xiàn)由“假設(shè)不等式”到“目標(biāo)不等式”的平穩(wěn)過(guò)渡.而這個(gè)“中途不等式”僅起到橋梁作用.本例關(guān)鍵是盡快由“假設(shè)不等式”得到一個(gè)右邊和“目標(biāo)不等式”完全一樣的不等式后，由不等式的傳遞性尋找到要證明的“中途不等式”.【例3】求證：(n+1)(n+2)+(n+3)（n+n）=2n135(2n-1).證明:用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n=1時(shí)，顯然成立.根據(jù)歸納法假設(shè)，當(dāng)n=k時(shí)，命題成立，即(k+1)(k+2)(k+3)(k+k)=2k135(2k-1).要證明n=k+1時(shí)，命題也成立，即(k+2)(k+3)(k+k)(k+1+k)(k+1+k+1)=2k+11352(k+1)-1.要用來(lái)證明，事實(shí)上，對(duì)等式兩邊乘以,就湊好了等式的左邊.接下來(lái)，對(duì)2k135恒等變形，可得式右邊.因此，對(duì)任意nN*，原不等式成立.【例4】已知函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镽，對(duì)任意不相等的實(shí)數(shù)x1,x2，都有|f(x1)-f(x2)|x1-x2|，且f(p)=p(p為常數(shù))，又在數(shù)列an中，a1p,f(an)+an=2an+1,求證：（1）anan.思路分析:用數(shù)學(xué)歸納法證明從“n=k到n=k+1”時(shí)，關(guān)鍵是“一湊假設(shè)，二湊結(jié)論”.證明:很明顯,n=1時(shí)，a1p成立.假設(shè)n=k時(shí)，akp成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，由|f(p)-f(ak)|p-ak|及f(p)=p,可得|p-f(ak)|p-ak|,又akp,故|p-f(ak)|p-akak-pp-f(ak)p-ak注意到已知條件f(ak)+ak=2ak+1,將其變形為f(ak)=2ak+1-ak,代入式得ak+1ak.這樣命題(1)、（2）獲證.【例5】設(shè)a,b(0,+)且=1，求證：對(duì)于任何nN*,有(a+b)n-an-bn22n-2n+1成立.證明:n=1時(shí)，原不等式顯然成立；設(shè)n=k時(shí)原不等式成立，即（a+b）k-ak-bk22k-2k+1,則n=k+1時(shí)，（a+b）k+1-ak+1-bk+1=(a+b)(a+b)k-ak-bk+abk+akb(a+b)(22k-2k+1)+abk+akb,由1=,可得ab4,a+b4.abk+akb2=2k+2.(a+b)k+1-ak+1-bk+1(a+b)(22k-2k+1)+abk+akb4(22k-2k+1)+2k+2=22(k+1)-2(k+1)+1,即n=k+1時(shí)原不等式成立.由可知對(duì)于任何nN*原不等式成立.溫馨提示得到（a+b）(a+b)k-ak-bk是過(guò)渡成功的一半.問(wèn)題化歸為求關(guān)于a,b的二元函數(shù)在條件=1下的最小值問(wèn)題后，若注意到原不等式“=”成立的條件為a=b=2,則容易想到上述過(guò)程.【例6】正項(xiàng)數(shù)列xn中，對(duì)于任何nN*，xn2xn-xn+1恒成立.求證：對(duì)于任何nN*,xn0解得0x11，原不等式成立.設(shè)n=k時(shí)原不等式成立，即0xk成立，由于xk