(考試資料下載)微分幾何教案曲面論（十二）

微分幾何教案（二十） 曲面論基本定理：5.1曲面的基本方程和克里斯托費(fèi)爾符號(hào)5. 曲面的基本定理通過(guò)上面幾節(jié)的討論,我們知道,給定曲面，我們就可以得到它的兩個(gè)基本形式：。 曲面的各種曲率完全由它的兩個(gè)基本形式?jīng)Q定。因?yàn)榍适怯脕?lái)描述曲面形狀的，所以如果我們知道了曲面的第一、第二基本形式后，也就基本上知道了曲面的形狀。現(xiàn)在提出這樣的問題：曲面在空間的形狀是否由第一、第二基本形式完全確定？說(shuō)得詳細(xì)一點(diǎn)，如果給出了u,v的兩個(gè)二次微分形式，我們能否確定一個(gè)曲面，使它的第一、第二基本形式恰為上述所給出的兩個(gè)微分形式？ 一般說(shuō)來(lái)，這個(gè)反問題不可能有解。因?yàn)榇_定一個(gè)曲面需要三個(gè)函數(shù)x(u,v),y(u,v),z(u,v),而曲面的第一、第二基本形式是由這三個(gè)函數(shù)確定的，也即第一、第二基本形式中的六個(gè)函數(shù)E(u,v),F(u,v), N(u,v)是有聯(lián)系。反過(guò)來(lái)說(shuō)，如果這六個(gè)函數(shù)之間沒有聯(lián)系，就不可能確定一個(gè)曲面。由六個(gè)函數(shù)確定一個(gè)曲面,就是確定三個(gè)函數(shù)x(u,v),y(u,v),z(u,v).這六個(gè)函數(shù)只有三個(gè)是獨(dú)立的。也就是說(shuō)，這六個(gè)函數(shù)之間有三個(gè)關(guān)系式。這一節(jié)的目的就是要尋找這三個(gè)關(guān)系式,稱為高斯科達(dá)齊邁因納爾迪公式，并將證明定理：給出兩個(gè)二次微分形式，如果它們滿足高斯科達(dá)齊邁因納爾迪條件，則存在一個(gè)曲面面，它的第一、第二基本形式正好就是給定的兩個(gè)二次微分形式。為了把一些式子表達(dá)得更有規(guī)律些，本節(jié)將采用以下一些新的記號(hào)，以后將同時(shí)采用這一套符號(hào)和以前采用的記號(hào)。記，。，并且注意，。5.1 曲面的基本定理和克里斯托菲耳（Christoffer)符號(hào)在曲線論中，曲線的三個(gè)基本向量的導(dǎo)向量可以用三個(gè)基本向量來(lái)表出,即有弗雷內(nèi)(Frenet)公式。在空間給出一個(gè)類曲面S：,它確定了向量，。那么這三個(gè)向量的導(dǎo)向量能否由這三個(gè)向量表出呢？表出的系數(shù)是什么呢？結(jié)論 對(duì)于,我們有 , 這式稱為曲面的基本方程。第一式稱為高斯方程，第二式稱為魏因加爾吞方程。其中稱為第二類克里斯托菲耳符號(hào)，也記作，簡(jiǎn)稱克氏記號(hào)。而ij,l= 叫做第一類克里斯托菲耳符號(hào)。而 。證明 我們?cè)O(shè)的導(dǎo)向量用表示的表達(dá)式為 （*） 下面我們確定這些式子的系數(shù) 。 將(*)的第一式點(diǎn)乘，注意到，因此得 因?yàn)?對(duì)此式求導(dǎo)數(shù)得，由于和（*）的第一式，所以，即： ,兩邊左乘得 即 即 。 下面確定（*）中第二式中的。用點(diǎn)乘（*）中第二式的兩邊得，I,j=1,2因此（像求一樣）得 (2) 將(1)(2)帶入( *) 即得所證關(guān)系式并且 。注：采用過(guò)去的記號(hào)： ， 。于是得六個(gè)系數(shù)如下：，；而。對(duì)于正交