高考數(shù)學(xué)第2章函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用第6節(jié)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)教學(xué)案文（含解析）北師大版.docx

第六節(jié)對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)考綱傳真1.理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；了解對(duì)數(shù)在簡(jiǎn)化運(yùn)算中的作用.2.理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念及其單調(diào)性，掌握對(duì)數(shù)函數(shù)圖像通過的特殊點(diǎn)，會(huì)畫底數(shù)為2,10，的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像.3.體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.4.了解指數(shù)函數(shù)yax(a0，且a1)與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0，且a1)互為反函數(shù)1對(duì)數(shù)概念如果abN(a0，且a1)，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作logaNb，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).性質(zhì)alogaNNlogaabb(a0，且a1)換底公式換底公式：logab(a0，且a1；c0，且c1；b0)運(yùn)算法則loga(MN)logaMlogaNa0，且a1，M0，N0logalogaMlogaNlogaMnnlogaM(nR)2.對(duì)數(shù)函數(shù)的定義、圖像與性質(zhì)定義函數(shù)ylogax(a0，且a1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)圖像a10a1性質(zhì)定義域：(0，)值域：R過點(diǎn)(1,0)，即x1時(shí)，y0當(dāng)x1時(shí)，y0；當(dāng)0x1時(shí)，y0.當(dāng)x1時(shí)，y0；當(dāng)0x1時(shí)，y0.是(0，)上的增函數(shù)是(0，)上的減函數(shù)3.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax(a0，且a1)與對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0，且a1)互為反函數(shù)，它們的圖像關(guān)于直線yx對(duì)稱1換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論(1)logab；(2)logmbnlogab.其中a0且a1，b0且b1，m，nR.2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與底數(shù)大小的關(guān)系如圖，作直線y1，則該直線與四個(gè)函數(shù)圖像交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為相應(yīng)的底數(shù)，故0cd1ab.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)逐漸增大基礎(chǔ)自測(cè)1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)log2x22log2x()(2)當(dāng)x1時(shí)，logax0()(3)函數(shù)ylg(x3)lg(x3)與ylg(x3)(x3)的定義域相同()(4)對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0，且a1)的圖像過定點(diǎn)(1,0)，且過點(diǎn)(a,1)，函數(shù)圖像不在第二、三象限()答案(1)(2)(3)(4)2已知a2，blog2，clog，則()AabcBacbCcbaDcabD0a2201，blog2log210，cloglog1，cab.3已知函數(shù)yloga(xc)(a，c為常數(shù)，其中a0，a1)的圖像如圖所示，則下列結(jié)論成立的是()Aa1，c1Ba1,0c1C0a1，c1D0a1,0c1D由圖像可知yloga(xc)的圖像是由ylogax的圖像向左平移c個(gè)單位得到的，其中0c1.再根據(jù)單調(diào)性可知0a1.4(教材改編)若loga1(a0，且a1)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()AB(1，)C(1，)DC當(dāng)0a1時(shí)，logalogaa1，0a；當(dāng)a1時(shí)，logalogaa1，a1.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1，)5計(jì)算：2log510log5_，2log43_.22log510log5log52，因?yàn)閘og43log23log2，所以2log432log2.對(duì)數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值1(lg 2)2lg 2lg 50lg 25_.2原式lg 2(lg 2lg 50)lg 252lg 22lg 52.22_.3原式22323.3log23log38()_.5原式3log23log323325.4設(shè)2a5bm，且2，則m_. 2a5bm，alog2m，blog5m，logm2logm5logm102，m.規(guī)律方法對(duì)數(shù)運(yùn)算的一般思路(1)將真數(shù)化為底數(shù)的指數(shù)冪的形式進(jìn)行化簡(jiǎn)；(2)將同底對(duì)數(shù)的和、差、倍合并；(3)利用換底公式將不同底的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化成同底的對(duì)數(shù)式，要注意換底公式的正用、逆用及變形應(yīng)用；(4)利用常用對(duì)數(shù)中的lg 2lg 51.對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像及應(yīng)用【例1】(1)(2019大連模擬)函數(shù)ylg|x1|的圖像是()ABC D(2)(2019廈門模擬)當(dāng)0x時(shí)，4xlogax，則a的取值范圍是()ABC(1，)D(，2)(3)函數(shù)yloga(x2)2恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(1)A(2)B(3)(3,2)(1)函數(shù)ylg|x1|的圖像可由函數(shù)ylg|x|的圖像向右平移1個(gè)單位得到，故選A(2)構(gòu)造函數(shù)f(x)4x和g(x)logax，要使0x時(shí)，4xlogax，只需f(x)在上的圖像在g(x)的圖像下方即可當(dāng)a1時(shí)不滿足條件；當(dāng)0a1時(shí)，畫出兩個(gè)函數(shù)在上的圖像，可知只需f g，即2loga，則a，所以a的取值范圍為.(3)由x21得x3，當(dāng)x3時(shí)，y2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,2)規(guī)律方法對(duì)數(shù)函數(shù)圖像的識(shí)別及應(yīng)用(1)在識(shí)別函數(shù)圖像時(shí)，要善于利用已知函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)圖像上的特殊點(diǎn)(與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、最高點(diǎn)、最低點(diǎn)等)排除不符合要求的選項(xiàng)(2)一些對(duì)數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖像問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解 (1)函數(shù)f(x)loga|x|1(0a1)的圖像大致為()ABCD(2)函數(shù)ylog2(x1)的圖像恒過定點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(3)若不等式(x1)2logax在x(1,2)內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(1)A(2)(0,0)(3)(1,2(1)由函數(shù)f(x)的解析式可確定該函數(shù)為偶函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對(duì)稱設(shè)g(x)loga|x|，先畫出x0時(shí)，g(x)的圖像，然后根據(jù)g(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱畫出x0時(shí)g(x)的圖像，最后由函數(shù)g(x)的圖像向上整體平移一個(gè)單位即得f(x)的圖像，結(jié)合圖像知選A(2)由x11得x0，當(dāng)x0時(shí)，y0，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(0,0)(3)設(shè)f 1(x)(x1)2，f 2(x)logax，要使當(dāng)x(1,2)時(shí)，不等式(x1)2logax恒成立，只需f 1(x)(x1)2在(1,2)上的圖像在f 2(x)logax圖像的下方即可當(dāng)0a1時(shí)，顯然不成立；當(dāng)a1時(shí)，如圖所示，要使x(1,2)時(shí)，f 1(x)(x1)2的圖像在f 2(x)logax的圖像下方，只需f 1(2)f 2(2)，即(21)2loga2，loga21，所以1a2，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(1,2對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用考法1比較對(duì)數(shù)值的大小【例2】(1)已知alog29log2，b1log2，clog2，則a，b，c的大小關(guān)系為()AabcBbacCcabDcba(2)設(shè)alog3，blog2，clog3，則a，b，c的大小關(guān)系為()AabcBacbCbacDbca(1)B(2)A(1)alog29log2log23，b1log2log22，clog2log2，因?yàn)楹瘮?shù)ylog2x在(0，)上是增函數(shù)，且23，所以bac，故選B(2)blog2log23，clog3log32，則bc，又alog3log331，blog2log221，因此abc，故選A考法2解對(duì)數(shù)不等式【例3】(1)(2018江蘇高考)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)開(2)設(shè)函數(shù)f(x)若f(a)f(a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_(1)2，)(2)(1,0)(1，)(1)由題意知，log2x10，即log2xlog22.解得x2，即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，)(2)由題意，得或即或解得a1或1a0.考法3復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性、值域或最值【例4】函數(shù)f(x)log(x24x5)的遞增區(qū)間為_，值域?yàn)開(2,5)2log3，)由x24x50，解得1x5.二次函數(shù)yx24x5的對(duì)稱軸為x2.由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可得函數(shù)f(x)log (x24x5)的遞增區(qū)間為(2,5)又x24x5(x2)299，所以f(x)log92log3，即函數(shù)f(x)的值域?yàn)?log3，)規(guī)律方法1.比較對(duì)數(shù)值的大小的方法(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性直接進(jìn)行判斷；若底數(shù)為同一字母，則需對(duì)底數(shù)進(jìn)行分類討化(2)若底數(shù)不同，真數(shù)相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進(jìn)行比較(3)若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助1,0等中間量進(jìn)行比較2解對(duì)數(shù)不等式的類型及方法(1)形如logaxlogab的不等式，借助ylogax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a1與0a1兩種情況討論(2)形如logaxb的不等式，需先將b化為以a為底的對(duì)數(shù)式的形式再進(jìn)行求解3解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性問題的步驟 (1)(2018天津高考)已知alog3，b，clog，則a，b，c的大小關(guān)系為()AabcBbacCcbaDcab(2)設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(x)2的x的取值范圍是()A1,2B0,2C1，)D0，)(3)若f(x)lg(x22ax1a)在區(qū)間(，1上遞減，則a的取值范圍為()A1,2)B1,2C1，)D2，)(1)D(2)D(3)A(1)cloglog35，則log35log3log331，又1，因此cab，故選D.(2)當(dāng)x1時(shí)，21x2，解得x0，所以0x1；當(dāng)x1時(shí)，1log2x2，解得x，所以x1.綜上可知x0.(3)令函數(shù)g(x)x22ax1a(xa)21aa2，對(duì)稱軸為xa，要使函數(shù)在(，1上遞減，則有即解得1a2，即a1,2)1(2016全國(guó)卷)若ab0,0c1，則()AlogaclogbcBlogcalogcbCacbcDcacbB0c1，當(dāng)a