數(shù)字信號(hào)處理第2章.ppt

第2章 時(shí)域離散信號(hào)和系統(tǒng)的頻域分析,數(shù)字信號(hào)處理課程郵箱 E-mail: auto_redsp_2013163.com Password: dsp2013,本章主要內(nèi)容及重點(diǎn),2.1 引言 2.2 序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì)（重點(diǎn)） 2.3 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換表示式 2.4 時(shí)域離散信號(hào)傅里葉變換與模擬信號(hào)傅里葉變換的關(guān)系 2.5 序列的Z變換（重點(diǎn)） 2.6 利用Z變換分析信號(hào)和系統(tǒng)的頻域特性,2.1 引言,信號(hào)和系統(tǒng)的分析方法有兩種，即時(shí)域分析方法和頻率分析方法。 在模擬領(lǐng)域中，信號(hào)一般用連續(xù)時(shí)間變量t的函數(shù)表示，系統(tǒng)則用微分方程描述。 為了在頻率域進(jìn)行分析，用拉普拉斯變換和傅里葉變換將時(shí)間域函數(shù)轉(zhuǎn)換到頻率域。 在數(shù)字信號(hào)處理中，信號(hào)用序列表示，其自變量?jī)H取整數(shù)， 非整數(shù)時(shí)無(wú)定義，而系統(tǒng)則用差分方程描述。頻域分析是用Z變換或傅里葉變換。 數(shù)字信號(hào)處理的傅里葉變換指的是序列的傅里葉變換。它和模擬域中的傅里葉變換是不一樣的，但都是線性變換，很多性質(zhì)是類似的。 本章學(xué)習(xí)序列的傅里葉變換和Z變換，以及利用Z變換分析系統(tǒng)和信號(hào)頻域特性。本章內(nèi)容是數(shù)字信號(hào)處理的基礎(chǔ)。,2.2 序列的傅里葉變換的定義及性質(zhì),2.2.1 序列傅里葉變換的定義 定義 為序列x(n)的傅里葉變換，可以用FT(Fourier Transform)縮寫字母表示。 FT成立的充分必要條件是序列x(n)滿足絕對(duì)可和的條件，即滿足下式：,(2.2.1),(2.2.2),序列的傅里葉反變換(IFT, Inverse Fourier Transform) 定義為：,(2.2.3),(2.2.1)和(2.2.3)式組成一對(duì)傅里葉變換公式。 (2.2.2)式是FT存在的充分必要條件 如果引入沖激函數(shù)，一些絕對(duì)不可和的序列，例如周期序列，其傅里葉變換可用沖激函數(shù)的形式表示出來(lái)（后面的章節(jié)會(huì)介紹）。,例 2.2.1 設(shè)x(n)=RN(n)， 求x(n)的FT,解,(2.2.4),設(shè)N=4， 幅度與相位隨變化曲線如圖2.2.1所示。,圖 2.2.1 R4(n)傅里葉變換之后頻域的幅度與相位曲線,2.2.2 序列傅里葉變換的性質(zhì) 1. FT的周期性 在定義(2.2.1)式中， n取整數(shù)， 因此下式成立,M為整數(shù) (2.2.5),因此序列的傅里葉變換X(ej)是頻率的周期函數(shù)，周期是2。,圖 2.2.2 cosn的波形,序列的傅里葉變換的高頻與低頻： =0，2 ，4，表示低頻 =0， ，3，表示高頻 由于周期性，一般只分析- + 或者 0 2 之間的頻譜就行了,變化小，序列有低頻分量,變化大，序列有高頻分量,2. 線性,那么,設(shè),式中a, b為常數(shù) 3. 時(shí)移與頻移 設(shè)X(e j)=FTx(n)， 那么,(2.2.6),(2.2.7),(2.2.8),* 4. FT的對(duì)稱性（了解） 在學(xué)習(xí)FT的對(duì)稱性以前，先介紹什么是共軛對(duì)稱與共軛反對(duì)稱以及它們的性質(zhì)。設(shè)序列xe(n)滿足下式： xe(n)=x*e(-n) (2.2.9) 則稱xe(n)為共軛對(duì)稱序列。,5.時(shí)域卷積定理 設(shè)y(n)=x(n)*h(n), 則 Y(e j)=X(e j)H(e j) (2.2.32) 該定理說(shuō)明，兩序列卷積的FT，服從相乘的關(guān)系。 對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)輸出的FT等于輸入信號(hào)的FT乘以單位脈沖響應(yīng)FT。 因此求系統(tǒng)的輸出信號(hào)，可以在時(shí)域用卷積公式(1.3.7)計(jì)算，也可以在頻域按照(2.2.32)式，求出輸出的FT，再作逆FT求出輸出信號(hào)。,6. 頻域卷積定理 設(shè)y(n)=x(n)h(n) ，則 (2.2.33) 證： 交換順序：,7.帕斯維爾(Parseval)定理 證： 帕斯維爾定理告訴我們，信號(hào)時(shí)域的總能量等于頻域的總能量。要說(shuō)明一下，這里頻域總能量是指|X(ej)|2在一個(gè)周期中的積分再乘以1/(2)。,(2.2.34),一致收斂,表 2.2.1 序列傅里葉變換的性質(zhì),2.3 周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù)及傅里葉變換表示式,2.3.1周期序列的離散傅里葉級(jí)數(shù) 設(shè) 是以N為周期的周期序列，由于是周期性的，可以展成傅里葉級(jí)數(shù),(2.3.1),式中ak是傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。為求系數(shù)ak，將上式兩邊乘以 ，并對(duì)n在一個(gè)周期N中求和,因此 上式中，k和n均取整數(shù)，當(dāng)k或者n變化時(shí)， 是周期為N的周期函數(shù)： 即ak也是周期序列：ak=ak+lN,(2.3.2),(2.3.3),上式中 也是一個(gè)以N為周期的周期序列，稱為 的離散傅里葉級(jí)數(shù)，用DFS(Discrete Fourier Series)表示。如對(duì)(2.3.4)式兩端乘以 ，并對(duì)k在一個(gè)周期中求和， 得到 將(2.3.4)式和(2.3.5)式重寫如下：,(2.3.5),(2.3.6),(2.3.7),(2.3.6)式和(2.3.7)式稱為一對(duì)DFS。(2.3.5)式表明將周期序列分解成N次諧波，第k個(gè)諧波頻率為k=(2/N)k,k=0,1,2,N-1。一個(gè)周期序列可以用其DFS表示它的頻譜分布規(guī)律。,例 2.3.1 設(shè)x(n)=R4(n)，將x(n)以N=8為周期，進(jìn)行周期延拓，得到如圖2.3.1(a)所示的周期序列 ，周期為8，求 的DFS。 解 按照(2.3.4)式 其幅度特性如圖2.3.1(b)所示。,圖 2.3.1 例2.3.1圖,2.3.2 周期序列的傅里葉變換表示式 在模擬系統(tǒng)中， ，其傅里葉變換是在=0處的單位沖激函數(shù)， 強(qiáng)度是2，即 對(duì)于時(shí)域離散系統(tǒng)中， ，2/0為有理數(shù)，,(2.3.8),(2.3.9),上式表示復(fù)指數(shù)序列的FT是在02r處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度為2，如圖2.3.2所示。 對(duì)于一般周期序列 的FT如下式,圖 2.3.2 的FT,表 2.3.2 基本序列的傅里葉變換,例2.3.2 求例2.3.1中周期序列的FT。 解 將例2.3.1中得到的 代入(2.3.10)式中得到 其幅頻特性如圖2.3.3所示。,圖 2.3.3 例2.3.2圖,分析： 對(duì)比圖2.3.1，對(duì)于同一個(gè)周期信號(hào)： 其DFS和FT分別取模的形狀是一樣的； 不同的是FT用單位沖激函數(shù)表示(用帶箭頭的豎線表示)。 因此周期序列的頻譜分布用其DFS或者FT表示都可以，但畫圖時(shí)應(yīng)注意單位沖激函數(shù)的畫法。,例 2.3.3 令 ，2/0為有理數(shù)，求其FT。 解：將 用歐拉公式展開 按照(2.3.9)式，其FT推導(dǎo)如下： 上式表明cos0n的FT，是在=0處的單位沖激函數(shù)，強(qiáng)度為，且以2為周期進(jìn)行延拓，如圖2.3.4所示。,(2.3.11),圖 2.3.4 cos0n的FT,2.4 時(shí)域離散信號(hào)的傅里葉變換與模擬 信號(hào)傅里葉變換之間的關(guān)系,模擬信號(hào)xa(t)的一對(duì)傅里葉變換式用下面公式描述： 這里t與的定義域均在之間。從模擬信號(hào)幅度取值考慮，在第一章中遇到兩種信號(hào)連續(xù)信號(hào)和采樣信號(hào)，用(1.5.2)式描述它們之間的關(guān)系：,(1.5.2),采樣信號(hào) 和連續(xù)信號(hào)xa(t)，由采樣定理(1.5.5)式描述它們各自傅里葉變換間的關(guān)系： 如果時(shí)域離散信號(hào)(或稱序列)x(n)，是由對(duì)模擬信號(hào)xa(t)采樣產(chǎn)生的，即： x(n)=xa(nT) (2.4.3) 上式中n取整數(shù)，否則無(wú)定義。x(n)的一對(duì)傅里葉變換用(2.2.1)式和(2.2.4)式表示：,(2.2.4),(1.5.5), X(ej)與Xa(j)、數(shù)字頻率與模擬頻率(f)間關(guān)系分析,已知x(n)=xa(nT) ，將t=nT代入(2.4.2)式中，得到,(2.4.4),(2.4.5),(2.4.6),(2.4.7),x(n),FT,X(ej),(2.4.1)上面的推導(dǎo),X(ejT),FT,xa(t),采樣,(1.5.5)抽樣定理，用采樣信號(hào)頻域表達(dá)式來(lái)表示X(ej),FT,令=T,模擬采樣信號(hào) 的FT 和離散信號(hào)x(n)的FT相似,(2.4.7)式就是序列的傅里葉變換X(ej)和模擬信號(hào)xa(t)的傅里葉變換Xa(j)之間的關(guān)系式，與(1.5.5)式對(duì)比得到以下結(jié)論： 序列的傅里葉變換和模擬信號(hào)的傅里葉變換之間的關(guān)系，與采樣信號(hào)、模擬信號(hào)分別的FT之間的關(guān)系一樣，都是Xa(j)以周期s=2/T進(jìn)行周期延拓，頻率軸上取值的對(duì)應(yīng)關(guān)系用(1.2.10)式= T表示。 *在一些文獻(xiàn)中經(jīng)常使用歸一化頻率: 各歸一化頻率皆無(wú)量綱，刻度相同。模擬頻率與數(shù)字頻率間的定標(biāo)關(guān)系如圖2.4.1所示。,圖 2.4.1 模擬頻率與數(shù)字頻率之間的定標(biāo)關(guān)系,2.5 序列的Z變換,2.5.1 Z變換的定義 序列x(n)的Z變換定義為 Z變換可記為ZT（Z Transform）,(2.5.1),式中z是一個(gè)復(fù)變量， 它所在的復(fù)平面稱為z平面。 注意在定義中， 對(duì)n求和是在之間求和， 可以稱為雙邊Z變換。 還有一種稱為單邊Z變換的定義， 如下式,(2.5.2),使(2.5.3)式成立， Z變量取值的域稱為收斂域。一 般收斂域用環(huán)狀域表示,這種單邊Z變換的求和限是從零到無(wú)限大， 因此對(duì)于因果序列， 用兩種Z變換定義計(jì)算出的結(jié)果是一樣的。如不另外說(shuō)明，均用雙邊Z變換對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析和變換。,(2.5.3),(2.5.1)式Z變換存在的條件是等號(hào)右邊級(jí)數(shù)收斂， 要求級(jí)數(shù)絕對(duì)可和， 即,圖 2.5.1 Z變換的收斂域,常見Z變換的結(jié)果是一個(gè)有理函數(shù)，用兩個(gè)多項(xiàng)式之比表示 分子多項(xiàng)式P(z)的根是X(z)的零點(diǎn)，分母多項(xiàng)式Q(z)的根是X(z)的極點(diǎn)。在極點(diǎn)處Z變換不存在，因此收斂域中沒有極點(diǎn)，收斂域總是用極點(diǎn)限定其邊界。 對(duì)比序列的傅里葉變換定義(2.2.1)式 很容易得到FT和ZT之間的關(guān)系，用下式表示：,(2.5.4),式中z=ej表示在z平面上r=1的圓，該圓稱為單位圓。(2.5.4)式表明單位圓上的Z變換就是序列的傅里葉變換。如果已知序列的Z變換，可用(2.5.4)式，很方便的求出序列的FT，條件是收斂域中包含單位圓。 例 2.5.1 x(n)=u(n)，求其Z變換。 解 X(z)存在的條件是|z-1|1，,|z|1,由x(z)表達(dá)式表明，極點(diǎn)是z=1，單位圓上的Z變換不存在，或者說(shuō)收斂域不包含單位圓。因此其傅里葉變換不存在，更不能用(2.5.4)式求FT。 該序列的FT不存在，但如果引進(jìn)奇異函數(shù)()，其傅里葉變換可以表示出來(lái)(見p43表2.3.2)。 該例同時(shí)說(shuō)明就算一個(gè)序列的傅里葉變換不存在，但是它的Z變換在一定收斂域內(nèi)是存在的。,2.5.2 序列特性對(duì)收斂域的影響 序列的特性決定其Z變換收斂域，了解序列特性與收斂的一些一般關(guān)系，對(duì)使用Z變換是很有幫助的。 1. 有限長(zhǎng)序列 如序列x(n)滿足下式： x(n) n1nn2 x(n)= 0 其它,即序列x(n)從n1到n2序列值不全為零，此范圍之外序列值為零，這樣的序列稱為有限長(zhǎng)序列。 其Z變換為,設(shè)x(n)為有界序列，由于是有限項(xiàng)求和,因果序列,n10時(shí)， 00時(shí)， 0|z|,除0與兩點(diǎn)是否收斂與n1、n2取值有關(guān)外，整個(gè)z平面均收斂。注意z-n項(xiàng)對(duì)收斂域的影響 如果n10，則收斂域不包括z=0點(diǎn)； 如果是因果序列，收斂域包括z=點(diǎn)，不包括z=0點(diǎn)。 具體有限長(zhǎng)序列的收斂域表示如下：,這是一個(gè)因果的有限長(zhǎng)序列，因此收斂域?yàn)?z。但由結(jié)果的分母可以看出似乎z=1是X(z)的極點(diǎn)，但同時(shí)分子多項(xiàng)式在z=1時(shí)也有一個(gè)零點(diǎn)，極零點(diǎn)對(duì)消。因此z=1并非極點(diǎn)。,例 2.5.2求x(n)=RN(n)的Z變換及其收斂域 解,2. 右序列 右序列是在nn1時(shí)，序列值不全為零，而其它nn1，序列值全為零。,第一項(xiàng)為有限長(zhǎng)序列，設(shè)n1-1，其收斂域?yàn)?|z|。 第二項(xiàng)為因果序列，其收斂域?yàn)镽x-|z|，Rx-是第二項(xiàng)最小的收斂半徑。 將兩收斂域相與，其收斂域?yàn)镽x-|z|。 如果是因果序列(即n10)，收斂域定為Rx-|z|。,例 2.5.3求x(n)=anu(n)的Z變換及其收斂域 解,必須滿足等比|q|=|az-1|a|。 3. 左序列 左序列是在nn2時(shí)，序列值不全為零，而在nn2， 序列值全為零的序列。 左序列的Z變換表示為,如果n20，則收斂域?yàn)?|z| Rx+。 例 2.5.4 求x(n)=-anu(-n-1)的Z變換及其收斂域。 解,X(z)存在要求|a-1z|1， 即收斂域?yàn)閨z|a|,4. 雙邊序列 一個(gè)雙邊序列可以看作一個(gè)左序列和一個(gè)右序列之和， 其Z變換表示為,X(z)的收斂域是X1(z)和X2(z)收斂域的公共收斂區(qū)域。 如果Rx+Rx-，其收斂域?yàn)镽x-|z|Rx+，這是一個(gè)環(huán)狀域，如果Rx+Rx-，兩個(gè)收斂域沒有公共區(qū)域，X(z)沒有收斂域，因此X(z)不存在。,例 2.5.5 x(n)=a|n|，a為實(shí)數(shù)，求x(n)的Z變換及其收斂域。 解,第一部分收斂域?yàn)閨az|a|。如果|a|1，兩部分的公共收斂域?yàn)閨a|z|a|-1，其Z變換如下式：,|a|z|a|-1,如果|a|1，則無(wú)公共收斂域，因此X(z)不存在。 當(dāng)0a1時(shí)，x(n)的波形及X(z)的收斂域如圖2.5.2所示。,圖 2.5.2 例2.5.5圖,注： 1. x(n)的Z變換及其收斂域是“捆綁”的整體 2. 收斂域中無(wú)極點(diǎn)，收斂域總是以極點(diǎn)為界,2.5.3 逆Z變換 已知序列的Z變換及其收斂域，求序列稱為逆Z變換。序列的Z變換及逆Z變換表示如下：,(2.5.5),積分路徑c： 1. X(z)收斂域中； 2. 包圍原點(diǎn)； 3. 逆時(shí)針圍繞；,1. 用留數(shù)定理求逆Z變換 逆Z變換 根據(jù)留數(shù)定理,(2.5.6),逆Z變換則是圍線c內(nèi)所有的極點(diǎn)留數(shù)之和。 式中 表示被積函數(shù)X(z)zn-1在極點(diǎn)z=zk的留數(shù)。 (1) 如果zk是單階極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理,(2.5.7),由(2.5.8)式表明，對(duì)于N階極點(diǎn)，需要求N-1次導(dǎo)數(shù)，這是比較麻煩的。 如果c內(nèi)有多階極點(diǎn)，而c外沒有多階極點(diǎn)，可以根據(jù)留數(shù)輔助定理改求c外的所有極點(diǎn)留數(shù)之和，使問(wèn)題簡(jiǎn)單化。 留數(shù)輔助定理：設(shè)被積函數(shù)用F(z)表示， 即,(2) 如果zk是N階極點(diǎn)，則根據(jù)留數(shù)定理,(2.5.8),留數(shù)輔助定理： F(z)在z平面上有N個(gè)極點(diǎn)，在收斂域內(nèi)的封閉曲線c將z平面上極點(diǎn)分成兩部分：一部分是c內(nèi)極點(diǎn)，設(shè)有N1個(gè)極點(diǎn)，用z1k表示；另一部分是c外極點(diǎn)，有N2個(gè)，N=N1+N2，用z2k表示。根據(jù)留數(shù)輔助定理下式成立：,(2.5.9),注意：(2.5.9)式成立的條件是F(z)的分母階次比分子 階次必須高2階以上。設(shè)X(z)=P(z)/Q(z)，P(z)與Q(z) 分別是M與N階多項(xiàng)式。(2.5.9)式成立的條件是,N-(M+n-1)2 因此要求 N-M-n1 (2.5.10) 如果(2.5.10)式滿足，c圓內(nèi)極點(diǎn)中有多階極點(diǎn)，而c圓外極點(diǎn)沒有多階的，可以按照(2.5.9)式，改求c圓外極點(diǎn)留數(shù)之和，最后加一個(gè)負(fù)號(hào)。 例2.5.6 已知X(z)=(1-az-1)-1，|z|a，求其逆Z變換x(n)。 解,分子階次,分母階次,z=a； z=0;(當(dāng)n0時(shí))共二個(gè)極點(diǎn) 其中z=0極點(diǎn)和n的取值有關(guān)。n0時(shí)，n=0不是極點(diǎn)；n0時(shí)，z=0是一個(gè)n階極點(diǎn)。因此分成n0和n0兩種情況求x(n)。 （1）n0 時(shí)，,為了用留數(shù)定理求解，先找出F(z)的極點(diǎn)，極點(diǎn)有：,n0時(shí)，增加z=0的n階極點(diǎn)，不易求留數(shù)，采用留數(shù)輔助定理求解，檢查(2.5.10)式是否滿足，此處n0， 只要N-M0，(2.5.10)式就滿足。圓外無(wú)極點(diǎn)，x(n)=0。 綜合n0 和n0 兩種情況的結(jié)構(gòu)，有x(n)=anu(n),圖 2.5.4 例2.5.6中n0時(shí)F(z)極點(diǎn)分布,2. 求逆Z變換：部分分式展開法 對(duì)于大多數(shù)單階極點(diǎn)的序列，常常用這種部分分式展開法求逆Z變換。 設(shè)x(n)的Z變換X(z)是有理函數(shù)，分子多項(xiàng)式是M階，分母多項(xiàng)式是N階 方法： 1.將X(z)展成一些簡(jiǎn)單的常用的部分分式之和 2. 通過(guò)查表(參考p54表2.5.1)求得各部分的逆變換 3. 再相加即得到逆Z變換結(jié)果-序列x(n),表2.5.1 常見序列Z變換,補(bǔ)充：一些序列的Z變換,觀察上式，X(z)/z在z=0的極點(diǎn)留數(shù)就是系數(shù)A0，在z=zm的極點(diǎn)留數(shù)就是系數(shù)Am。,(2.5.11),(2.5.12),(2.5.13),(2.5.14),求出Am系數(shù)(m=0,1,2,N)后，查p54表2.5.1很容易示求得x(n),部分分式展開方法：利用留數(shù)進(jìn)行分解 設(shè)X(z)只有N個(gè)一階極點(diǎn)，可展成,例2.5.10 已知 ，求逆Z變換。,解,收斂域?yàn)?2 |z|3,第一部分極點(diǎn)是z=2,因此收斂域應(yīng)取|z|2。 第二部分極點(diǎn)是z=-3,因此收斂域應(yīng)取|z|3。 查表2.5.1得到 x(n)=2nu(n)+(-3)nu(-n-1),二者的交集,2.5.4 Z 變換的性質(zhì)和定理 Z變換有許多重要的性質(zhì)和定理，下面進(jìn)行介紹。 1.線性 設(shè) X(z)=ZTx(n),Rx-|z|Rx+ Y(z)=ZTy(n), Ry- |z| Ry+ m(n)=a x(n) +b y(n) 則 M(