（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第五章平面向量5.2平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用課件.pptx

5.2 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用,高考數(shù)學(xué) (江蘇省專用),五年高考,A組 自主命題江蘇卷題組,1.(2019江蘇,12,5分)如圖,在ABC中,D是BC的中點,E在邊AB上,BE=2EA,AD與CE交于點O.若 =6 ,則 的值是 .,答案,解析 本題考查平面向量基本定理、向量的線性運算、平面向量的數(shù)量積等有關(guān)知識,考查 學(xué)生的抽象概括能力和運算求解能力,考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運算. 過D作DFEC,交AB于F. D為BC的中點,F為BE的中點, 又BE=2EA, EF=EA, 又DFEO, AO= AD, = = ( + )., = ( + ) = . =6 , = - + , =3 , | |= | |, = .,一題多解 由于題目中對BAC沒有限制,所以不妨設(shè)BAC=90,AB=c,AC=b,建立如圖所示 的平面直角坐標(biāo)系. 則E ,D ,易得lAD:y= x,lEC: + =1, 聯(lián)立得 解得 則O . 由 =6 得6 =0, c2=3b2,c= b, = .,2.(2016江蘇,13,5分)如圖,在ABC中,D是BC的中點,E,F是AD上的兩個三等分點, =4, =-1,則 的值是 .,答案,解析 解法一: = =( + )( - ) = - , 同理, = - , = - , 因為E,F是AD上的兩個三等分點, 所以 =9 , =4 , 由-可得8 =5,即 = . 由可得 = +3 =-1+ = . 解法二:由已知可得 = + = + = - = ( - )- ( + )= - , = + = + = - = ( - )- ( + ),= - , = + = + = ( - )- ( + ) = - , = + = + = ( - )- ( + ) = - , 因為 =4,所以 =4, 則 = - = - - + = - ( + ),= 4- ( + )=-1, 所以 + = , 從而 = - =- - + =- ( + )+ =- + 4= = .,3.(2015江蘇,14,5分)設(shè)向量ak= (k=0,1,2,12),則 (akak+1)的值為 .,答案 9,解析 akak+1= cos ,sin +cos =cos cos + =cos cos +sin sin +sin cos +cos sin +cos cos =cos +sin +cos cos = +sin + cos2 - cos sin = +sin + - sin = +sin + cos . 因為y=sin ,y= cos 的周期皆為6,一個周期內(nèi)的函數(shù)值和皆為零, 因此 (akak+1)= 12=9 .,B組 統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組,考點一 平面向量的數(shù)量積,1.(2019北京文,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且ab,則m= .,答案 8,解析 本題考查兩向量垂直的充要條件和向量的坐標(biāo)運算,考查了方程的思想方法. ab,ab=(-4,3)(6,m)=-24+3m=0,m=8.,易錯警示 容易把兩向量平行與垂直的條件混淆.,2.(2019課標(biāo)全國理改編,3,5分)已知 =(2,3), =(3,t),| |=1,則 = .,答案 2,解析 本題考查了平面向量的坐標(biāo)表示以及數(shù)量積和模的求解;通過模的運算,考查了方程的 思想方法.考查的核心素養(yǎng)為數(shù)學(xué)運算. = - =(1,t-3), | |= =1,t=3, =(2,3)(1,0)=2.,思路分析 先利用| |=1求出t的值,再利用數(shù)量積的坐標(biāo)運算求出數(shù)量積.,3.(2019課標(biāo)全國理改編,7,5分)已知非零向量a,b滿足|a|=2|b|,且(a-b)b,則a與b的夾角為 .,答案,解析 本題考查向量的運算及向量的夾角;考查學(xué)生的運算求解能力;考查了數(shù)形結(jié)合思想; 考查的核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)運算. 解法一:因為(a-b)b,所以(a-b)b=ab-|b|2=0,又因為|a|=2|b|,所以2|b|2cos-|b|2=0,即cos = ,又知0,所以= . 解法二:如圖,令 =a, =b,則 = - =a-b,因為(a-b)b,所以O(shè)BA=90,又|a|=2|b|,所以 AOB= ,即= .,思路分析 本題可由兩向量垂直的充要條件建立方程求解;也可以將兩向量放在直角三角形 中,由題設(shè)直接得到兩向量的夾角.,4.(2019課標(biāo)全國理,13,5分)已知a,b為單位向量,且ab=0,若c=2a- b,則cos= .,答案,解析 本題主要考查平面向量的數(shù)量積、模長及平面向量夾角的計算;通過向量的數(shù)量積、 夾角的求解考查學(xué)生運算求解的能力,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng). |a|=|b|=1,ab=0, ac=a(2a- b)=2a2- ab=2, |c|=|2a- b|= = =3. cos= = .,5.(2018課標(biāo)全國理改編,4,5分)已知向量a,b滿足|a|=1,ab=-1,則a(2a-b)= .,答案 37,解析 因為|a|=1,ab=-1, 所以a(2a-b)=2|a|2-ab=212-(-1)=3.,6.(2017課標(biāo)全國理,13,5分)已知向量a,b的夾角為60,|a|=2,|b|=1,則|a+2b|= .,答案 2,解析 本題考查平面向量的模與數(shù)量積的計算,考查學(xué)生的運算求解能力. 解法一(公式法):由題意知ab=|a|b|cos 60=21 =1,則|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4ab=4+4+4 =12.所以|a+2b|=2 . 解法二(坐標(biāo)法):根據(jù)已知條件建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,由題意,不妨取a=(2,0),b= ,則a+2b= (3, ),所以|a+2b|= =2 .,7.(2016浙江,15,4分)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若對任意單位向量e,均有|ae|+|be| ,則ab的最 大值是 .,答案,解析 對任意單位向量e,均有 |ae|+|be|ae+be|=|(a+b)e|,|a+b| ,當(dāng)且僅當(dāng)a+b與e 共線時,等號成立.a2+2ab+b26,又|a|=1,|b|=2,ab ,即ab的最大值為 .,考點二 數(shù)量積的綜合應(yīng)用,1.(2019課標(biāo)全國文改編,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),則|a-b|= .,答案,解析 本題主要考查平面向量的坐標(biāo)運算以及向量模的計算;考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng). a=(2,3),b=(3,2),a-b=(-1,1),|a-b|= = .,一題多解 a=(2,3),b=(3,2),|a|2=13,|b|2=13,ab=12,則|a-b|= = = .,2.(2019天津理,14,5分)在四邊形ABCD中,ADBC,AB=2 ,AD=5,A=30,點E在線段CB的延 長線上,且AE=BE,則 = .,答案 -1,解析 本題主要考查平面幾何知識的應(yīng)用、解三角形、向量的坐標(biāo)運算及數(shù)量積的求解;考 查學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用以及運算求解能力;通過向量的不同表現(xiàn)形式更全面地考查了學(xué) 生邏輯推理、直觀想象及數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng). 解法一:BAD=30,ADBC,ABE=30, 又EA=EB,EAB=30, 在EAB中,AB=2 ,EA=EB=2. 以A為坐標(biāo)原點,AD所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示. 則A(0,0),D(5,0),E(1, ),B(3, ), =(2,- ), =(1, ), =(2,- )(1, )=-1. 解法二:同解法一,得AB=2 , 以 , 為一組基底, 則 = - , = + = - , =( - ) = - + - = - - = 52 -12- 25=-1.,3.(2018北京理改編,6,5分)設(shè)a,b均為單位向量,則“|a-3b|=|3a+b|”是“ab”的 .(填“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充分必要條件”或“既不充分又不必要 條件”),答案 充分必要條件,解析 本題主要考查平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用以及充分、必要條件的判斷. |a-3b|=|3a+b|a-3b|2=|3a+b|2a2-6ab+9b2=9a2+6ab+b22a2+3ab-2b2=0,又|a|=|b|=1,ab=0 ab.,4.(2018天津文改編,8,5分)在如圖的平面圖形中,已知OM=1,ON=2,MON=120, =2 , =2 ,則 的值為 .,答案 -6,解析 本題考查向量的運算. 解法一:連接OA. = - =3 -3 =3( - )-3( - )=3( - ), =3( - ) =3( -| |2)=3(21cos 120-12)=3(-2)=-6. 解法二:在ABC中,不妨設(shè)A=90,取特殊情況ONAC,以A為坐標(biāo)原點,AB,AC所在直線分 別為x軸,y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,因為MON=120,ON=2,OM=1,所以O(shè) ,C ,M ,B . 故 = =- - =-6.,5.(2018天津理改編,8,5分)如圖,在平面四邊形ABCD中,ABBC,ADCD,BAD=120,AB=AD =1.若點E為邊CD上的動點,則 的最小值為 .,答案,解析 本題主要考查數(shù)量積的綜合應(yīng)用. 解法一:如圖,以D為原點,DA所在直線為x軸,DC所在直線為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系,則A(1,0), B ,C(0, ),令E(0,t),t0, , =(-1,t) =t2- t+ ,t0, ,當(dāng)t =- = 時, 取得最小值,( )min= - + = . 解法二:令 = (01),由已知可得DC= , = + , = + = + + , =( + )( + + ) = +| |2+ +2| |2,=32- + . 當(dāng)=- = 時, 取得最小值 .,方法總結(jié) 向量的最值問題常用數(shù)形結(jié)合的方法和函數(shù)的思想方法求解,建立函數(shù)關(guān)系時,可 用平面向量基本定理,也可利用向量的坐標(biāo)運算.,6.(2018浙江改編,9,4分)已知a,b,e是平面向量,e是單位向量.若非零向量a與e的夾角為 ,向量b 滿足b2-4eb+3=0,則|a-b|的最小值是 .,答案 -1,解析 本題考查平面向量的數(shù)量積、坐標(biāo)運算、向量模的最值和點到直線的距離. 設(shè) =a, =b, =e,以O(shè)為原點, 的方向為x軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系,則E(1,0).不妨 設(shè)A點在第一象限,a與e的夾角為 ,點A在從原點出發(fā),傾斜角為 ,且在第一象限內(nèi)的射 線上.設(shè)B(x,y),由b2-4eb+3=0,得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,即點B在圓(x-2)2+y2=1上運動.而 = a-b,|a-b|的最小值即為點B到射線OA的距離的最小值,即為圓心(2,0)到射線y= x(x0)的距 離減去圓的半徑,所以|a-b|min= -1.,一題多解 將b2-4eb+3=0轉(zhuǎn)化為b2-4eb+3e2=0, 即(b-e)(b-3e)=0,(b-e)(b-3e). 設(shè) =e, =a, =b, =3e, =2e,則 , 點B在以M為圓心,1為半徑的圓上運動,如圖. |a-b|=| |,|a-b|的最小值即為點B到射線OA的距離的最小值,即為圓心M到射線OA的距離 減去圓的半徑. | |=2,AOM= ,|a-b|min=2sin -1= -1.,7.(2017課標(biāo)全國理改編,12,5分)已知ABC是邊長為2的等邊三角形,P為平面ABC內(nèi)一點, 則 ( + )的最小值是 .,答案 -,而 = = , 當(dāng)P與E重合時, 有最小值0,故此時 ( + )取最小值, 最小值為-2 =-2 =- .,方法總結(jié) 在求向量數(shù)量積的最值時,常用取中點的方法,如本題中利用 = - 可快 速求出最值.,一題多解 以AB所在直線為x軸,AB的中點為原點建立平面直角坐標(biāo)系,如圖, 則A(-1,0),B(1,0),C(0, ),設(shè)P(x,y),取BC的中點D,則D . ( + )=2 =2(-1-x,-y) =2 =2 . 因此,當(dāng)x=- ,y= 時, ( + )取得最小值,為2 =- .,8.(2015福建改編,9,5分)已知 ,| |= ,| |=t.若點P是ABC所在平面內(nèi)的一點,且 = + ,則 的最大值等于 .,答案 13,解析 以A為原點,AB所在直線為x軸,AC所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則B (t0),C (0,t),P(1,4), = (-1,t-4)=17- 17-22=13 ,故 的最大值為13.,9.(2015天津,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知ABDC,AB=2,BC=1,ABC=60.動點E和F分別 在線段BC和DC上,且 = , = ,則 的最小值為 .,答案,解析 如圖,以A為原點,AB所在直線為x軸建立直角坐標(biāo)系,則B(2,0),C ,D . 由 = 得E ,由 = 得F .,從而 = = + + +2 = 當(dāng)且僅當(dāng)= 時,取等號 .,C組 教師專用題組,考點一 平面向量的數(shù)量積,1.(2014課標(biāo)全國改編,3,5分)設(shè)向量a,b滿足|a+b|= ,|a-b|= ,則ab= .,答案 1,解析 由|a+b|= 得a2+b2+2ab=10, 由|a-b|= 得a2+b2-2ab=6, -得4ab=4,ab=1.,2.(2013課標(biāo)全國,13,5分)已知兩個單位向量a,b的夾角為60,c=ta+(1-t)b.若bc=0,則t= .,答案 2,解析 解法一:bc=0, bta+(1-t)b=0,tab+(1-t)b2=0, 又|a|=|b|=1,=60, t+1-t=0,t=2.,解法二:由題意作 =a, =b,=60,| |=| |=1,設(shè) =c,則由c=ta+(1-t)b及bc=0,知 A、B、C三點共線且BOC=90,如圖,可知C在BA的延長線上,所以A為BC的中點,即a= b+ c,所以c=2a-b,所以t=2.,思路分析 可以利用向量的數(shù)量積運算列方程求得t值;也可以將題中滿足條件的向量用共起 點的有向線段表示,從而畫出符合條件的幾何圖形,通過分析圖形中向量終點間的位置關(guān)系求 得t的值.,3.(2013課標(biāo)全國,14,5分)已知正方形ABCD的邊長為2,E為CD的中點,則 = .,答案 2,解析 解法一: = ( - )= - +0=22- 22=2. 解法二:以A為原點建立平面直角坐標(biāo)系(如圖).則A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),E(1,2). =(1,2), =(-2,2). 從而 =(1,2)(-2,2)=1(-2)+22=2.,評析 本題考查了向量的基本運算.向量的運算可以利用運算法則也可以利用坐標(biāo)運算.,4.(2012江蘇,9,5分)如圖,在矩形ABCD中,AB= ,BC=2,點E為BC的中點,點F在邊CD上,若 = ,則 的值是 .,答案,解析 以A為原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)F(x,2), =(x,2), =( ,0), = x= , F(1,2), = .,5.(2012課標(biāo),13,5分)已知向量a,b的夾角為45,且|a|=1,|2a-b|= ,則|b|= .,答案 3,解析 |2a-b|= ,(2a-b)2=10,4+|b|2-4|a|b|cos 45=10,|b|=3 .,6.(2011課標(biāo)全國文改編,3,5分)設(shè)向量a,b滿足|a|=|b|=1,ab=- ,則|a+2b|= .,答案,解析 因為|a|=|b|=1,ab=- ,所以|a+2b|= = = .,考點二 數(shù)量積的綜合應(yīng)用,1.(2015湖南,8,5分)已知點A,B,C在圓x2+y2=1上運動,且ABBC.若點P的坐標(biāo)為(2,0),則| + + |的最大值為 .,答案 7,解析 解法一:由圓周角定理及ABBC,知AC為圓的直徑. 故 + =2 =(-4,0)(O為坐標(biāo)原點). 設(shè)B(cos ,sin ), =(cos -2,sin ), + + =(cos -6,sin ),| + + |= = =7,當(dāng) 且僅當(dāng)cos =-1時取等號,此時B(-1,0),故| + + |的最大值為7. 解法二:同解法一得 + =2 (O為坐標(biāo)原點),又 = + ,| + + |=|3 + | 3| |+| |=32+1=7,當(dāng)且僅當(dāng) 與 同向時取等號,此時B點坐標(biāo)為(-1,0),故| + + | max=7.,評析 本題考查向量的坐標(biāo)運算,向量的模等基礎(chǔ)知識,對能力要求較高.,2.(2009江蘇,15,14分)設(shè)向量a=(4cos ,sin ),b=(sin ,4cos ),c=(cos ,-4sin ). (1)若a與(b-2c)垂直,求tan(+)的值; (2)求|b+c|的最大值; (3)若tan tan =16,求證:ab.,解析 (1)a與(b-2c)垂直, a(b-2c)=ab-2ac=0, 即4cos sin +4sin cos -8cos cos +8sin sin =0, 即4sin(+)-8cos(+)=0,tan(+)=2. (2)b+c=(sin +cos ,4cos -4sin ), |b+c|2=sin2+2sin cos +cos2+16cos2-32cos sin +16sin2=17-30sin cos =17-15sin 2,其最 大值為32,所以|b+c|的最大值為4 . (3)證明:由tan tan =16,得sin sin =16cos cos , 即4cos 4cos -sin sin =0, 所以ab.,三年模擬,A組 20172019年高考模擬考點基礎(chǔ)題組,考點一 平面向量的數(shù)量積,1.(2019無錫期中,5)已知向量a,b的夾角為120,|a|=4,|b|=3,則|2a+b|的值為 .,答案 7,解析 因為ab=|a|b|cos 120=-6, 所以|2a+b|= = = =7.,2.(2019南通基地學(xué)校3月聯(lián)考,10)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點A( ,1)在以原點O為圓心 的圓上.已知圓O與y軸正半軸的交點為P,延長AP至點B,使得AOB=90,則 = .,答案 2,解析 由題意可知圓的半徑為r= =2,則P(0,2),由AOB=90可得 =0,故 =( + ) = + =(0,2)( ,1)=2.,3.(2019連云港期中,12)在三角形ABC中,AB=3,AC=1,A= ,AD是A的平分線,則 = .,答案,解析 如圖所示,AD是A的平分線, = =3, = + = + = + ( - )= + , = = + = + 31cos = .,一題多解 AD為A的平分線,A= , BAD=CAD= , SABD+SACD=SABC, ABADsinBAD+ ACADsinCAD= ABACsinBAC, 3AD+AD=3,AD= , =3 cos = .,4.(2019靖江檢測,11)在等腰梯形ABCD中,ABCD,AB=2,AD=1,DAB=60,若 =3 , = ,且 =-1,則實數(shù)的值為 .,答案,解析 解法一: =( + )( + ) = ( + ) = ( + ) = ( - ) = | |2- | |2+ | | |cos 60 = - + =-1. 解得= . 解法二:如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,則E ,F(2,0),D ,則 = , = , 所以 = + =-1. 解得= .,評析 基底法與建系法是解決向量問題的兩種常用方法,要會根據(jù)條件選擇合適的方法,簡化 解題過程.,5.(2019南京、鹽城二模,12)已知AD是直角三角形ABC的斜邊BC上的高,點P在DA的延長線上, 且滿足( + ) =4 .若AD= ,則 的值為 .,答案 2,解析 由ADBC,得 = =0, 因為( + ) =4 ,所以(2 + + ) =4 , 所以 =2 ,即| | |cos 0=2 ,所以| |=2, 所以 =( + )( + )= + = +| | |cos = -| | |=| |2-| |2=4-2=2.,考點二 數(shù)量積的綜合應(yīng)用,1.(2017江蘇六校聯(lián)考,12)在ABC中,已知AB=8,AC=6,點O為三角形的外心,則 = .,答案 14,解析 設(shè)AB,AC的中點分別為M,N,連接OM,ON, 由題意知MOAB,ONAC, 從而( - ) =0,( - ) =0, 即 =0, =0, 所以 = =32, = =18, 所以 =( - ) = - =-18+32=14.,2.(2019如皋期末,12)如圖,在四邊形ABCD中,已知AB=2,CD與以AB為直徑的半圓O相切于點D, 且BCAD,若 =-1,則 = .,答案,解析 因為 =-1,所以( + ) =-1,所以 + =-1,因為AB為直徑,BC AD,所以BDBC,所以 =0,所以 =-1, 所以| | |cos(-ABD)=-1, 可得| |=1,在RtABD中,易得AD= ,OBD= ,又OB=OD,所以O(shè)BD為等邊三角形,所以 BOD= ,所以ADO= , 所以 =| | |cos = 1 = .,思路分析 根據(jù)題意以及圓的直徑所對的圓周角為直角,可得 =-1,求得| |=1,然后求 得OBD為等邊三角形,求出BOD= ,得ADO= ,再利用數(shù)量積求得結(jié)果.,3.(2019海安高級中學(xué)檢測,13)如圖,已知AC=8,B為AC的中點,分別以AB,AC為直徑在AC的同側(cè) 作半圓,M,N分別為兩半圓上的動點(不含端點A,B,C),且BMBN,則 的最大值為 .,答案 4,解析 設(shè)NBC=, ,因為BMBN,所以MBA= -,則BM=ABcos =4sin , 則 =( - )( - ) = - - + =- - -16=-16+ + =16sin2+16cos -16=-16 +44, 所以 的最大值為4.,一題多解 以BC所在直線為x軸,AC的中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)NBC=, , 因為BMBN,所以MBA= -, 則BM=ABcos =4sin , 則A(-4,0),C(4,0),N(4cos ,4sin ), 所以M(2cos 2-2,2sin 2), =(2cos 2+2,2sin 2), =(4cos -4,4sin ), 則 =(2cos 2+2)(4cos -4)+2sin 24sin =8cos 2cos +8sin 2sin +8cos -8cos 2-8 =-16 +44, 所以 的最大值為4.,4.(2019揚州期中,12)在ABC中,AH是邊BC上的高,點G是ABC的重心,若ABC的面積為 +1,AC= ,tan C=2,則( + )( + )= .,答案 1,解析 在RtAHC中,tan C=2,AC= , 所以 解得AH=2,HC=1, 故AHC的面積為1,又ABC的面積為 +1, 所以ABH的面積為 ,所以BH= . 延長BG交AC于點D,因為G為ABC的重心,所以D為AC的中點,以H為原點建立平面直角坐標(biāo) 系,如圖. 則H(0,0),A(0,2),C(1,0),B(- ,0), 由中點坐標(biāo)公式,得D ,設(shè)G(x,y),由 = ,得(x+ ,y)= , 所以x= ,y= ,所以G . 則 + =(0,-2)+(1+ ,0)=(1+ ,-2), + = + = , 所以( + )( + )=(1+ ,-2) = + =1.,5.(2019南京、鹽城二模,15)設(shè)向量a=(cos ,sin ),b=(cos ,sin ),其中0,0 ,且a+b與 a-b相互垂直. (1)求實數(shù)的值; (2)若ab= ,且tan =2,求tan 的值.,解析 (1)由a+b與a-b互相垂直,可得(a+b)(a-b)=a2-b2=0, 所以cos2+2sin2-1=0. (2分) 又因為sin2+cos2=1,所以(2-1)sin2=0. (4分) 因為00,所以=1. (6分) (2)由(1)知a=(cos ,sin ). 由ab= 得cos cos +sin sin = ,即cos = . (8分) 因為0 ,所以- -0, 所以sin(-)=- =- . (10分) 所以tan(-)= =- , (12分) 因此tan =tan(-)+= = . (14分),6.(2019蘇錫常鎮(zhèn)四市教學(xué)情況調(diào)查一,16)已知向量a=(2cos ,2sin ),b=(cos -sin ,cos +sin ). (1)求向量a與b的夾角; (2)若(b-a)a,求實數(shù)的值.,解析 (1)設(shè)向量a與b的夾角為, 因為|a|=2,|b|= = , (4分) 所以cos = = = = . (7分) 考慮到0,則向量a與b的夾角為 . (9分) (2)若(b-a)a,則(b-a)a=0,即ba-a2=0, (12分) 因為ba=2,a2=4, 所以2-4=0,解得=2. (14分),一、填空題(每小題5分,共40分),B組 20172019年高考模擬專題綜合題組 (時間：40分鐘 分值：55分),1.(2019蘇錫常鎮(zhèn)四市教學(xué)情況調(diào)查二,13)如圖,在等腰直角三角形ABC中,CAB=90,AB=2,以 AB為直徑在ABC外作半圓O,P為半圓弧AB上的動點,點Q在斜邊BC上,若 = ,則 的最小值為 .,答案 -,解析 以O(shè)為坐標(biāo)原點,AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(-1,0),B(1,0),C(-1,-2),設(shè)P (cos ,sin ),Q(x,y), = ,即(2,0)(x+1,y)= ,Q , 則 = , =(cos +1,sin +2), 故 = cos + - sin - = cos - sin = sin(-),其中tan =2, 0, 的最小值為- .,2.(2019宿遷期末,12)如圖所示,矩形ABCD的邊AB=4,AD=2,以點C為圓心,CB為半徑的圓與CD 交于點E,若點P是圓弧EB(含端點B、E)上的一點,則 的取值范圍是 .,答案 8-8 ,0,解析 以C為原點,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系. 點P的軌跡方程為x2+y2=4(x0,y0),設(shè)P(2cos ,2sin ) ,又A(-4,-2),B(0,-2), 則 =(-4-2cos ,-2-2sin ), =(0-2cos ,-2-2sin ), 所以 =8cos +8sin +8=8 sin +8, 因為 , 所以+ ,sin ,則 8-8 ,0. 所以 的取值范圍是8-8 ,0.,3.(2019啟東中學(xué)、前黃中學(xué)、淮陰中學(xué)等七校聯(lián)考,12)如圖,在ABC中,a、b、c分別是 角A、B、C所對的邊,E,F是AB上的兩個三等分點,G,H是AC上的兩個三等分點,( + )( - )=- ,則bcos C的最小值為 .,答案 1,解析 因為 = - , = - , = - , = - , 所以( + )( - )= =- ( + )( - )=- , 所以AC2-AB2=1,作AMBC,垂足為M, 則AC2-AB2=MC2-BM2=1,則bcos C=CM= 1. 所以bcos C的最小值為1.,思路分析 從條件看,考慮用基底法去研究,因為等分點在AB,AC上,所以考慮用 , 作為基 底表示其余向量,找到兩邊關(guān)系,然后構(gòu)造直角三角形,去轉(zhuǎn)化理解bcos C的意義,題目就能夠順 利解決.,4.(2019如皋檢測,10)在平行四邊形ABCD中,A= ,AB=2,AD=1,若M、N分別是邊BC、CD上 的點,且滿足 = ,則 的取值范圍是 .,答案 2,5,解析 以AB所在直線為x軸,過A點且垂直于AB的直線為y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,過D 點作DE垂直于x軸,垂足為E, 則A(0,0),D ,B(2,0),C . 設(shè) = =,0,1, M ,N , 故 =-2-2+5=-(+1)2+62,5.,5.(2019南通、揚州、泰州、蘇北四市七市一模,12)在平面四邊形ABCD中,AB=1,DA=DB, =3, =2,則| +2 |的最小值為 .,答案 2,解析 以A為坐標(biāo)原點,AB所在直線為x軸,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示. 則A(0,0),B(1,0), 又DA=DB,所以設(shè)D , 因為 =| |cosCAB=3,所以設(shè)C(3,n), 又 =2,所以mn= , 故| +2 |= = = =2 .,當(dāng)且僅當(dāng) 即 或 時,取“=”. 故| +2 |的最小值為2 .,6.(2019姜堰中學(xué)、淮陰中學(xué)期中,14)如圖,在ABC中, = , = ,CD與BE交于點P, AP=1,BC=4, =2,則 的值為 .,答案,解析 設(shè) = = , = + =(1-) + =(2-2) + . D,P,C三點共線,2-2+ =1,解得= . = + . AP=1,BC=4, =2, 解得 = .,7.(2018南通第一次調(diào)研,12)如圖,已知矩形ABCD的邊長AB=2,AD=1.點P,Q分別在邊BC,CD上, 且PAQ=45,則 的最小值為 .,答案 4 -4,解析 解法一:以A為坐標(biāo)原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A (0,0),B(2,0),D(0,1).設(shè)PAB=,則 =(2,2tan ), = tan ,1 , 因為 =(2,2tan ) =2tan +2tan = +2tan = +2tan -2= +2(tan +1)-44 -4,當(dāng)且僅當(dāng)tan = -1時“=”成立, 所以 的最小值為4 -4. 解法二:設(shè)PAB= , 則DAQ= -, 則AP= ,AQ= , =| | |cos = ,= = = = 4 -4. 所以 的最小值為4 -4.,評析 第一種解法是建立坐標(biāo)系,第二種解法是求出兩個向量的模,然后利用數(shù)量積轉(zhuǎn)化為三 角函數(shù)求最值的問題進(jìn)行求解.,8.(2018蘇北四市一模,14)如圖,在ABC中,已知AB=3,AC=2,BAC=120,D為邊BC的中點.若 CEAD,垂足為E,則 的值為 .,答案 -,解析 解法一:建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(3,0),C(-1, ),D . 則直線AD的方程為y= x,直線CE的方程為y=-