第8章_時間序列分析(2)

第8章 時間序列分析 Time Series Analysis,8.1 時間序列的分解 8.2 指數(shù)平滑 8.3 ARIMA模型,8.2 指數(shù)平滑 Exponential smoothing,8.2.1 單參數(shù)（一次）指數(shù)平滑 8.2.2 雙參數(shù)指數(shù)平滑 8.2.3 三參數(shù)指數(shù)平滑,指數(shù)平滑方法的基本原理,指數(shù)平滑是一種加權(quán)移動平均，既可以用來描述時間序列的變化趨勢，也可以實現(xiàn)時間序列的預(yù)測。 指數(shù)平滑預(yù)測的基本原理是：用時間序列過去取值的加權(quán)平均作為未來的預(yù)測值，離當(dāng)前時刻越近的取值，其權(quán)重越大。,式中：,表示時間序列第t+1期的預(yù)測值；,表示時間序列第t期的實際觀測值；,表示時間序列第t期的預(yù)測值；,表示平滑系數(shù)，0,1。,8.2.1 單參數(shù)（一次）指數(shù)平滑,單參數(shù)指數(shù)平滑的模型為：,適用場合,單參數(shù)（一次）指數(shù)平滑適用于不包含長期趨勢和季節(jié)成分的時間序列預(yù)測 如果原序列有增長趨勢，平滑序列將系統(tǒng)的低于實際值 如果原序列有下降趨勢，平滑序列將系統(tǒng)的高于實際值,平滑系數(shù)的確定,選擇合適的平滑系數(shù)是提高預(yù)測精度的關(guān)鍵。 如果序列波動較小，則平滑系數(shù)應(yīng)取小一些，不同時期數(shù)據(jù)的權(quán)數(shù)差別小一些，使預(yù)測模型能包含更多歷史數(shù)據(jù)的信息； 如果序列趨勢波動較大，則平滑系數(shù)應(yīng)取得大一些。這樣，可以給近期數(shù)據(jù)較大的權(quán)數(shù)，以使預(yù)測模型更好地適序列趨勢的變化。 統(tǒng)計軟件中可以根據(jù)擬合誤差的大小自動篩選最優(yōu)的平滑系數(shù)值。,初始預(yù)測值的確定,初始預(yù)測值的確定 等于第一個觀測值 等于前k個值的算術(shù)平均 適用場合：單參數(shù)（一次）指數(shù)平滑適用于不包含長期趨勢和季節(jié)成分的平穩(wěn)時間序列預(yù)測,案例分析,新衛(wèi)機(jī)械廠銷售額的單參數(shù)指數(shù)平滑預(yù)測 分析預(yù)測創(chuàng)建模型方法選擇“指數(shù)平滑”;根據(jù)需要設(shè)置“條件”。 擬合情況與2年的預(yù)測值（下頁圖）。 SPSS Statistics 估計的a=0.689. 擬合數(shù)據(jù)的MAPE=12.847%.,單參數(shù)指數(shù)平滑的圖形結(jié)果,8.2.2 雙參數(shù)指數(shù)平滑,雙參數(shù)指數(shù)平滑包含兩個平滑參數(shù) 適用于包含長期趨勢、不包含季節(jié)成分的時間序列預(yù)測。 其基本思想是：首先對序列選定其隨時間變化的線性模型，再通過對序列水平和增長量分別進(jìn)行平滑來估計模型中的參數(shù)。,雙參數(shù)指數(shù)平滑模型,第一個平滑方程得到原序列經(jīng)趨勢調(diào)整的平滑值，第二個平滑方程是對增量進(jìn)行指數(shù)平滑。初始值取為:,應(yīng)用實例,利用指數(shù)平滑法對我國人均原油產(chǎn)量（單位：公斤/人）進(jìn)行預(yù)測。 。 從圖形看具有增長 趨勢，可以用雙參數(shù) 指數(shù)平滑法進(jìn)行 預(yù)測。,應(yīng)用實例,軟件操作：分析預(yù)測創(chuàng)建模型方法選擇“指數(shù)平滑”;根據(jù)需要設(shè)置“條件”（選擇Holt線性趨勢模型） 由SPSS軟件搜索出的最終平滑系數(shù) 、 ，分別為1.00和0.001，預(yù)測2007-2010年我國人均原油產(chǎn)量的預(yù)測值分別為： 141.74 142.56 143.37 144.18,圖形,雙參數(shù)指數(shù)平滑預(yù)測新衛(wèi)機(jī)械廠的銷售收入,估計的a=0.018，b=0.000. 歷史數(shù)據(jù)MAPE=9.837%.,預(yù)測圖形,8.2.3 三參數(shù)指數(shù)平滑,對于包含季節(jié)變動（和長期趨勢）的時間序列進(jìn)行預(yù)測常用溫特（Winter）指數(shù)平滑法。 該法包含三個平滑系數(shù)，是依據(jù)時間序列的乘法（或加法）結(jié)構(gòu)模型，在每一步平滑中將原始時間序列分解成趨勢成分和季節(jié)成分并對它們分別進(jìn)行平滑。,三參數(shù)指數(shù)平滑模型,預(yù)測公式 (L為季節(jié)長度),例子：銷售額時間序列,某企業(yè)1990-2002年各月銷售額數(shù)據(jù)。,Example : 銷售額時間序列的溫特指數(shù)平滑預(yù)測,軟件操作：分析預(yù)測創(chuàng)建模型方法選擇“指數(shù)平滑”; 設(shè)置“條件”，選擇季節(jié)性模型中的“Winter(冬季）加法或乘法模型），這里選的是乘法模型。 從圖形看擬合效果很好。,Example : 銷售額時間序列的溫特指數(shù)平滑預(yù)測,8.3 ARIMA模型,8.2.1 平穩(wěn)時間序列模型 （ARMA模型） 8.2.2 ARIMA模型 ARIMA: Autoregressive Integrated Moving Average,時間序列的平穩(wěn)性,隨機(jī)時間序列分析的一個重要概念是平穩(wěn)性。 時間序列平穩(wěn)性的直觀含義是指時間序列沒有明顯的長期趨勢、循環(huán)變動和季節(jié)變動。 從統(tǒng)計意義上講，如果序列的一、二階矩存在，而且對任意時刻滿足：(1)均值為常數(shù)；(2)協(xié)方差僅與時間間隔有關(guān)，則稱該序列為寬平穩(wěn)時間序列，也叫廣義平穩(wěn)時間序列。,非平穩(wěn)序列 平穩(wěn)序列,時間序列的平穩(wěn)性（圖形）,是互不相關(guān)的序列，且均值為零，方差 為 （即為白噪聲序列）,一般假定其服從正態(tài)分布。,為零均值平穩(wěn)時間序列,1 平穩(wěn)時間序列模型,（1）ARMA模型的基本形式 P階自回歸(Autoregressive)模型AR(p),平穩(wěn)時間序列模型,滑動平均(Moving Average)模型-MA(q) 自回歸滑動平均(Autoregressive and Moving Average)模型 ARMA(p,q),一個模擬的AR(1)序列,一個模擬的MA(1)序列,有均值項的ARMA模型,對于均值是否為零未知的情況下，建模時需要給ARMA模型加上一個均值項。 AR模型： MA模型 ARMA模型,(2) ARMA模型的識別與估計,Box-Jenkins 的模型識別方法： 根據(jù)ACF和PACF確定模型的形式。 自相關(guān)函數(shù)(ACF)描述時間序列觀測值與其過去的觀測值之間的線性相關(guān)性。 偏自相關(guān)函數(shù)(PACF)描述在給定中間觀測值的條件下時間序列觀測值與其過去的觀測值之間的線性相關(guān)性。,模型（序列） AR(p) MA(q) ARMA(p,q) 自相關(guān)函數(shù) 拖尾 第q個后截尾 拖尾 偏自相關(guān)函數(shù) 第p個后截尾 拖尾 拖尾,拖尾是指以指數(shù)率單調(diào)或振蕩衰減， 截尾是指從某個開始非常?。ú伙@著非零）。,Box-Jenkins 的模型識別方法,Example：一個零均值時間序列,下圖圖中橫線為0兩倍標(biāo)準(zhǔn)差，可以判斷ACF和PACF是否顯著非零）?？梢钥闯鯝CF呈拖尾狀，PACF第2個后截尾，可初步斷定序列適合AR(2)模型。,一個零均值時間序列的ACF和PACF,ACF拖尾,PACF截尾,模型階數(shù)的確定,對于AR或MA模型，利用ACF和PACF判定模型類型的同時也就初步斷定了模型的階數(shù)。 對于ARMA模型來說，用ACF和PACF判定其階次有一定的困難。此時可以借助于下面介紹的信息準(zhǔn)則。,模型階數(shù)的確定（ARMA）*,實際中常用的準(zhǔn)則函數(shù)是AIC信息準(zhǔn)則和BIC信息準(zhǔn)則（也稱為Schwarz信息準(zhǔn)則，記為SIC），使準(zhǔn)則函數(shù)達(dá)到極小的是最佳模型。 是對序列擬合ARMA（p,q）模型的殘差方差，N為觀測值的個數(shù)。相對于AIC信息準(zhǔn)則，BIC信息準(zhǔn)則更多的考慮了模型的參數(shù)個數(shù)。 ,ARMA模型的參數(shù)估計,對時間序列所適合的ARMA模型進(jìn)行初步識別后，接下來就需要估計出其中的參數(shù)，以便進(jìn)一步識別和應(yīng)用模型。 主要的參數(shù)估計方法有矩估計法、最小二乘估計法和極大似然估計法等，一般都由計算機(jī)軟件實現(xiàn)，這里不作介紹。,（3）ARMA模型的適應(yīng)性檢驗,模型的適應(yīng)性檢驗主要是殘差序列的獨(dú)立性檢驗。殘差序列可由估計出來的模型計算得到。如果殘差序列的自相關(guān)函數(shù)不顯著非零，可以認(rèn)為是獨(dú)立的。,例1：AR模型,對前面例子，由SPSS可以得到參數(shù)估計，模型表達(dá)式為： 括號中為參數(shù)的t檢驗值，各參數(shù)都是顯著的。,例1：AR模型,由下圖可以看出殘差不存在顯著的自相關(guān)性，可以認(rèn)為是獨(dú)立的，因而模型是適應(yīng)的。,例2：MA模型,根據(jù)某化學(xué)過程讀數(shù)擬合ARMA模型。,例2：MA模型,ACF PACF 根據(jù)ACF可以嘗試MA(2)模型 根據(jù)PACF可以嘗試AR(1)模型,MA(2)模型,模型的正態(tài)化的BIC=4.969 R2=0.179,MA(2)的擬合效果圖,殘差自相關(guān)圖（MA(2)模型）,根據(jù)殘差自相關(guān)圖判斷MA(2)模型是適合的。,建立AR(1)模型的結(jié)果,也就是 模型的正態(tài)化的BIC=4.91；R2=0.166 根據(jù)BIC分析 AR(1)要好一點(diǎn)。,AR（1)的擬合效果圖,殘差自相關(guān)圖（AR(1)模型）,根據(jù)殘差自相關(guān)圖判斷AR(1)模型是適合的。,8.2.2 ARIMA模型,在實際問題中我們常遇到的序列，特別是反映社會、經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的序列，大多數(shù)并不平穩(wěn)，而是呈現(xiàn)出明顯的趨勢性或季節(jié)性。 對于有趨勢性時間序列通常采用ARIMA模型進(jìn)行分析。 對于有季節(jié)性的時間序列可以采用乘積季節(jié)ARIMA模型進(jìn)行預(yù)測。由于這類模型比較復(fù)雜，本課程不做介紹。,差分（Difference)運(yùn)算,ARIMA模型需要用到差分工具。用原序列的每一個觀測值減去其前面的一個觀測值，就形成原序列的一階差分序列： 對一階差分后的序列再進(jìn)行一次差分運(yùn)算，稱為二階差分。,差分（Difference)運(yùn)算,一階差分可以消除原序列存在的線性趨勢。有時候需要進(jìn)行高階差分才能夠使得變換后的時間序列平穩(wěn)。 大部分經(jīng)濟(jì)時間序列進(jìn)行一階或二階差分后都可以變?yōu)槠椒€(wěn)序列。 對有季節(jié)性的時間序列，進(jìn)行季節(jié)差分（當(dāng)年的可以消除季節(jié)成分：,ARIMA模型,一般地，如果d階差分序列 是平穩(wěn)的，并且適合ARMA（p,q）模型，即 也就是 因為求和是差分運(yùn)算的反運(yùn)算，所以該模型稱為求和自回歸滑動平均模型，記為 ARIMA（p,d,q）。,該序列有增長的趨勢，首先對其進(jìn)行一階差分，原序列及一階差分后序列如圖所示。,Example8.4：某中部省會城市房地產(chǎn)價格數(shù)據(jù),ARIMA模型例子,差分后序列的自相關(guān)和偏自相關(guān)函數(shù)如下圖所示?？梢钥闯鯝CF第一個后截尾，PACF呈拖尾狀，初步判定差分后序列適合MA(1)模型，即原序列適合ARIMA(0,1,1)模型。,由SPSS得到參數(shù)估計,BIC=10.763,模型的殘差自相關(guān),下圖為殘差序列的自相關(guān)函數(shù)，可以認(rèn)為是獨(dú)立的，對房地產(chǎn)價格數(shù)據(jù)建立的ARIMA(0,1,1)模型是適應(yīng)的。,利用該模型可以對房地產(chǎn)價格進(jìn)行預(yù)測，下圖是實際值、擬合值以及預(yù)測值圖示。,實際值、擬合值以及預(yù)測值圖示,ARIMA(1,1,0)模型,BIC=10.838，略高于ARIMA(0,1,1)。,模型的殘差自相關(guān)（ARIMA(1,1,0),下圖為殘差序列的自相關(guān)函數(shù)，可以認(rèn)為是獨(dú)立的，對房地產(chǎn)價格數(shù)據(jù)建立的ARIMA(1，1，0)模型是適應(yīng)的。,ARIMA(1,1,0)模型。,實際值、擬合值以及預(yù)測值圖示,SPSS Statistics 可以自動選擇p, d, p的值,在實際應(yīng)用中，可以讓SPSS 軟件根據(jù)設(shè)定的規(guī)則自動篩選“最優(yōu)”的模型。 在“方法”中選擇“專家建模器”，在“條件”中選擇ARIMA模型。 在例8.4中， 不指定p d q的值，SPSS Statistics 選擇的是ARIMA(0,1,1)模型。,時間序列預(yù)測的一個基本假設(shè)是：現(xiàn)象在過去的發(fā)展趨