畫法幾何與工程制圖之線面關(guān)系培訓(xùn)課件.ppt

2019/10/17,1,2.4 直線與平面以及 兩平面的相對位置,2.4.3 直線與平面以及兩平面垂直,2.4.1 直線與平面以及兩平面平行,2.4.2 直線與平面以及兩平面相交,2.4.4 點(diǎn)、直線、平面的綜合作圖題示例,2019/10/17,2,2.4.1 直線與平面以及兩平面平行,平面外的直線與該平面平行的幾何條件是：這條直線平行于該平面上的一條直線。,1.直線與平面以及兩平面平行的幾何條件,兩平面平行的幾何條件是：一平面上的兩相交直線，分別平行于另一平面上的兩相交直線。 當(dāng)平面為一般位置時(shí)，常用上述幾何條件來檢驗(yàn)或求解有關(guān)直線與平面以及兩平面平行的問題。,2019/10/17,3,例題2.27如圖2.60a所示，已知直線AB、CDE、點(diǎn)P的兩面投影，檢驗(yàn)直線AB是否平行于CDE，并過點(diǎn)P作平行于CDE的平面。,圖2.60 檢驗(yàn)AB是否平行CDE，過P作平面平行CDE,(a)已知條件,(b)檢驗(yàn)、作圖過程和作圖結(jié)果,解,檢驗(yàn)AB是否平行CDE,過c作cfab，由f 引投影連線，與de交得f，連c與f。因cf ab，則CFAB，所以ABCDE。,過P作平面平行CDE ,過p作pqcd， pqcd ；過p作prce ，prce ，那么兩相交直線PQ、PR所確定的平面，就是所求作的過點(diǎn)P且平行于CDE的平面。,2019/10/17,4,2.當(dāng)平面為特殊位置時(shí)，直線與平面以及兩平面平行的投影特性,投影特性：直線與平面的同面投影都有積聚性，或直線的投影與平面的有積聚性的同面投影互相平行。當(dāng)平面為特殊位置時(shí)，兩平面相平行的投影特性是：它們的有積聚性的同面投影互相平行。,圖2.61 當(dāng)平面為特殊位置時(shí)，直線與平面以及兩平面平行的投影特性,2019/10/17,5,例題2.28如圖2.62a所示，已知點(diǎn)G和處于鉛垂位置的矩形平面ABCD，以及直線EF的正面投影ef和端點(diǎn)E的水平投影e，并知EF平行于矩形平面ABCD。補(bǔ)全EF的水平投影，過點(diǎn)G作平行于矩形ABCD的平面。,圖2.62 補(bǔ)全直線EF的水平投影，過點(diǎn)G作矩形ABCD 的平行平面,解,補(bǔ)全直線EF的水平投影,過點(diǎn)G作矩形ABCD 的平行平面,2019/10/17,6,2.4.2 直線與平面以及兩平面相交,圖2.20 直線上的點(diǎn)的投影特性,1.直線上的點(diǎn)的投影特性,第一個(gè)投影特性：直線上的點(diǎn)的投影，必在直線的同面投影上。,第二個(gè)投影特性：若直線不垂直于投影面，則直線段上的點(diǎn)分割線段的長度比，與該點(diǎn)的投影分割直線段同面投影的長度比相等。,2019/10/17,7,1.兩相交元素中至少有一個(gè)元素的投影有積聚性時(shí)相交,圖2.63 作AB與矩形DEFG的交點(diǎn)，并表明可見性,分析：因交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)，所以它的投影應(yīng)在直線和平面的共有處。即在平面有積聚性的投影與直線同面投影的交點(diǎn)處。 交點(diǎn)是可見與不可見的分界點(diǎn)。其可見性可根據(jù)前遮后檢定。檢定后，將可見部分畫成粗實(shí)線、不可見部分畫中虛線。,(1)直線與平面相交,例題2.29如圖2.63a所示，作直線AB與鉛垂的矩形平面DEFG的交點(diǎn)，并表明可見性。,(a)已知條件,(b)作圖過程和作圖結(jié)果,解,作AB與矩形DEFG的交點(diǎn)K。,判別并表明可見性。因kb在gf之前，故kb可見，畫粗實(shí)線;則k之左被矩形擋住部分不可見，畫中虛線。,2019/10/17,8,例題2.30如圖2.64a所示，作直線AB與側(cè)垂面P的交點(diǎn)，并表明可見性。,解,圖2.64 作AB與側(cè)垂面P的交點(diǎn)，并表明可見性,(a)已知條件,(b)作圖過程和作圖結(jié)果,作AB與側(cè)垂面P的交點(diǎn) K。,判別并表明可見性。從側(cè)面投影知：直線AB在交點(diǎn)K之上的一段位于平面P之前，在交點(diǎn)K之下的一段位于平面P之后，于是就可檢定ab在k之上的一段為可見，在k之下的一段為不可見。將ab以k為分界點(diǎn)， k a畫粗實(shí)線、 k b畫中虛線。,2019/10/17,9,例題2.31如圖2.65a所示，作正垂線EF與平行四邊形平面ABCD的交點(diǎn)，并表明可見性。,解,圖2.65 作正垂線EF與ABCD的交點(diǎn)，并表明可見性,(a)已知條件,(b)作圖過程和作圖結(jié)果,作AB與側(cè)垂面P的交點(diǎn) K。,判別并表明可見性。利用EF與CD的對H面的重影點(diǎn)檢定：在ef與cd交點(diǎn)處注出 1(2)；1在cd上，2在ef上；由于CD高于EF，所以1可見 (2)不可見，表明k(2)段不可見。,2019/10/17,10,(2)兩平面相交,圖2.66 兩個(gè)平面多邊形全交和互交,(a) 全交,(b) 互交,兩平面的交線是一條直線，當(dāng)兩平面中至少有一個(gè)平面為特殊位置時(shí)，就可利用積聚性來求作交線。求作兩平面的交線，常常用這樣的作圖方法：先作出平面上的一條直線對另一平面的交點(diǎn)，同樣也再作出第二個(gè)交點(diǎn)，然后連成交線。,2019/10/17,11,例題2.32如圖2.67a所示，作三角形ABC與鉛垂的矩形DEFG的交線，并表明可見性。,圖2.67 作三角形與鉛垂矩形的交線，并表明可見性,(a)已知條件,(b)作圖過程和作圖結(jié)果,解,作三角形與鉛垂矩形的交線KL。,判斷并表明可見性：在KL之右，三角形在矩形之前，三角形的正面投影可見，矩形的正面投影不可見；在交線KL之左則相反。,2019/10/17,12,例題2.33如圖2.68a所示，作三角形ABC與鉛垂的矩形DEFG的交線，并表明可見性。,圖2.68 作三角形與鉛垂矩形的交線，并表明可見性,(a)已知條件,(b)作圖過程和作圖結(jié)果,解,作三角形與鉛垂矩形的交線KL。,判斷并表明可見性：在交線之右，三角形在前，矩形在后，正面投影重合處應(yīng)是三角形可見，矩形不可見；在交線之左則相反。,2019/10/17,13,例題2.34如圖2.69a所示，分別作出三角形ABC、 水平面Q與正垂面P的交線， 并表明可見性。,圖2.69 作三角形、水平面與正垂面的交線，并表明可見性,(a) 已知條件,(b) 作圖過程和作圖結(jié)果,解,作三角形ABC與正垂面P的交線DE 。,判斷并表明可見性：在交線DE的右側(cè)，三角形在平面P之上，三角形的水平投影可見；而在交線DE的左側(cè)則相反。,因?yàn)槠矫鍼和Q都垂直于正面，所以它們的跡線的交點(diǎn)即為交線FG的正面投影fg，水平投影為fg。,2019/10/17,14,例題2.35如圖2.70a所示，作平行于側(cè)面的三角形ABC和垂直于正面的三角形DEF的交線，并表明可見性。,圖2.70 作側(cè)平面三角形ABC和正垂面三角形DEF的交線，并表明可見性,(a)已知條件,(b)作圖過程和作圖結(jié)果,解,作側(cè)平面ABC和正垂面DEF的交線KL。,判斷并表明可見性：在交線KL之上，三角形ABC位于三角形DEF之左，三角形ABC的側(cè)面投影可見，三角形DEF的側(cè)面投影不可見；在交線KL之下則相反。,2019/10/17,15,2.兩相交元素的投影都無積聚性時(shí)相交,圖2.71 作一般位置直線和一般位置平面的交點(diǎn)，并表明可見性,(b)用過直線的特殊位置的輔助平面求交點(diǎn)的作法概念,(a)已知條件,(1)直線與平面相交,當(dāng)直線和平面的投影都沒有積聚性時(shí)，可以采用輔助平面法求作交點(diǎn)，也就是采用通過直線加設(shè)特殊位置的輔助平面的作圖方法求作交點(diǎn)；直線與平面的同面投影相重合處的可見性，可依靠兩交叉直線重影點(diǎn)的可見性檢定。,2019/10/17,16,圖2.71 作一般位置直線和一般位置平面的交點(diǎn)，并表明可見性,(d)用正垂面解題,(c)用鉛垂面解題,(1)直線與平面相交,當(dāng)直線和平面的投影都無積聚性時(shí)求作交點(diǎn)的作圖步驟： 通過直線作垂直于投影面的輔助平面。 作平面與輔助平面的交線。 直線與上述交線的交點(diǎn)，就是所求作的直線和平面的交點(diǎn)。,2019/10/17,17,圖2.72 作兩個(gè)一般位置的平面的交線，并表明可見性,(a)已知條件,(2)兩平面相交,當(dāng)兩平面的投影都沒有積聚性時(shí)，常常采用輔助平面法求交線，輔助平面通常采用兩種形式：一是過一個(gè)平面上的一條直線作垂直于投影面的輔助平面，利用它作出這條直線與另一個(gè)平面的交點(diǎn)，同樣地再作出這樣的另一個(gè)交點(diǎn)，即為兩個(gè)平面的兩個(gè)共有點(diǎn)，便可連成它們的交線，如圖2.72所示；二是先作一個(gè)特殊位置平面作為輔助平面，分別作出輔助平面與這兩個(gè)平面的交線，這兩條交線的交點(diǎn)，即為輔助平面和這兩個(gè)平面的三面共有點(diǎn)，也就是這兩個(gè)平面的共有點(diǎn)，同樣地再作出另一個(gè)共有點(diǎn)，將這兩個(gè)共有點(diǎn)連成這兩個(gè)平面的交線，如圖2.73所示。,2019/10/17,18,(b)作圖過程和作圖結(jié)果,(2)兩平面相交：示例一,作圖步驟：,圖2.72 作兩個(gè)一般位置的平面的交線，并表明可見性,作出平行四邊形DEFG的DE邊與三角形ABC的交點(diǎn)。,作出平行四邊形的FG邊與三角形ABC的交點(diǎn)。,連3與4、3與4，即得所求的交線的兩面投影34、34。,判別可見性：,根據(jù)水平投影的重點(diǎn)l(t)可知，L在T之上，故l可見t不可見，即CB在四邊形之上，推知交線34之后三角形可見。另側(cè)相反。,根據(jù)正面投影的重點(diǎn)u (v )可知，U在V之前，故u 可見v 不可見，即AC在四邊形之后，推知交線34之上四邊形可見。另側(cè)相反。,2019/10/17,19,(a)已知條件,(2)兩平面相交：示例二,求作由相交兩直線AB、BC和平行兩直線DE、FG所確定的兩一般位置平面的交線。,圖2.73 作兩一般位置平面ABC和DEFG的交線,(b)解題分析,2019/10/17,20,(2)兩平面相交：示例二,作圖步驟：,圖2.73 作兩一般位置平面ABC和DEFG的交線,(c)作圖過程和作圖結(jié)果,在正面投影中作PVOX；得交線上的一個(gè)點(diǎn)的兩面投影9、9。,在正面投影中作QVOX；得交線上的另一個(gè)點(diǎn)的兩面投影10、10。,連9與10、9與10，并將9、10、910分別向兩端延長，即為所求交線KL的兩面投影。因?yàn)閮蓚€(gè)平面沒有邊界范圍，所以不必表明可見性。,2019/10/17,21,2.4.3 直線與平面以及兩平面垂直,1.直線與平面以及兩平面垂直的幾何條件與投影特性,圖2.74 直線與一般位置平面相垂直的投影特性,直線與平面相垂直的幾何條件：該直線垂直于這個(gè)平面上的任意兩條相交直線；,直線與一般位置平面相垂直的投影特性：直線的水平投影與平面上水平線的水平投影相垂直；直線的正面投影與平面上正平線的正面投影相垂直；直線的側(cè)面投影與平面上側(cè)平線的側(cè)面投影相垂直。,2019/10/17,22,1.直線與平面以及兩平面垂直的幾何條件與投影特性,兩平面互相垂直的幾何條件：一個(gè)平面上有一條直線垂直于另一平面。,兩平面互相垂直的投影特性,兩平面互相垂直的投影特性：包含一條平面的垂直線所作的平面，與該平面垂直。,2019/10/17,23,例題2.36如圖a所示，過點(diǎn)A作一平面垂直于一般位置直線BC。,解,圖2.75 過A作平面垂直于BC,(a)已知條件,(b)作圖過程和作圖結(jié)果,過a作OX軸的平行線ad，過a作ad垂直于bc，便作出了與BC相垂直的水平線AD。,過a作OX軸的平行線ae，過a作ae垂直于bc，便作出了與BC相垂直的正平線AE。,相交兩直線AD、AE所確定的平面ADE即為所求。,2019/10/17,24,例題2.37如圖a所示，過點(diǎn)A作一平面，平行于直線BC，垂直于三角形DEF。,圖2.76 過點(diǎn)A作平面平行于BC，垂直于三角形DEF,(a)已知條件,解,(b)作圖過程和作圖結(jié)果,分析：按直線與平面平行和兩平面垂直的幾何條件，只要所作的平面既包含過點(diǎn)A的BC的平行線，又包含過點(diǎn)A的三角形DEF的垂線，就能滿足題目的要求。,過點(diǎn)A作AGBC：作agbc，agbc，就作出了AG的兩面投影。,過點(diǎn)A作AHDEF：作DEF平面上的一條水平線D和一條正平線D。過a作ahd1，過a作ahd2，便作出了AH的兩面投影。,兩相交直線AG和AH所確定的平面AGH即為所求。,2019/10/17,25,例題2.38如圖a所示，檢驗(yàn)兩三角形ABC與DEF是否垂直。,圖2.77 檢驗(yàn)兩三角形ABC和DEF是否垂直,(a)已知條件,(b)檢驗(yàn)的作圖過程和作圖結(jié)果,解,分別在三角形DEF平面上作水平線D和正平線D。,過b作bg垂直于d2，與ac交得g；由g引投影連線，與ac交得g，連b與g。檢驗(yàn)bg是否與d1垂直：如bg與d1垂直，則在三角形ABC上能作出一條直線BG與三角形DEF相垂直，兩三角形互相垂直；否則，兩三角形不垂直。,結(jié)論：bg垂直于d1，所以檢定了三角形ABC與DEF是互相垂直的。,2019/10/17,26,2.兩元素中至少有一個(gè)處于特殊位置時(shí)，直線與平面以及兩平面垂直,圖2.78 特殊位置的直線與平面互相垂直,(1)特殊位置的直線與平面互相垂直,a)同一投影面的平行線與垂直面相垂直；,(b)同一投影面的垂直線與平行面相垂直,2019/10/17,27,例題2.39如圖a所示，過點(diǎn)A作正垂面三角形CDE的垂線AB和垂足B，并確定點(diǎn)A與三角形CDE平面的真實(shí)距離。,圖2.79 過A作三角形CDE的垂線和垂足，并求A與CDE平面的距離,(a)已知條件,(b)作圖過程和作圖結(jié)果,解,2019/10/17,28,(2)兩平面中至少有一個(gè)平面處于特殊位置時(shí)互相垂直,兩平面中至少有一個(gè)平面處于特殊位置時(shí)互相垂直,（a)平面與投影面垂直面相垂直,(b)平面與投影面平行面相垂直,與某一投影面的垂直面相垂直的平面，一定包含該投影面垂直面的垂線，可以是一般位置平面，也可以是這個(gè)投影面的垂直面或平行面。,與某一投影面的平行面相垂直的平面，一定包含這個(gè)投影面的垂直線，一定是這個(gè)投影面的垂直面，也可以是其它兩個(gè)投影面的平行面。,2019/10/17,29,(2)兩平面中至少有一個(gè)平面處于特殊位置時(shí)互相垂直,圖2.80 垂直于同一投影面的兩平面相垂直的投影特性,兩個(gè)垂直于同一投影面的平面互相垂直，它們的有積聚性的同面投影也互相垂直。,2019/10/17,30,例題2.40如圖2.81a所示，過直線AB作一般位置平面垂直于正垂面P，過點(diǎn)C作垂直于正垂面P的正垂面Q和正平面R。,兩平面中至少有一個(gè)平面處于特殊位置時(shí)互相垂直,（a)已知條件,(b)作圖過程和作圖結(jié)果,過一已知直線可以作一個(gè)已知平面的垂直面，而且只能作一個(gè)垂直面，這個(gè)平面應(yīng)包含這條已知直線和一條垂直于已知平面的直線。,解,過一點(diǎn)可以作一個(gè)已知平面的無數(shù)個(gè)垂直面。因此，過點(diǎn)C可以作無數(shù)個(gè)平面垂直于正垂面P。而現(xiàn)在加了是正垂面和正平面的條件限制，則只能分別作出一個(gè)平面。,2019/10/17,31,空間幾何問題，主要是指點(diǎn)、直線、平面等幾何元素以及它們之間的相對位置關(guān)系的度量和定位問題。求解作圖時(shí)，應(yīng)注意： (1)要理解題意，想象清楚已知和求作的幾何元素之間的空間關(guān)系。 (2)根據(jù)點(diǎn)、直線、平面及其相對位置的投影特性和幾何條件，用推理或軌跡等方法分析和思考出解題的步驟。對于綜合程度較高和比較復(fù)雜的問題可一邊想，一邊逐步用徒手畫出它們的立體示意圖幫助分析和思考。有時(shí)還要考慮多解的可能性。 (3)運(yùn)用幾何原理和投影特性，按解題步驟在投影圖中逐步準(zhǔn)確作圖，得出求解結(jié)果。,2.4.4 點(diǎn)、直線、平面的綜合作圖題示例,2019/10/17,32,例題2.41如圖2.82a所示，過點(diǎn)A作一般位置的三角形BCD的垂線AK和垂足K，并作出點(diǎn)A與三角形BCD之間的真實(shí)距離。,解,圖2.82 過A作三角形BCD的垂線AK，并求真實(shí)距離,(a)已知條件,(b)作圖過程和作圖結(jié)果,在三角形BCD平面上作水平線D和正平線D；,過A作三角形BCD的垂線AE；,作AE與三角形BCD的交點(diǎn)，即為垂足K；,作線段AK的真長。,(完成作圖),2019/10/17,33,例題2.42如圖2.83a所示，過點(diǎn)A作一般位置直線BC的垂線AK和垂足K，并作出點(diǎn)A與直線BC之間的真實(shí)距離。,解,圖2.83 過A作直線BC的垂線AK，并求真實(shí)距離,(b)解題分析的示意圖,(a)已知條件,(c)作圖過程和結(jié)果,過A作垂直于BC的平面,作BC與平面的交點(diǎn)K,連A、K成所求垂線AK,作AK的真長,(完成作圖),2019/10/17,34,例題2.43如圖2.84a所示，求作直線AB與一般位置的三角形CDE平面的夾角。,解,圖2.84 作直線AB與一般位置的三角形CDE的夾角,(b)解題分析的示意圖,(a)已知條件,(c)作圖過程和結(jié)果,過直線AB的任一端點(diǎn)，作CDE平面的垂線,(完成作圖),2019/10/17,35,例題2.44如圖2.85a所示，求作兩一般位置的三角形平面EFG和IJK之間的夾角。,解,圖2.85 作兩一般位置的三角形EFG和IJK之間的夾角,(b)解題分析的示意圖,(a)已知條件,(c)作圖過程和結(jié)果,在空間任取一點(diǎn)A，由