微分方程及其應(yīng)用的基礎(chǔ)知識.ppt

微分方程及其應(yīng)用,6.1 常微分方程的基本概念與分離變量法,6.2 一階線性微分方程,6.3 二階常系數(shù)線性微分方程,6.4 常微分在經(jīng)濟中應(yīng)用,6.1 常微分方程的基本概念與分離變量法,6.1.1 微分方程的基本概念 1. 微分方程 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程稱為微分方程。 注：在微分方程中，如果未知函數(shù)是一元函數(shù)，則方程稱為常 微分方程，簡稱微分方程。 2. 微分方程的階 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)稱為微分方程的階.,一般地，n 階微分方程的一般形式為：,3. 微分方程的解、通解 （1）若某函數(shù)代入微分方程后，能使該方程兩端恒等，則這個函 數(shù)為該微分方程的解。 如 y = x2 + 2是方程（1）的解, 顯然 y = x2 + C 也是方程（1）的解. （2）如果微分方程的解中所含獨立常數(shù)的個數(shù)等于微分方程的階 數(shù)，這樣的解稱為微分方程的通解. 如 y = x2 + C 是方程（1）的通解.,4微分方程的初始條件和特解 （1）確定通解中任意常數(shù)值的附加條件叫做初始條件；,一般地 一階微分方程的初始條件為： 二階微分方程的初始條件為：,（2）由初始條件確定了通解中任意常數(shù)后所得到的解，稱為微 分方程的特解。 如 y = x2 + 2是方程（1）的特解.,中含有一個任意常數(shù)C，而所給方程又是一階微分方程，,是所給方程的通解.,中含有兩個任意常數(shù)，而所給方程又是二階的，,6.1.2 分離變量法 1定義 形如,的方程稱為可分離變量的方程.,特點 - 等式右端可以分解成兩個函數(shù)之積，其中一個只是x 的函數(shù)，另一個只是y的函數(shù),2解法 設(shè),當g(y)0時，兩端積分得通解,注 (1)當g(y)=0時，設(shè)其根為y =，則y =也是原方程的解；,解 分離變量，得 ydy = -xdx ,說明：在解微分方程時，如果得到一個含對數(shù)的等式，為了 利用對數(shù)的性質(zhì)將結(jié)果進一步化簡，可將任意常數(shù)寫成klnC的形 式，k的值可根據(jù)實際情況來確定，如例2中取k=1/2.,例5 設(shè)降落傘從跳傘臺下落，所受空氣阻力與速度成正比，降落傘 離開塔頂(t = 0)時的速度為零。求降落傘下落速度與時間的函 數(shù)關(guān)系. 解 設(shè) 降落傘下落速度為v(t)時傘所受空氣阻力為-k （負號表示阻力與運動方向相反（k為常數(shù)） 傘在下降過程中還受重力P = mg作用，,由牛頓第二定律得,于是所給問題歸結(jié)為求解初值問題,由此可見，隨著t的增大，速度趨于常數(shù)mg/k，但不會超過 mg/k，這說明跳傘后，開始階段是加速運動，以后逐漸趨于勻 速運動.,6.2 一階線性微分方程,6.2.1 一階線性微分方程 1定義： 形如,的方程，稱為一階線性微分方程，其中P(x)、Q(x)是已知的連 續(xù)函數(shù), Q(x)稱為自由項 特點： 方程中的未知函數(shù)y及導(dǎo)數(shù),都是一次的,2分類 若 Q(x)= 0, 即,稱為一階線性齊次微分方程 若Q(x)0, 則方程(1)稱為一階線性非齊次微分方程,3一階線性齊次方程的解法,類型： 可分離變量的微分方程,其中 C 為任意常數(shù).,4一階線性非齊次方程的解法 用常數(shù)變易法,在方程（1）所對應(yīng)的齊次方程的通解的基礎(chǔ)上進行變易, 假設(shè)方程（1）有如下形式的解：,其中 C（x）為待定函數(shù),于是方程(1)的通解為：,（4）式稱為一階線性非齊次方程（1）的通解公式 上述求解方法稱為常數(shù)變易法,用常數(shù)變易法求一階線性非齊次方程的通解的一般步驟為： (1)先求出非齊次線性方程所對應(yīng)的齊次方程的通解； (2)根據(jù)所求出的齊次方程的通解設(shè)出非齊次線性方程的解將所求 出的齊次方程的通解中的任意常數(shù)C改為待定函數(shù)C(x)即可； (3)將所設(shè)解帶入非齊次線性方程，解出C(x)，并寫出非齊次線性 方程的通解,式對應(yīng)的齊次方程為,將方程分離變量得,兩邊積分得,即,所以齊次方程的通解為：,將上述通解中的任意常數(shù)C換成待定函數(shù)C(x)，將其待入方程得,將C(x)代入式 得原方程的通解：,例3 在串聯(lián)電路中，設(shè)有電阻R，電感L和交流電動勢E = E0sint， 在時刻t = 0時接通電路，求電流i與時間t的關(guān)系（E0,為常 數(shù)）,解 設(shè)任一時刻t的電流為i 我們知道，電流在電阻R上產(chǎn)生一個電壓降uR = Ri，,由回路電壓定律知道，閉合電路中電動勢等于電壓降之和，即,在電感L上產(chǎn)生的電壓降是,式為一階非齊次線性方程的標準形式，其中,利用一階非齊次線性方程之求解公式得通解：,6.2.2 可降階的高階微分方程,特點：方程y(n) = f(x)的右端僅含有自變量 解法：將兩端分別積分一次，得到一個n-1階微分方程;再積分 一次，得到n-2階微分方程，連續(xù)積分n次，便可得到該 方程的通解,解 將所給方程連續(xù)積分三次，得,特點：方程右端不含未知函數(shù)y 解法：令y = t，則y= t，于是原方程可化為以 t 為未知函 數(shù)的一階微分方程 t= f(x ,t),解 令y= t，則y= t，,代入原方程得,分離變量得,兩邊積分得,即,再積分得,例6 如圖，位于坐標原點的我艦向位于x軸上B(1,0)點處的敵艦發(fā) 射制導(dǎo)魚雷，魚雷始終對準敵艦設(shè)敵艦以常速v0沿平行于 y 軸的直線行駛，又設(shè)魚雷的速率為2v0，求魚雷的航行曲線方程,解 設(shè)魚雷的航行曲線方程為 y = y(x)， 在時刻，魚雷的坐標為P(x,y)，敵艦 的坐標為Q(1, v0t) 因為魚雷始終對準敵艦，所以,令y= p，方程可化為,這是不顯含y的可降階微分方程,根據(jù)題意，初始條件為,分離變量可解得,從上面兩式消去v0t得：,兩邊關(guān)于x求導(dǎo)得:,即,即,所以,而,所以,積分得,以 y(0)= 0代入，得,所以魚雷的航行曲線方程為：,特點： 方程右端不含變量x,從而將原方程化為一階微分方程：,代入原方程得,當y0，P0時，分離變量得：,兩端積分得：,當P 0時，則y = C（C為任意常數(shù)），,顯然，它已含在解,所以原方程的通解為：,6.3 二階常系數(shù)線性微分方程,定義 形如,的方程，稱為二階常系數(shù)線性微分方程其中p,q為常數(shù) .,注 當f(x)0時，方程(1)稱為二階常系數(shù)非齊次線性微分方程； 當f(x)=0時，即,方程(2)稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程,6.3.1 二階常系數(shù)線性微分方程解的性質(zhì) 1齊次線性方程解的結(jié)構(gòu),定義：設(shè)y1 = y1(x)與y2 = y2(x)是定義在區(qū)間(a,b)內(nèi)的函數(shù)，如果 存在兩個不全為零的常數(shù) k1 , k2，使得對于 (a,b) 內(nèi)的任一x恒有,k1 y1 + k2 y2 = 0成立，則稱y1與y2在 (a,b)內(nèi)線性相關(guān)， 否則稱為線性無關(guān),由定義知： y1與y2線性相關(guān)的充分必要條件是,不恒為常數(shù)，則y1與y2線性無關(guān),定理1 （齊次線性方程解的疊加原理）,若y1與y2是齊次線性方程(2)的兩個解，則y = C1 y1+C2 y2也是 (2)的解，且當與線性無關(guān)時，y = C1 y1+C2 y2就是式(2)的通解 證 將y = C1 y1+ C2 y2 直接代入方程(2)的左端，得,所以 y = C1 y1+C2 y2是方程(2)的解, 又 y1 與 y2線性無關(guān)， C1和C2是兩個獨立的任意常數(shù), 即 y = C1 y1+C2 y2中所含獨立的任意常數(shù)的個數(shù)與方程(2)的階數(shù) 相同 , 所以 它又是方程(2)的通解.,2非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu) 定理2 （非齊次線性方程解的結(jié)構(gòu)）,若yp為非齊次線性方程(1)的某個特解，yc為方程(1)所對應(yīng) 的齊次線性方程(2)的通解，則 y = yp+ yc為非齊次線性方程 (1) 之通解 證 將y = yp+ yc代入方程(1)的左端有,所以 yp+ yc 確為方程(1)的解 又 yc 中含有兩個獨立的任意常數(shù)， 所以 y = yp+ yc 中也含有兩獨立的任意常數(shù)， 故 y = yp+ yc 為方程(1)的通解,定理3 若y1為方程,y2為方程,則 y = y1 + y2 為方程,的解.,證： 將y = y1 + y2代入方程 (3)左端得,6.3.2 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解方法,其中 p, q 為常數(shù).,令方程(2)的解為,（r為待定常數(shù)）,代入方程(2)得,(4),由此可見，只要r滿足方程(4)，函數(shù),就是方程(2)的解,定義 稱方程(4)為微分方程(2)的特征方程，方程(4)的兩個根 r1 , r2 稱為特征根,由于特征方程(4)的兩個根,只能有三種,不同情形，相應(yīng)地，齊次方程(2)的通解也有三種不同的形式,當= p2 - 4q 0時，特征方程(4)有兩個不相等的實根r1 r2 ,由上面的討論知道,是方程(1)的兩個解,又y1與y2線性無關(guān)，因此方程(2)的通解為 :, 當= p2 - 4q = 0時，特征方程(4)有兩個相等實根 r = r1 = r2 ,我們只能得到方程(1)的一個解,對y2求導(dǎo)得,代入方程(2)，得,又 r是特征方程的二重根，,因為u(x)不是常數(shù)，不妨取u(x)= x，,這樣得到方程（2）的,另一個解,從而方程（2）的通解為, 如果= p2 - 4q 0，即特征方程(4)有一對共軛復(fù)根,為了求出方程(2)的兩個實數(shù)形式的解，利用歐拉公式,將y1與y2分別改寫為,由定理1知，,仍是方程(2)的解，這時,不是常數(shù)，,即,綜上，求二階常系數(shù)齊次線性微分方程通解的步驟如下：,第一步 寫出方程的特征方程,第二步 求出特征方程的兩個根r1及r2 ;,第三步 根據(jù)特征根的不同情況，寫出微分方程的通解 具體如下：,特征方程的根,解 特征方程為,特征根,因此，方程的通解為,解 特征方程為,特征根,因此，方程的通解為,解 特征方程為,特征根為,于是方程的通解為,解 特征方程為,特征根,因此方程的通解為,故所求特解為,三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的求解方法,其中p,q為常數(shù)，f(x)0,它對應(yīng)的齊次方程為：,其中 為常數(shù)，Pm(x)為x的m次多項式，即,設(shè)想方程(5)有形如,其中Q(x)是一 個待定多項式,代入方程(5)，整理后得到：,(6), 當2+p+q 0時，設(shè),(7),其中b0,b1,bm 為m+1個待定系數(shù),將式(7)代入式(6)，比較等式兩邊同次冪的系數(shù)，得到以 b0,b1,bm為未知數(shù)的m+1個線性方程的聯(lián)立方程組，從而求出 b0,b1,bm，即確定Q(x)，于是可得方程(5)的一個特解為, 當2+p+q=0且2+ p 0 時，(即為特征方程的單根),那么式(6)成為,由此可見，Q與Pm(x)同次冪，故應(yīng)設(shè),其中Q m(x)為m次待定多項式,將Q m(x)代入式(6) 確定Q m(x)的m+1個系數(shù)，從而得到方程 (5)的一個特解：, 當 2+p+q = 0 且2+ p =0 時，(即為特征方程的重根),那么式(6)成為,故應(yīng)設(shè),將它代入式(6)， 確定Q m(x)的系數(shù),所以方程(5)的一個特解為,綜上所述，我們有如下結(jié)論： 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程,(5),具有形如,的特解，其中Q m(x)為m 次多項式，k的確定如下：,根據(jù)歐拉公式及前面分析的結(jié)果可以推出下面的結(jié)論（討論過程 從略）：,其中 Q m(x)與R m(x) 均為m次多項式(m = maxl，n)，其系數(shù) 待定，而,解 原方程對應(yīng)的齊次方程的特征方程為,