理論力學10彎曲的應力分析和強度計算.pptVIP

第十章 彎曲的應力分析和強度計算,彎曲的應力分析和強度計算,10-1 彎曲內(nèi)力剪力和彎矩,一、概述,2,彎曲的應力分析和強度計算,車削工件,3,彎曲的應力分析和強度計算,火車輪軸,4,彎曲的應力分析和強度計算,吊車梁,直桿在與其軸線垂直的外力作用下，軸線成曲線形狀的變形 稱為彎曲。以彎曲變形為主的桿件稱為梁。,5,彎曲的應力分析和強度計算,平面彎曲,MZ,截面特征：桿具有縱向對稱面，橫截面有對稱軸（y軸） 受力特點：外力都作用在對稱面內(nèi)，力垂直于桿軸線 變形特點：彎曲變形后軸線變成對稱面內(nèi)的平面曲線,6,彎曲的應力分析和強度計算,梁的基本形式,F,q( x),Mx,簡支梁,F,q( x),Mx,外伸梁,F,q( x),Mx,懸臂梁,7,彎曲的應力分析和強度計算,火車輪軸簡化為外伸梁,8,彎曲的應力分析和強度計算,二、剪力與彎矩,截面法求內(nèi)力,F,y,=0,c,RA P Q = 01,M,= 0 M + P ( x a ) RA x = 01,Q = RA P1,剪力,M = RA x P ( x a ) 彎矩1,9,彎曲的應力分析和強度計算,剪力符號規(guī)定：當剪力使微段梁繞微段內(nèi)任一點沿順時針 轉動時為正，反之為負。,彎矩符號規(guī)定：彎矩使微段梁凹向上為正，反之為負。,10,彎曲的應力分析和強度計算,思考：,梁的內(nèi)力符號是否和坐標系有關？,答：無關。,如圖所示連續(xù)梁，和部分的內(nèi)力情況如何？,A,0,0,E,B,C,F,P D ,X C = P cos ,答：軸力不為零，剪力和彎矩為零。,11,例,1,如圖所示為受集中力及均布載荷作用的外伸梁，試求-， -截面上的剪力和彎矩。,解,1、支座約束力,M,M,B,=0,+RA 4 P 2 q 2 1 = 0,A,=0,P 2 RB 4 + q 2 5 = 0,RA = 1.5kN , RB = 7.5kN,12,例,1,2、計算內(nèi)力,F = 0 MC = 0,y,1,RA Q1 = 0,RA 1 M 1 = 0,M 1 = 1.5kN m,Q1 = 1.5kN,F,x,=0,C2,Q2 q 1 = 0,M,= 0 M 2 + q 1 0.5 = 0,Q2 = 2kN,M 2 = 1kN m,13,彎曲的應力分析和強度計算,三、剪力與彎矩方程 剪力圖和彎矩圖,設x表示橫截面的位置，則梁各截面上的剪力和彎矩可 以表示為坐標x的函數(shù),Q = Q(x),-剪力方程,M = M (x),-彎矩方程,梁的剪力和彎矩隨截面位置的變化關系，常用圖形來 表示，這種圖形稱為剪力圖和彎矩圖。,14,例,2,如圖所示為一受集中力作用的簡支梁。設P、l及a均為 已知，試列出剪力方程和彎矩方程，并畫出剪力圖和彎矩圖。,解 1、求支座約束力,la RA = P l,a RB = P l,2、列剪力方程和彎矩方程,AC段,la Q ( x1 ) = RA = P l,(0 x1 a ),M ( x1 ),la M ( x1 ) = RA x1 =Px1 (0 x1 a ) l,Q( x1 ),15,例,BC段,2,a Q ( x2 ) = RB = P l,(a x2 l ),Q ( x2 ),RB,a M ( x2 ) = RB (l x2 ) = P (l x2 ) l,(a x2 l ),3、畫剪力圖和彎矩圖,la P l,M ( x2 ),a (l a ) P l,a P l,16,例,3,m懸臂梁受集中力和集中力偶作用，已知：P，l， = 3Pl 2 試繪剪力圖和彎矩圖。,解 1、求支座約束力, Fy = 0,RA P = 0,3Pl Pl mA = 0 MA = 0 2 Pl RA = P m A = 2,2、確定剪力、彎矩方程,AC段,l (0 x1 ) Q( x1 ) = RA = P 2 l Pl (0 x1 )M ( x1 ) = RA x1 + mA = Px 1 + 22,17,例,CB段,3,Q( x2 ) = P,l ( x2 l ) 2,M ( x2 ) = P (l x2 ),l ( x2 l ) 2,3、畫剪力圖和彎矩圖,18,例,4,如圖所示簡支梁，已知q，l。試畫出剪力圖和彎矩圖。,解 1、求支座約束力,ql RA = RB = 2,2、確定剪力方程和彎矩方程,ql Q ( x) = qx 2,(0 x 1) l,2,qlqx M ( x) = x 22,(0 x l ),19,3、畫剪力圖和彎矩圖,彎曲的應力分析和強度計算,四、外力與剪力及彎矩間的關系,1、載荷集度、剪力及彎矩間的微分關系,設載荷集度是x的連續(xù)函數(shù),q = q (x),規(guī)定：向上為正,F,y,=0,Q ( x ) Q ( x ) + dQ ( x ) + q ( x ) dx = 0,dQ ( x ) = q( x) dx,20,彎曲的應力分析和強度計算,dx M c = 0 M ( x) + dM ( x) M ( x) Q ( x)dx q ( x)dx = 0 2,dM ( x) = Q( x) dx,2,d M ( x) = q( x) 2 dx,2、集中力、集中力偶作用處的剪力及彎矩,F,y,=0,Q = P,集中力（包括支座約束力）作用處的兩側 截面上的剪力數(shù)值發(fā)生突變，且突變值等 于集中力的值,21,彎曲的應力分析和強度計算,工程實際中，所謂的集中力不可能集中于一點，而是 分布在很小的范圍內(nèi), MC = 0,M = M,M,在集中力偶作用的兩個側面上，彎矩 數(shù)值發(fā)生突變，且突變值的大小等于集中 力偶的值。,22,彎曲的應力分析和強度計算,3、載荷集度、剪力圖及彎矩圖圖形上的關系,q，Q，M圖的線型依次遞高一次，若q為水平線，則Q圖 將為斜線，而M圖則為二次曲線；若q等于零，則Q圖將 為水平線，而M圖則為斜線。 M圖的凹向同q指向，當q指向上方時，q值為正，M對x的 二階導數(shù)大于零，彎矩圖將凹向上，反之M圖將向下凹曲。 當Q等于零時，M取極值。 集中力作用的截面，Q圖有突變，突變值等于集中力的值。 M圖上有折點；集中力偶作用的截面，M圖有突變，突變 值等于集中力偶的值。,23,例,5,2,m 如圖所示外伸梁，已知：q，l， P = ql 3 ， = ql 試畫出剪力圖和彎矩圖。,6 。,解 1、求支座約束力,M,c,=0,2,l 3l qlql l R Al q+=0 2 463 2 2 l l qlql 3l RC l +=0q MA = 0 24 63 2,3 RA = ql 8,11 RC = ql 24,2、分段,分為AB，BC，CD三段,24,例,5,3 RA = ql 8,11 RC = ql 24,3、求端值 利用直接法計算各段 左、右兩端截面上的 剪力和彎矩,25,例,5,4、畫剪力圖和彎矩圖,26,彎曲的應力分析和強度計算,五、用疊加法作剪力圖和彎矩圖,P = ql,當梁上有多個外力作用時 各外力引起的內(nèi)力互不相 關，因此可以分別計算各 外力所引起的內(nèi)力，然后 進行疊加-疊加法,27,彎曲的應力分析和強度計算,10-2,純彎曲梁橫截面上的正應力分析,梁彎曲時，橫截面上一般有兩種內(nèi)力-剪力和彎矩，這 種彎曲稱為橫力彎曲。,梁彎曲時，橫截面上只有彎矩，而沒有剪力，這種彎曲 稱為純彎曲。,28,彎曲的應力分析和強度計算,一、純彎曲梁的正應力,1、變形方面,實驗觀察： 縱向線在梁變形后變成弧線，靠 頂面的線縮短，靠底面的線伸長。 橫向線在梁變形后仍為直線，但 相對轉過了一個角度，且仍然與彎 曲的縱向線保持正交。,平面假設：純彎曲梁是由無數(shù)條縱 向線所組成，變形前處于同一平面 的各縱向線上的點，彎曲變形后仍 處于同一平面內(nèi)，且縱向線與橫截面在變形中保持正交。,29,彎曲的應力分析和強度計算,根據(jù)平面假設，由實驗觀察到的表面現(xiàn)象已推廣到 梁的內(nèi)部，即梁在純彎曲變形時，橫截面保持平面作剛 性轉動，靠底部的縱向纖維伸長了，靠頂部的縱向纖維 縮短了，由于變形的連續(xù)性，中間必有一層纖維既不伸 長也不縮短，這層纖維稱為中性層。中性層與橫截面的 交線稱為中性軸。,30,彎曲的應力分析和強度計算,a,a,dx dx,線應變隨y按線性規(guī)律變化,l,31,彎曲的應力分析和強度計算,2、物理方程,假設縱向纖維在彎曲變形中相互不擠壓，且材料在 拉伸及壓縮時的彈性模量相等。M,Z,=,y,胡克定律, = E, =E,y,C, min z,y, x max,純彎曲時的正應力按線性規(guī)律變化，橫截面中性軸 的正應力為零，在中性軸兩側，一側受拉應力，一側受 壓應力，與中性軸距離相等各點的正應力數(shù)值相等。,32,彎曲的應力分析和強度計算,3、靜力學條件, =E,y,F,A,x,=0, dA = FN = 0 , A dA = A E,y, A ydA = 0,dA =,E, A ydA = 0,截面對中性軸的靜矩，靜矩為零的軸是形心軸。,中性軸通過截面的形心。,33,彎曲的應力分析和強度計算,M,z,=0,y,M = ydA,A, =E,y,M = A yE,1,dA =,E, A y dA,2,M = EI xz,My = 0, A z dA =,E, A z dA = 0, A zydA = 0,橫截面對y，z的慣性積，由于y軸為對稱軸，故 慣性積為零。 34,彎曲的應力分析和強度計算,M = EI xz,1, =E,y,M = ymax IZ,M =y IZ,-純彎曲梁橫截面正應力計算公式,橫截面上的最大正應力發(fā)生在離中性軸最遠點。, max, max,M = WZ,IZ WZ = ymax,彎曲截面系數(shù),35,彎曲的應力分析和強度計算,二、慣性矩,常見截面的 IZ 和 WZ,64 3 d WZ = 32,圓截面,bh IZ = 12,3,IZ =,d,4,IZ =,D,4,64,(1 ),4,WZ =,空心圓截面,D,3,32,(1 ),4,3,3,bh WZ = 6,矩形截面,2,b0 h0 bh IZ = 1212 3 3 b0 h0 bh WZ = ( ) /(h0 / 2) 1212,36,空心矩形截面,彎曲的應力分析和強度計算,思考：,梁的截面形狀如圖所示，在平面內(nèi)作用有正 彎矩，絕對值最大的正應力位置為哪一點？,z,a,b,y,c,37,彎曲的應力分析和強度計算,有一直徑為的鋼絲，繞在直徑為的圓筒上，鋼絲仍 處于彈性階段。此時鋼絲的彎曲最大正應力為多少？為了減 少彎曲應力，應增大還是減小鋼絲的直徑？,M = EI xz,1,D+d = 2,2 EI z M= D+d, max,d M 2= Iz, max,Ed = D+d,38,例,6,受純彎曲的空心圓截面梁如圖所示。已知：彎矩 M = 1kN m ，外徑 D = 50mm ，內(nèi)徑d = 25mm 。 試求截面上a，b，c和d點的應力，并畫出過a，b兩點 直徑線和過c，d兩點弦線上各點的應力分布情況。,39,例,解,6,M = 1kN m,M =y IZ,D ya = = 25mm 2 d yb = = 12.5mm 2 22 122 1 D d 250 25 2 ) = 21.7 mmyc = ( ) =( 4444,yd = 0,IZ =,64,(D d ) =,4,4,64,(50 25 ) (10 ) = 2.88 10 m,4,4,3 4,7,4,40,例,6,3,M1 10 3ya = 25 10 = 86.8MPaa = 7 IZ 2.88 10,M110 3b =yb = 12.5 10 = 43.4 MPa 7 IZ 2.88 10,3,M1 10 3yc = 21.7 10 = 75.3MPac = 7 IZ 2.88 10,3,M yd = 0d = IZ,a,c,d = 0,b,41,彎曲的應力分析和強度計算,10-3,純彎曲應力公式的應用,橫力彎曲時，由于剪力的影響，彎曲變形后，橫截面 發(fā)生翹曲，不再保持平面，但當剪力為常量時，各截面的 翹曲程度完全相同，因而縱向纖維的伸長和縮短與純彎曲 時沒有差距。,對于剪力為常量的橫力彎曲，純彎曲的正應力計 算公式仍然適用。,對于剪力不為常量的橫力彎曲，當梁的跨度與橫 截面高度的比值較大時，純彎曲的正應力計算公式仍 然適用。,曲率公式也可推廣用于橫力彎曲梁中性層曲率計算。 42,彎曲的應力分析和強度計算,彎曲正應力公式適用范圍,彎曲正應力分布,My = IZ,純彎曲或細長梁的橫力彎曲,橫截面慣性積 Iyz=0,彈性變形階段,43,例,7,T字型截面梁如圖所示，試求梁橫截面上最大正應力。,解,繪制彎矩圖，得 M B = 10kN m M C = 7.5kN m 確定截面的形心,120 10 (125) + 120 10 (60) y= 92.5mm 120 10 + 120 10,44,例,7,3,3,120 1010 120 2 + 120 10 32.5 +Iz = 1212 264 + 120 10 32.5 = 3.99 10 mm,B截面的最大拉應力, Bt =,MB,Iz,ymax,10 10 3= 37.5 10 = 93.9 MPa 63 43.99 10 (10 ),3,C截面的最大拉應力,7.5 10 3 Ct = 92.5 10 = 173.9 MPaymax = 63 43.99 10 (10 ) Iz 45 梁的最大拉應力發(fā)生在C截面的下部邊緣,MC,3,彎曲的應力分析和強度計算,10-4 矩形截面梁彎曲切應力簡介,一、矩形截面梁的彎曲切應力,關于橫截面切應力分布規(guī)律的假設：,側邊上的切應力與側邊相切,切應力沿 z 的方向均勻分布,Q,M,M + dM,dx,Q + dQ,Q,y,y,z,46,彎曲的應力分析和強度計算,M,M + dM,x,y,z,y,Q,dx,Q + dQ,dx,F,x,= 0 FN1 FS FN 2 = 0,M + dM M + dM FN1 = 1dA = y dA = Sz IzIz AA,FN 2,M * = Sz Iz,FN2,FS,Fs = bdx,* z,* z,y,QS = I zb,* z,FN1,dM SQS = dx I z b I z b,-矩形截面梁橫截面 切應力計算公式 47,彎曲的應力分析和強度計算,bh IZ = 12 2 2 b h 2 h S z = A y dA = y y bdy = ( y ) 2 4 2 Q hQh2 =( y ) max = 2I z 4 8I z 3Q max = 1.5 平均 2 bh,2,QS = I zb,* z,3,b,h,y y* a,y,Q,z,a1,A*,沿高度方向拋物分布,y=0時，切應力值最大,梁上下表面處切應力為零,A,48,彎曲的應力分析和強度計算,二、其他截面梁的彎曲切應力,翼緣,Q,工字形,腹板上,工程上,QS = Izd, z,H,h, d,y,t,z,腹板,Q = hd,QS = I zt, z,A*,B y,49,翼緣上,假設切應力沿翼緣厚度方向大小相等，且與翼緣相平行,彎曲的應力分析和強度計算,圓截面,假設： 弦線兩端點處與圓周相切的切應力作用線交于y軸 的p點，設弦線上其他點的切應力作用線均通過p點 各點沿y方向的切應力分量相等,QS y = I zb, z,弦線長, max,4 Q = 2 3R,50,彎曲的應力分析和強度計算,圓環(huán)截面,假設： 沿圓環(huán)厚度方向切應力均勻分布 并與圓環(huán)切線平行。,Q, m ax,z,QS = 2tI z, z,y, max,Q = Rt,51,彎曲的應力分析和強度計算,思考：,用矩形截面梁的切應力公式 = QS / I z b計算圖示截面 * 上各點的切應力時，式中的 S z 是哪個面積對中性軸 的靜矩？,* z,A,B,52,彎曲的應力分析和強度計算,矩形截面梁若最大彎矩和最大剪力和截面寬度不變， 而將高度增加一倍，最大正應力為原來的多少倍？最大切 應力呢？, max,M3Q max = 1.5 平均 WZ2 bh,bh WZ = 6,2,答：最大正應力為原來的四分之一，最大切應力是原來的 二分之一。,53,彎曲的應力分析和強度計算,彎曲強度計算,一般情況下，梁的橫截面上同時存在正應力和切應力。 最大正應力發(fā)生在離中性軸最遠的各點上，最大切應力發(fā)生 中性軸上。因此通常對彎曲正應力及彎曲切應力分別建立強 度條件。,一般來說，處于橫截面邊緣線上正應力最大的點處， 切應力為零。所以梁彎曲時最大正應力的點可看成處于 單向應力狀態(tài)。,梁彎曲時正應力強度條件, max,M = ( ) max Wz,54,彎曲的應力分析和強度計算,對于等截面梁，最大彎曲正應力發(fā)生在最大彎矩所在的截面。,梁彎曲時正應力強度條件, max,M max = Wz, 為許用彎曲正應力，可近似利用簡單拉伸時的許用應力,代替，但二者有區(qū)別，前者略高于后者，可查手冊。對抗 拉、壓性能不同的材料，則要求最大拉應力和最大壓應力 都不超過許用值, t max t , c max c ,55,彎曲的應力分析和強度計算,一般來說，梁橫截面上最大切應力發(fā)生在中性軸上， 而該處的正應力為零。因此最大切應力點處于純剪切應力 狀態(tài) 彎曲切應力強度條件, max,QS =( ) max I zb, z,對于等截面梁，最大切應力發(fā)生在最大剪力所在的截面,彎曲切應力強度條件, max,Qmax S = I zb, z max, ,56,彎曲的應力分析和強度計算,對于細長的實心截面梁或非薄壁截面梁，橫截面上的 正應力是主要的，切應力只占次要地位，例,ql 2 M max8 = 3ql max = 22 bhWz4bh 6 ql 3 Qmax 3 2 3ql max = 2 A2 bh 4bh,2, max max,3ql 2 4bh = l= 3ql h 4bh,2,57,彎曲的應力分析和強度計算,對于細長的實心截面梁或非薄壁截面梁，只要滿足,正應力條件即可。 對于薄壁截面梁或梁的彎矩較小，而剪力很大時， 必須同時校核正應力強度條件和切應力強度條件。 對于一些薄壁截面梁的橫截面上，有時存在著正應 力和切應力都很大的點，如工字形截面梁腹板和翼緣交 界處各點。這樣的點也可能成為危險點，需要進行強度 校核，但該點的應力狀態(tài)較復雜，需要利用強度理論討 論。,58,例,8,某輥軸直徑 D = 21cm ，軸頸直徑 d = 15cm ， 受均布載荷作用， q = 400kN/m 。若已知 = 100MPa ， 試校核其強度。,解, max,M = ( ) max Wz,3,輥軸中最大彎矩在C截面, C max,MC 90 10 = 99 MPa 2 33 D (21 10 ) 3232,軸頸中最大彎矩在D、E截面, D max = E max,MD 40 10 = = 121MPa 2 33 d (15 10 ) 3232 不滿足強度要求,3, ,59,例,9,如圖所示一鑄鐵制成的梁。已知截面圖形對形心軸的慣 74 性矩 I z = 4.5 10 mm ， 1 = 50mm ，y2 = 140mm 。材料許用 y 拉應力及許用壓應力分別為 t = 30MPa ， c = 140MPa 。 試按正應力強度條件校核強度。,60,例,解,9,由彎矩圖可知B，C截面 的彎矩符號不同，截面上 的中性軸為非對稱軸，且 材料的拉壓許用應力不同 故B，C截面都可能是危險 截面。,B截面, Bt,MB 20 10 3= 50 10 = 22.2MPay1 = 3 47 4.5 10 (10 ) IZ,3, BcBC,MB 20 10 3y2 = 140 10 = 62.2 MPa 3 47 IZ 4.5 10 (10 ),3,61,例,C截面, Ct,9,MC 10 10 3= 140 10 = 31.1MPay2 = 3 47 4.5 10 (10 ) IZ,3,最大拉應力在C截面上，最大壓應力在B截面上。, c max c , t max t ,雖最大拉應力大于許用拉應力，但未超過5%，故可 認為滿足正應力強度條件。,62,例,10,如圖所示外伸梁受均布載荷作用。已知： = 160 MPa， = 80MPa 。試選擇工字鋼型號。,解 繪制剪力圖,彎矩圖,Q max = 58kN,M max = 44.1kN m,Wz ,M max, ,= 276cm,3,63,例,10,在型鋼表中查得工字鋼的 Wz = 309cm 故選之。,3,因工字形鋼為薄壁截面，須進行彎曲切應力校核。由 * 型鋼表查得 I z / S z = 18.9cm ， d = 7.5mm ，則, max,Qmax = = 40.9MPa Iz d * Sz,可以選用工字鋼。,64,彎曲的應力分析和強度計算,提高粱彎曲強度的主要措施,設計梁的主要依據(jù)為彎曲正應力強度條件, max,M = ( ) max Wz,提高粱的強度，從以下四個方面考慮： 合理地安排梁的支座和載荷； 采用合理的截面形狀； 采用等強度梁 合理地使用材料,65,彎曲的應力分析和強度計算,一、合理地安排梁的支座和載荷,合理安排支座和載荷，以降低最大彎矩。,M max,1 2 = ql 8,M max,1 2 =ql 40,66,彎曲的應力分析和強度計算,分散載荷,輔助梁,M max,1 = Pl 4,M max,1 = Pl 8,67,彎曲的應力分析和強度計算,二、采用合理的截面形狀,彎曲截面系數(shù) Wz 不僅與截面尺寸有關，還與截面 形狀有關。為了減少材料的消耗，減少自重，應取 Wz / A 較大的截面形狀。,68,彎曲的應力分析和強度計算,從正應力分布角度分析,梁橫截面上的正應力是按線性分布的，靠中性軸越近 應力越小。工字形截面有較多面積分布在離中性軸較遠處， 作用著較大的面積，而矩形截面梁在中性軸附近分布較多 承擔較小應力的面積。因此，當兩種截面的最大應力相等 時，工字形截面形成的彎矩較大，抗彎能力較強。,69,彎曲的應力分析和強度計算,對于抗拉、壓強度不等的材料，應使截面上的最大拉 應力和最大壓應力同時達到，對于這種情況宜采用中性軸 為非對稱軸的截面,70,彎曲的應力分析和強度計算,注意截面的合理放置,bh Wz 6 = 0.167 h= Abh,2,hb Wz 6 = 0.167b= Abh,71,2,彎曲的應力分析和強度計算,上述梁的合理截面形狀是由滿足彎曲正應力強度 條件出發(fā)，僅由減少材料消耗、減輕自重的角度考慮。 工程實際中選用合理的截面，還必須綜合考慮是否滿 足切應力強度條件、剛度條件和穩(wěn)定性等條件，是否 滿足結構和使用上的要求以及工藝、管理等方面的因 素，才能最后決定。,72,彎曲的應力分析和強度計算,三、采用等強度梁,橫力彎曲時，梁的彎矩是隨截面位置變化的，若設計 成等截面梁，則除最大彎矩所在的截面以外，其他各截面 的正應力均未達到許用應力值，材料強度得不到充分發(fā)揮。 為了減少材料消耗，減輕自重，可把梁制成橫截面隨截面 位置變化的變截面梁。變截面梁若截面變化比較緩慢，彎 曲正應力公式仍可適用。當變截面梁各橫截面上的最大彎 曲正應力相等，且等于許用應力，即, max,M