（計算數(shù)學(xué)專業(yè)論文）隨機(jī)利率下生存年金理論的研究.pdf

大連理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 摘要 傳統(tǒng)的保險精算理論為了簡化計算，往往假定利率是確定的。但由于生存年金是一 種長期的經(jīng)濟(jì)行為，投保期間的政府政策、經(jīng)濟(jì)周期等因素都會造成利率的不確定性， 從而隨機(jī)利率下生存年金理論的研究逐漸成為保險精算學(xué)研究的重點(diǎn)與熱點(diǎn)問題之一。 目前，隨機(jī)利率模型分為連續(xù)和離散兩種。本文分別在這兩種模型下，研究了生存 年金現(xiàn)值的一些統(tǒng)計性質(zhì)，取得的結(jié)果可概括如下： ( 1 ) 討論了連續(xù)利率模型下的生存年金。首先，對利息力分別采用w i e n e r 過程和 0 r n s t e i n u h l e n b e c k 過程建立模型，研究了相應(yīng)利率模型下在保單各年度末等額給付的 定期生存年金保險，當(dāng)保單數(shù)目趨于無窮時，每張保單平均成本的極限，證明了這一極 限隨機(jī)變量依概率收斂于年給付額為1 的定期生存年金的現(xiàn)值，并得出了該現(xiàn)值分布函 數(shù)的近似表達(dá)式。然后，對利息力累積函數(shù)采用w i e n e r 過程建模，利用幾何b r o w n i a n 運(yùn)動積分的一些基本結(jié)果，給出了該利率模型下連續(xù)型生存年金現(xiàn)值各階矩的一般表達(dá) 式，并在某些死亡分布下給出了現(xiàn)值各階矩的簡單表達(dá)式。 ( 2 ) 討論了離散利率模型下的生存年金。為了使利率模型更加符合實(shí)際，本文利 用時閾序列理論，將已有的a r ( p ) 利息力模型和m a ( q ) 利息力模型進(jìn)行推廣，對各年的利 息力4 ( i = 1 ，2 ，) 建立條件穩(wěn)定a r m a ( p ，q ) 模型以及廣義a p d “a ( p ，q ) 模型，得出了這兩類 模型下生存年金的精算現(xiàn)值。最后，根據(jù)所建立的模型和所得到的精算現(xiàn)值進(jìn)行了實(shí)例 分析。 美麓調(diào)：隨機(jī)利率：生存年金；現(xiàn)值；精算現(xiàn)值 隨機(jī)利率下生存年金理論的研究 s t u d yo nt h et h e o r yo f l i f ea n n u i t i e su n d e r r a n d o mr a t e so fi n t e r e s t a b s t r a c t u s u a l l yt h et r a d i t i o n a la c t u a r i a lt h e o r yi sb u s e do naf i x e di n t e r e s tr a t ew i t hap u r p o s et o s i m p l i f yc a l c u l a t i o n s h o w e v e r ，s i n c et h el i f ea n n u i t yi sal o n g - t e r me c o n o m i ca c t i o n ，t h e f a c t o r so fg o v e r n m e n tp o l i c ya n de c o n o m i cc y c l e sm a yc a u s ei n t e r e s tr a t et ob eu n c e r t a i n d u r i n gt h ep e r i o do fi n s u r a n c e s ot h es t u d yo nt h et h e o r yo f l i f ea n n u i t i e su n d e rr a n d o mr a t e s o f i n t e r e s th a sg r a d u a l l yb e c o m eo n eo f t h eh e a t e da n dm a j o r p r o b l e m so f a c t u a r i a ls c i e n c e c u r r e n t l y ，t h es t o c h a s t i ci n t e r e s tr a t em o d e li sd i v i d e di n t ot w o ，c o n t i n u o u sa n dd i s c r e t e ， s o m es t a t i s t i c sp r o p e r t i e so ft h ep r e s e n tv a l u eo fl i f ea n n u i t i e su n d e rb o t hm o d e l sa r es t u d i e d i nt h i st h e s i s t h em a i nw o r k so b t a i n e dh e r ec a l lb es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： ( 1 ) l i f ea n n u i t i e su n d e rc o n t i n u o u si n t e r e s tr a t em o d e la r ed i s c u s s e d f i r s t l y t 1 1 i st h e s i s d i s c u s s e st e m p o r a r y1 i f ea n n u i t i e s i m m e d i a t ep o l i c i e su n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tt h ef o r c eo f i n t e r e s ti sm o d e l e db yw i e n e rp r o c e s so ro m s t e i n u h l e n b e c kp r o c e s s ，p r o v e st h a tt h el i m i to f a v e r a g ec o s to ft h ep o l i c i e st e n d si nd i s t r i b u t i o n t ot h ep r e s e n tv a l u eo ft e m p o r a r yl i f e a n n u i t i e s i m m e d i a t ew h e r ep a y m e n t sa r eo n ew h e nt h en u m b e ro ft h ep o l i c i e sa p p r o a c h e s i n f i n i t y ，a n dm e a n w h i l eo b t a i n st h ea p p r o x i m a t ef o r m u l ao fd i s t r i b u t i o nf u n c t i o no ft h e p r e s e n tv a l u e s e c o n d l y ，u n d e rt h ef o r c eo fi n t e r e s ta c c u m u l a t i o nf u n c t i o nm o d e l e db yw i e n e r p r o c e s s ，t h r o u g h a p p l y i n gt h ef u n d a m e n t a lr e s u l t so nt h ei n t e g r a lo fg e o m e t r i cb r o w n i a n m o t i o n a l lo r d e r sm o m e mo fp r e s e n tv a l u eo fc o n t i n u o u si i f ca n n u i t i e sa l ec a l c u l a t e da n dt h e c o n c i s ee x p r e s s i o n so fa l lo r d e r sm o m e n to fp r e s e n tv a l u ea r eg i v e nu n d e rc e r t a i nm o r t a l i t y d i s t r i b u t o n ( 2 ) l i f ea r m u l t i e su n d e rd i s c r e t ei n t e r e s tr a t em o d e la r ed i s c u s s e d i no r d e rt om a k et h e i n t e r e s tr a t em o d e lm o r er e a l i s t i c ，t h ee x i s t i n ga r ( p ) m o d e lo ff o r c eo fi n t e r e s ta n dm a ( q ) m o d e lo ff o r c eo fi n t e r e s ta r ei m p r o v e du s i n gt i m es e r i e st h e o r y c o n d i t i o n a ls t e a d y a r m a ( p ，q ) m o d e la n dg e n e r a l i z e dc o n d i t i o n a la r m a ( p ，q ) m o d e la r ep r o v i d e df o rt h ef o r c e o fi n t e r e s to fe v e r yy e a r4 ( i = l ，2 ，) a n dt h ea c t u a r i a lp r e s e n tv a l u eo fd i s c r e t el i f e a n n u i t i e sa r ed e r i v e du n d e rb o t hm o d e l so ff o r c eo fi n t e r e s t f i n a l l y ，ac a s ea n a l y s i si s p r e s e n t e db a s e do nt h ea b o v em o d e l sa n d a c t u a r i a lp r e s e n tv a l u e k e yw o r d s ! r a n d o mr a t e so fi n t e r e s t t l i f ea n n u i t i e s ：p r e s e n tv a l u e * a c t u a r i a l p r e s e n tv a l u e 獨(dú)創(chuàng)性說明 作者鄭重聲明：本碩士學(xué)位論文是我個人在導(dǎo)師指導(dǎo)下進(jìn)行的研究工 作及取得研究成果。盡我所知，除了文中特別加以標(biāo)注和致謝的地方外， 論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫的研究成果，也不包含為獲得大連理 工大學(xué)或者其他單位的學(xué)位或證書所使用過的材料。與我一同工作的同志 對本研究所做的貢獻(xiàn)均己在論文中做了明確的說明并表示了謝意。 作者簽名： 犬連理工大學(xué)碩士研究生學(xué)位論文 大連理工大學(xué)學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者及指導(dǎo)教師完全了解“大連理工大學(xué)硬士、博士學(xué)位論文版權(quán)使用 規(guī)定”，同意大連理工大學(xué)保留并向國家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交學(xué)位論文的復(fù)印件和電子 版，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)大連理工大學(xué)可以將本學(xué)位論文的全部或部分內(nèi) 容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，也可采用影印、縮印或掃描等復(fù)制手段保存和匯編學(xué)位論 文。 作者簽名：塑查竺 導(dǎo)師簽名：圭疊墮! ! ! ! ! 年立月血日 大連理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 緒論 0 1 利率波動性概述 利率波動是市場經(jīng)濟(jì)國家所具有的普遍金融現(xiàn)象。 就我國來說，利率市場化是當(dāng)前經(jīng)濟(jì)發(fā)展的客觀要求，同時也是適應(yīng)加a w t o 的 需要。我國利率波動與國際市場利率變化的趨同性將進(jìn)一步增強(qiáng)，這對我國的利率政策 提出了挑戰(zhàn)。 利率波動無疑會帶來利率風(fēng)險，然而，在我國內(nèi)地，無論是各級政府財政、企業(yè)， 還是金融機(jī)構(gòu)，利率風(fēng)險長期不受重視?？陀^上，由于帶息資產(chǎn)和帶息負(fù)債數(shù)量不大， 加上國家長期實(shí)行固定利率制度，每次利率都由國務(wù)院決定，通過中國人民銀行公布， 且利率變動幅度都較小。因此，人們往往不考慮利率風(fēng)險。 但是，近l o 年來，特別是最近幾年，隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展和金融改革的深入，我國內(nèi)地 的帶息資產(chǎn)大幅度增加，其中重要的一部分是保險資產(chǎn)和社會保險基金。與此同時，利 率調(diào)整次數(shù)增加，幅度加大。我國自1 9 9 0 年實(shí)行利率浮動以來，活期存款利率已出現(xiàn)了 九次重大的調(diào)整，從2 1 6 降至0 9 9 ，波動較大。而保險公司屬于利率敏感型的行業(yè)， 利率的波動必然會對保險公司產(chǎn)生一定的影響，怎樣避免利率風(fēng)險以及利率波動對保險 公司究竟會產(chǎn)生怎樣的影響成為保險業(yè)的敏感話題。 業(yè)務(wù)發(fā)展和資金運(yùn)作是壽險公司運(yùn)營的兩個輪子，而利率在這兩個輪子中都發(fā)揮著 決定性的作用。正如利率是資金的價格，費(fèi)率是保險這種特殊商品的價格。既然壽險純 費(fèi)率是以預(yù)定利率為貼現(xiàn)率計算而得的現(xiàn)值，這意味著壽險經(jīng)營一開始就引進(jìn)了利率因 素，而且這一因素以直貫穿于壽險經(jīng)營的全過程。所以，利率的波動必然影響壽險經(jīng)營。 利息率是人壽保險和社會養(yǎng)老保險制度設(shè)計所需要考慮的重要因素，因此，作為儲 蓄性機(jī)構(gòu)之一的人壽保險公司，始終面臨利率波動所帶來的風(fēng)險。事實(shí)上，隨著中央銀 行啟用利率杠杠調(diào)節(jié)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行，我國壽險公司一直面對相當(dāng)大的利率風(fēng)險：1 9 8 5 年到 1 9 9 5 年1 1 年間，一年期銀行存款年利率均值為8 7 7 ，標(biāo)準(zhǔn)差為2 4 5 ，利率最高水 平與最低水平之間的極值達(dá)6 3 0 個百分點(diǎn)；三年期存款年利率均值為1 0 0 4 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 2 5 2 ，極值達(dá)6 6 6 個百分點(diǎn)。我國目前壽險預(yù)定利率水平為年復(fù)利8 8 0 ，這是個相 當(dāng)高的利率，無疑增強(qiáng)了壽險的儲蓄功能，加強(qiáng)了壽險的吸引力，但即便如此，也很難 抵御銀行利率調(diào)整帶來的影響，具體體現(xiàn)在對保費(fèi)收入存量和流量的影響上。 由以上分析可知，現(xiàn)實(shí)中的利率確實(shí)是波動的。利率的波動不僅會對經(jīng)濟(jì)發(fā)展產(chǎn) 生影響，而且對保險精算理論也產(chǎn)生了影響。因此，隨機(jī)利率下的精算理論的研究也成 隨機(jī)利率下生存年金理論的研究 為精算學(xué)的研究熱點(diǎn)之一。 o 2 隨機(jī)利率下生存年金理論在國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀 傳統(tǒng)的壽險精算理論為了簡化計算，假定利率是確定的，但人壽保險是一種長期的 經(jīng)濟(jì)行為，投保期間，政府政策、經(jīng)濟(jì)周期等因素都會造成利率的波動，利率的波動意 味著利率的不確定性，因此采用固定利率有可能會帶來預(yù)期與實(shí)際之間的較大誤差。人 們開始注意到，對保險組織者( 保險公司和社會保險機(jī)構(gòu)) 而言，由利率隨機(jī)性產(chǎn)生的 風(fēng)險可能是相當(dāng)大的。根據(jù)傳統(tǒng)的精算理論，利用大數(shù)定律，由死亡率隨機(jī)性產(chǎn)生的風(fēng) 險可以通過出售大量的( 充分多的) 保單來分散。但如果保險公司出售的每張保單采用 與實(shí)際十分接近的利率，這樣利率的風(fēng)險只單一的存在于保險公司一方，一旦發(fā)生，可 導(dǎo)致保險公司破產(chǎn)。保險公司為了減少因利率的調(diào)整而可能導(dǎo)致的損失，往往在費(fèi)率計 算時將保險中使用的年利率定的較實(shí)際為低，這樣勢必造成投保人增加保費(fèi)負(fù)擔(dān)，又導(dǎo) 致了參加保險人數(shù)的減少。因此由利率產(chǎn)生的風(fēng)險不可能通過增加保單的銷量來分散， 從這個意義上說，利率風(fēng)險要比死亡率風(fēng)險更為重要o 】。所以，減少利率不確定性更好 的辦法就是采用隨機(jī)利率模型。隨著精算理論研究的深入，利率隨機(jī)性的研究在近2 0 年 來逐步受到重視，隨機(jī)利率下的精算理論的研究已成為當(dāng)前保險精算學(xué)研究的重點(diǎn)與熱 點(diǎn)問題之一。 7 0 年代起，一批學(xué)者開始研究利率隨機(jī)性問題。對于隨機(jī)利率，他們一般采用時間 序列方法建模。1 9 7 1 年j h p o l l a n d 首次把利率視為隨機(jī)變量，對精算函數(shù)進(jìn)行了研究 ” 。其后一批學(xué)者開始采用各種隨機(jī)模型來模擬隨機(jī)利率。1 9 7 6 年b o y l e 考慮了壽險與 年金中死亡率與利率均為隨機(jī)的情況，即所謂的“雙隨機(jī)性” 3 1 。z a k s ( 2 0 0 1 ) 研究了 利率獨(dú)立且同正態(tài)分布下年金現(xiàn)值以及終值的一、二階矩 4 1 。b u r n e c k i 、m a r c i n i u k 和 w e r o n ( 2 0 0 3 ) 對z a k s 的論文【4 1 中的一些結(jié)果進(jìn)行了更正，并對其進(jìn)行了推廣【”。f r e e s ( 1 9 9 0 ) 研究了可逆m a ( 1 ) 利息力模型下生存年金的精算現(xiàn)值【6 】。h a b e r m a n 和s u n g ( 1 9 9 4 ， 1 9 9 7 ) 將f r e e s 1 的可逆m a ( 1 ) 利息力模型推廣到投資利息力為m a ( 2 ) 可逆滑動平均模型。 并研究了該模型下生存年金現(xiàn)值的一、二階矩【“l(fā) 。高建偉和丁克詮( 2 0 0 4 ) 利用時間 序列理論將可逆m a ( 1 ) 、姒( 2 ) 利息力模型推廣為可逆淞( q ) 利息力模型和一般姒( q ) 利 息力模型，在推廣的利息力模型下，分別給出了繳費(fèi)預(yù)定型企業(yè)年金保險中生存年金的 精算現(xiàn)值 9 1 。p a n j e r 和b e l l h o u s e ( 1 9 8 0 、1 9 8 1 ) 以利率為a r ( 2 ) 過程建立了人壽保險的 雙隨機(jī)模型”“”】。h a b e r m a n ( 1 9 9 7 ) 在企業(yè)年金保險中得到了利息力滿足穩(wěn)定自回歸a r ( 1 ) 模型時的生存年金精算現(xiàn)值模型 1 2 1 。d h a e n e ( 1 9 9 8 ) 在h a b e r m a n 的基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了 大連理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 利息力滿足二階穩(wěn)定自回歸a r ( 2 ) 模型時的利息力的矩母函數(shù)的性質(zhì)，得到了相應(yīng)利率 模型下生存年金現(xiàn)值的一、二階矩【1 ”。高建偉和李春杰( 2 0 0 4 ) 利用時間序列將投資利 率為條件穩(wěn)定a r ( 1 ) 、a r ( 2 ) 模型推廣為條件穩(wěn)定a r ( p ) 利息力模型和廣義a r ( p ) 利息力模 型，得出了相應(yīng)利率模型下生存年金的精算現(xiàn)值1 1 。 9 0 年代起，部分學(xué)者采用攝動法對隨機(jī)利率建模，得到了具有“雙隨機(jī)性”的確定 年金、定期壽險和生存年金的一系列結(jié)果：立i b e e k m a n 和f u e l l i n g 在1 9 9 0 年和1 9 9 1 年對 利息力分別采用o r n s t e i n u h l e n b e c k 過程和w i e n e r 過程建模，得到了某些年金現(xiàn)值的前 二階矩。1 9 9 3 年對利息力分別采用o r n s t e i n u h l e n b e c k 過程和w i e n e r 過程建模，得到了 終身壽險給付現(xiàn)值的一、二階矩 15 - 1 7 。1 9 9 2 年d es c h e d p e r 、g o o v e r t s 等對利息力采用 w i e n e r 過程建模，得到了某些年金的矩母函數(shù)、分布函數(shù)和l a p l a c e 變換口8 。1 。蔣慶榮 ( 1 9 9 7 ) 研究了隨機(jī)利率下終身壽險的純保費(fèi)和責(zé)任準(zhǔn)備金的計算方法【2 0 】。何文炯、 蔣慶榮( 1 9 9 8 ) 對隨機(jī)利率采用g a u s s 過程建模，得出了該模型下一類即時給付的增額 壽險現(xiàn)值的各階矩，并在死亡均勻分布假設(shè)下得到了矩的簡潔表達(dá)式口”。劉凌云、汪榮 明( 2 0 0 i ) 考慮到突發(fā)事件對利率的影響，采用g a u s s 過程和p o i s s i o n 過程對利息力累 積函數(shù)聯(lián)合建模，給出了該模型下一類即時給付的增額壽險現(xiàn)值的各階矩拉”。歐陽資 生、鄢茵( 2 0 0 3 ) 對利息力分別采用w i e n e r 過程和o r n s t e i n u h l e n b e c k 過程建模，得出 了這兩種利息力模型下增額壽險的各階矩【2 ”。g a r yp a r k e r ( 1 9 9 4 ，1 9 9 7 ) 發(fā)表了他博 士論文中的一些結(jié)果，研究了在死亡所在保單年度之末等額給付的定期壽險和生死兩全 保險給付現(xiàn)值的分布函數(shù) 2 4 - 2 5 1 。楊靜平和吳嵐( 1 9 9 7 ) 對利息力采用自噪聲過程建模， 給出了此模型下n 年期壽險給付現(xiàn)值的密度函數(shù)準(zhǔn)確的遞推式【2 “。張奕，何文炯( 2 0 0 1 ， 2 0 0 2 ) 對利息力累積函數(shù)采用w i e n e r 過程和p o i s s o n 過程分別建模，利用w i e n e r 過程和 p o i s s o n 過程的獨(dú)立增量性，得到了這兩類模型下離散型生存年金現(xiàn)值的各階矩1 2 7 - 2 8 。 d a v i dp e r r y 和w o l f g a n gs t a d j e ( 2 0 0 1 、2 0 0 3 ) 采用反射b r o w n i a n 運(yùn)動過程對利息力建 模，得到了該模型下生存年金的一些結(jié)果 2 93 0 。 o 3 本論文主要研究的內(nèi)容 本文在上述工作的基礎(chǔ)上，研究隨機(jī)利率下生存年金現(xiàn)值的各種統(tǒng)計性質(zhì)，主要完 成了以下幾個方面的工作： 第一章介紹了精算學(xué)的一些基礎(chǔ)知識，給出了確定利率下年金、生存年金的定義以 及目前對隨機(jī)利率建立模型的幾種常用方法。 隨機(jī)利率下生存年金理論的研究 第二章是本文的一個核心部分。本章研究了連續(xù)利率模型下的生存年金：前半部分， 對利息力采用w i e n e r 過程和o r n s t e i n u h l e n b e c k 過程建立模型，研究了相應(yīng)利率模型 下在保單各年度末等額給付的定期生存年金，當(dāng)保單數(shù)目趨于無窮時，每張保單平均成 本的極限，證明了這一極限隨機(jī)變量依概率收斂于年給付額為l 的定期生存年金的現(xiàn)值， 并得出了該現(xiàn)值的分布函數(shù)近似的表達(dá)式；本章后半部分，對利息力累積函數(shù)采用 w i e n e r 過程建立建模，利用幾何b r o w n i a n 運(yùn)動積分的一些基本結(jié)果，給出了該利率模 型下給付額隨指數(shù)變化的連續(xù)型生存年金現(xiàn)值各階矩的一般表達(dá)式，并在某些死亡分布 下給出了現(xiàn)值各階矩的簡單表達(dá)式。 第三章足本文另一個核心部分?？紤]到現(xiàn)實(shí)生活中利率在一年內(nèi)一般是固定不變 的，而且各年的利率在受到過去數(shù)年經(jīng)濟(jì)因素影響的同時，又受到市場、政治等多種外 界因素和投資結(jié)構(gòu)的影響，因此，為了使利率模型更加符合實(shí)際，本文利用時間序列理 論，將已有的a r ( p ) 利息力模型和m a ( q ) 利息力模型進(jìn)行推廣，對各年的利息力 4 ( 1 ：l ，2 ，) 分別建立條件穩(wěn)定a r m a ( p ，q ) 模型以及廣義a r m a ( p ，q ) 模型，得出了這兩類 模型下生存年金的精算現(xiàn)值，并進(jìn)行了實(shí)例分析。 大連理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 1基礎(chǔ)知識 1 1 利率的基本概念 1 1 1 利息的定義 利息可以定義為使用資本的代價或報酬。資本使用者不一定擁有資本的所有權(quán)，他 可借入資本來使用。對資本借入者來說，利息就是因他使用資本借出者的資本而支付給 后者的代價。對資本借出者來說，利息就是他暫時轉(zhuǎn)讓資本的使用權(quán)而從資本借入者處 得到的報酬。例如，銀行需付存款人一定利息，因其在存款期間可自由使用存款人的資 本。存款人得到利息，是因其在存款期間內(nèi)轉(zhuǎn)讓了資本的使用權(quán)。 1 1 2 利率，積累值，積累函數(shù) 我們把每項業(yè)務(wù)開始時投資的金額稱為本金，而把業(yè)務(wù)開始一定時間后回收的總金 額稱為該時刻的積累值( 或終值) 。積累值與本金的差額就是這一時期的利息金額。 在初始時刻t = 0 投資的1 單位本金，我們定義該投資在時刻t 的積累值為積累函數(shù) d ( f ) ，那么d ( o ) = 1 ，并且( f ) 通常為遞增函數(shù)，積累函數(shù)口( f ) 有時也稱作r 期積累因子。 把從投資日期第一個時期所得到的利息金額記為l ，則： i n = a ( n ) 一a ( n 一1 ) ， 月1 某一度量期的實(shí)際利率是指該度量期內(nèi)得到的利息金額與此度量期開始時投資的 本金金額之比。實(shí)際利率是利息的一種度量方式。通常，實(shí)際利率用字母f 表示。對于 有多個度量時期的情形可以分別定義各個度量期的實(shí)際利率。這時，用記從投資日算 起第”個度量期的實(shí)際利率，則： f ：a ( n ) - a ( n - 1 ) ：l ，h 1。 d 0 1 )a ( n 一1 ) 那么有： a ( n ) = ( 1 + f 。) a ( n 一1 ) ，n 1 因此有： a ( n ) = ( 1 + ) ( 1 + 一。) ( 1 + ) 隨機(jī)利率下生存年金理論的研究 特別的，若每個度量期的利率都相同，記為f ，這樣就有： 口0 ) = ( 1 + 礦 口( n ) 就是利率為i 下，初始時刻投資1 單位本金在時刻n 的積累值。那么利率為i 下，初 始時刻投資k 單位本金在時刻”的積累值為女一a ( n 1 。 1 1 3 現(xiàn)值，折現(xiàn)因子，貼現(xiàn)率，利息力 我們把為了在t 期末得到某個積累值，而在開始時投資的本金金額稱為該積累值的 現(xiàn)值( 或折現(xiàn)值、貼現(xiàn)值) 。而積累函數(shù)口( f ) 的倒數(shù)口1 ( t ) 稱為t 期折現(xiàn)函數(shù)。顯然，口t ( f ) 是f 期末支付l 的現(xiàn)值，在t 期末支付女的現(xiàn)值為_ j 口。1 ( f ) 。特別的，把一期折現(xiàn)因子口一t f l l 簡單的稱為折現(xiàn)因子，并記為v 。 在利率為i 下， l 1 + f 貼現(xiàn)率記為d ，它也是利息的一種度量方式，定義為： d ：上 1 + f 考慮n 年末給付c 元，設(shè)其現(xiàn)值為x ，假設(shè)每年的利率為i ，那么根據(jù) x g t - n ”= c 得到現(xiàn)值 x ：c l ：c v n ( 1 + f ) “ ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) 前面定義的i 、d 都是用來度量規(guī)定時間區(qū)間內(nèi)利息的度量方式，在很多情形下 大連理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 我們還希望能度量每一時間點(diǎn)上的利息，也就是在無窮小時間區(qū)間上的利息。這種對利 息在各個時間點(diǎn)上的度量方式叫做利息力( 或者稱利息強(qiáng)度) 。 t 時刻的利息力記為蘸，定義為： 。口( r ) q5 麗 將上式變形，有： 4 ：車l i l 。( f ) a t 用，代替f ，然后將上式兩端在o 到t 上積分，得 e 肛“= 器u 訓(xùn)口ij 那么，折現(xiàn)函數(shù)口。( f ) 為： 口一( f ) ：p 一陟 ( 1 - 1 5 ) ( 1 1 6 ) 其中我們將y ( f ) = f 4 咖稱為時刻f 的利息力累積函數(shù)。 如果利息強(qiáng)度在某時間區(qū)間上為常數(shù)，那么，該時間區(qū)間上的實(shí)際利率也為常數(shù)， 并且在利息強(qiáng)度點(diǎn)= 5 為常數(shù)的情況下，有： 5 = 1 n ( 1 + f ) 根據(jù)折現(xiàn)因子和利息力的定義，可得： ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) 隨機(jī)利率下生存年金理論的研究 1 2 確定利率下的年金 年金是在相等的時間間隔上作的一系列支付的款項。年金在經(jīng)濟(jì)生活中是非常常見 的，如房屋的租金，抵押付款，定期存入銀行的存款，及分期償還的債務(wù)等，這些都屬 于年金的形式。年金支付的時間間隔可以是年，也可以是月、季，或者其它，只要間隔 相等就行，理論上甚至可以是連續(xù)支付，無時間間隔。年金支付的期限也分為定期和永 久。年金每次的支付額可以是固定不變的，也可以是不斷變化的。我們把付款時間間隔 相等、每次付款額度相等、整個付款期間內(nèi)利率不變且計息頻率相等的年金稱為年金的 標(biāo)準(zhǔn)型。年金的各種變化的形式稱為年金的一般型。付款期內(nèi)固定不變的利率稱為固定 利率。因?yàn)槟杲鹗窃诠潭ǖ臅r期內(nèi)支付確定金額的款項，所以在特定情況下我們將年 金也稱為確定年金。按支付頻率的不同，我們將年金分為離散型和連續(xù)型。 1 2 1 確定利率下的離散型年金 離散型年金是指每次給付金額是按一定的時間間隔( 如年、半年、季、月) 來進(jìn)行給 付的年金。下面我們就來介紹幾種常見的離散型年金。 ( 1 ) 期末付年金 在每個付款期間末付款的年金稱為期末付年金。假設(shè)一筆年金，付款期限為月期， 每期期末付款額為1 元，每期利率都為i ，那么第一期期末給付的1 元現(xiàn)值為v ，第二期 期末給付的1 元的現(xiàn)值為v 2 ，依此類推，第n 期期末給付的1 元現(xiàn)值為v ”，使用n 來表 示這種n 期期末付年金的現(xiàn)值和，即： l v “ z ( 1 2 1 ) 而第一期期末給付的1 元在時刻n 的積累值為( 1 + 礦一，第二期期末給付的1 元在時 刻n 的積累值為( 1 + 礦一，依此類推，第一期期末給付的l 元在時刻f 的積累值為1 ，使用 s 7 來表示這種n 期期末付年金在時刻n 的積累值和，即： s ，= ( 1 + f ) ”】+ ( 1 + f ) “一2 + + ( 1 + f ) + 1 = 里二! ：生 由a 7 ，和s 7 ，的定義及計算公式可以得到它們之間的關(guān)系 ( 1 2 2 ) 大連理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 嘲，= a q ，( 1 + 礦 ( 2 ) 期初付年金 在每個付款期間初付款的年金為期初付年金。假設(shè)一筆年金，付款期限為n 期， 每期期初付款額為1 元，每期利率為i ，那么第一期期初給付的l 元現(xiàn)值為l ，第二期期初 給付的1 元的現(xiàn)值為v ，依此類推，第n 期期初給付的1 元的現(xiàn)值為v ”1 ，使用q 來表示 這種n 期期初付年金的現(xiàn)值和，即： n q i = i + v + v 2 + - i - v n - i = 1 - d v ( 1 2 ，3 ) 而第一期期初給付的1 元在時刻n 的積累值為( 1 + f ) 1 ，第二期期初給付的1 元在時刻 t 1 的積累值為( 1 + f ) ”1 ，依此類推，第n 期期初給付的l 元在時刻的積累值為1 + i ，使用 南來表示這種n 期期初付年金在時刻”的積累值和，即： 南，= ( 1 + f y + ( 1 + f ) ”- i + + ( 1 + d = 1 三筍 由南，和南，的定義及計算公式可以得到它們之間的關(guān)系 南。= 勘( 1 + f ) ” ( 1 2 4 ) 1 2 2 確定利率下的連續(xù)型年金 付款頻率無限大( 即連續(xù)給付) 的年金叫連續(xù)型年金。雖然這種年金在實(shí)務(wù)中不存 在，但它在年金的理論分析以及其它各個方面如精算數(shù)學(xué)中的應(yīng)用極為廣泛。 連續(xù)付款n 個記息期，且每個計息期的付款額之和為1 ，每期的利息力都固定為萬的 連續(xù)型年金的現(xiàn)值記為西，在時刻”的積累值記為弓，于是有： 弓= m = p 出= 等 ( 1 2 5 ) 隨機(jī)利率下生存年金理論的研究 碭：n 礦1 出= p 一”出= 等 ( 1 2 6 ) 可以將確定利率下的連續(xù)型年金推廣到利息力非固定的情況，假設(shè)t 時刻的利息力 為點(diǎn)，則有以下計算公式： 瓦：廠p 一| 0 恥m n 1 h 兩= 渺礬 ( 1 2 7 ) ( 1 2 8 ) 1 3 確定利率下的生存年金 生存年金是指按預(yù)先約定的金額，以一定時間為周期，連綿不斷地進(jìn)行一系列給付， 且這些給付必須以原指定領(lǐng)取人生存為前提條件，一旦領(lǐng)取人死亡，給付即宣告結(jié)束。 生存年金在人壽保險、退休金體系、殘疾保險及撫恤保險中均起著重要的作用。如 人壽保險的保費(fèi)通常是以生存年金的方式分期繳付的。類似于確定年金，生存年金按支 付頻率的不同也可以分為離散型和連續(xù)型。 在系統(tǒng)地介紹生存年金之前，我們先來介紹生存模型中一些常用的精算符號。 1 3 1 生存模型常用的精算符號 壽險保單其保險金的給付是以被保險人的生存或死亡為前提條件的，所以，被保險 人的生存和死亡狀況，是壽險精算的主要基礎(chǔ)。我們視投保人的死亡時間為隨機(jī)變量， 而保費(fèi)、生存年金的計算都是在此前提下進(jìn)行的。 以x 記為新生兒的死亡年齡，則x 是一隨機(jī)變量，記巴( j ) 為x 的分布函數(shù)，那么： b ( x ) = p r ( x x ) x 0 而將s ( x ) = 1 一毛( x ) 稱為生存函數(shù)( s u r v i v a lf u n c t i o n ) ，即： s ( x ) = p r ( x x ) 工0 ( 1 3 1 ) ( 1 3 - 2 ) 大連理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 s ( x ) 表示新生一嬰兒能活到x 歲( 即x 歲以后死亡) 的概率。我們一直假定以( 0 ) = 0 ， 則s ( o ) = 1 。 我們用符號( x ) 表示年齡為x 歲的人，也稱為x 歲的生命( 1 i f e a g e x ) ，而工為新 生兒的死亡年齡，則新生嬰兒在x 歲活著的條件下，未來仍生存的時間( 或生存期) 是 x x ，那么鼻一石稱為新生嬰兒在x 歲時的未來壽命，簡稱( x ) 的未來壽命( 或未來余 命) ，并用符號r ( x ) 表示。即新生嬰兒在x 歲時仍生存的條件下，有t ( x ) = x x 。 用概率來反映生存者的未來壽命，( 柏是精算學(xué)中的一項基本內(nèi)容。我們引入精算學(xué) 的符號，記： 吼= p r ( t ( x ) s t ) ：耳( f ) ，p ，= 1 一，q x = o r ( t ( x ) t ) v t 0 v t 0 ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) 其中，q ，可解釋為( 工) 將在未來f 年內(nèi)死亡的概率，它是r ( x ) 的分布函數(shù)；而，p ，表 示( x ) 將至少活到x + f 歲的概率，它是關(guān)于t ( x ) 的生存函數(shù)。通常情況下，當(dāng)t = l 時， 可以把( 1 3 3 ) 式與( 1 3 4 ) 式中符號的前綴省略，也就是“) 在一年內(nèi)死亡的概率可 以表示為q ，同樣( x ) 活過一年的概率可以表示為p ，。 r ( x ) 的概率密度函數(shù)記為l ( t ) ，并且再( r ) 可以表示為： 五( f ) = ，p ，u 。， ( 1 _ 3 5 ) 其中“。定義為時刻x + f 的死亡力，且“。，= 一乏筍。 ( x ) 生存t 年后，在x + f 歲與工+ f + u 歲之間死亡這一事件的概率，可用精算函數(shù)符 號。吼表示，即： 山吼2 p r ( t r ( x ) t + t t ) 2 f + 。gz c q ；2r p x f u p z 2 t p 。q w 特別的，當(dāng)“= 1 時，m 吼可以簡寫成，q ，。 ( 1 3 6 ) 隨機(jī)利率下生存年金理論的研究 令k ( x ) 表示( x ) 未來壽命的周年數(shù)或( 工) 在未來生存的整年數(shù)，即足( x ) 2 r ( z ) 】，那 么k ( x 1 的概率分布律可以表示為： p r ( k ( x ) = k ) = p r ( k t ( x ) k + 1 ) = p r ( k t ( x ) 曼i + 1 ) 2 k + l q j - - k q 。女p z k + l p j ?！皅 ， ( 女20 ，1 ，2 ，) ( 1 3 7 ) 1 3 2 確定利率下的離散型生存年金 離散型生存年金是指每次給付金額是按一定的時間間隔( 如年、半年、季、月) 來進(jìn) 行給付的生存年金。類似于離散型年金，離散型生存年金也分為“期初付”和“期末付” 兩種情形，期限可以是定期也可以是永久。其中，期初付生存年金在個人壽險中得到廣 泛應(yīng)用，大多數(shù)個人壽險的保險費(fèi)就是按期初付生存年金的方式分期繳納的。而這些保 費(fèi)的計算都是基于生存年金的精算現(xiàn)值。所謂精算現(xiàn)值是指現(xiàn)值的期望值，又稱期望現(xiàn) 值。精算現(xiàn)值與現(xiàn)值不同的地方在于：精算現(xiàn)值考慮了人的生死概率，是從一個概率的 角度來討論生存、死亡保險的。 下面，我們對期初付終身生存年金、期初付n 年定期生存年金、期末付終身生存年 金以及期末付”年定期生存年金的精算現(xiàn)值公式分別給予介紹。 ( 1 ) 期初付終身生存年金 指的是( z ) 在未來每個年度初領(lǐng)取款項為1 個單位，直至其死亡的生存年金，其精算 現(xiàn)值用符號j 。表示。 我們假設(shè)生存年金領(lǐng)取者在第k + 1 年內(nèi)死亡( k = o ，1 ，2 ，) ，并且假定給付額的現(xiàn)值 是隨機(jī)變量y ，那么： p r ( k ( x ) = 女) = k l q ，于是，有 a ，= 研，r 】= a 而咖q ( 1 _ 3 8 ) 大連理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 交換求和的順序，則( 1 3 8 ) 式可轉(zhuǎn)化為 = v 。n ( 1 3 9 ) ( 2 ) 期初付h 年定期生存年金 指的是( x ) 在未來n 年內(nèi)，每個年度初領(lǐng)取款項為1 個單位，直至其死亡的生存年金， 其精算現(xiàn)值用符號，i 表示。 我們假設(shè)生存年金領(lǐng)取者在第k + 1 年內(nèi)死亡( k = 0 ，l ，2 ，) ，并且假定給付額的現(xiàn)值 是隨機(jī)變量夕，那么： p ： 。? 口 o k k ) = 。p 。，于是，有 月一l 喲= 研力= 石廁q + 鋤。p ， k = 0 交換求和的順序，則( 1 3 1 0 ) 式可轉(zhuǎn)化為： ：a = 。p ， ( 1 3 1 0 ) ( 1 _ 3 1 1 ) ( 3 ) 期末付終身生存年金 指的是( 茗) 在未來每個年度末領(lǐng)取款項為1 個單位，直至其死亡的生存年金，其精算 現(xiàn)值用符號a ，表示。 我們假設(shè)生存年金領(lǐng)取者在第k + 1 年內(nèi)死亡( = 0 ，l ，2 ，) ，并且假定給付額的現(xiàn)值 是隨機(jī)變量 ：，那么： v 。閂 j j 嗣 口 f f e 隨機(jī)利率下生存年金理論的研究 而p r ( k ( x ) = k ) = 。q ，于是，有 a x = 研r 】= a 習(xí)q 交換求和的順序，則( 1 3 1 2 ) 式可轉(zhuǎn)化為： q = v 。；p ， ( 1 - 3 1 2 ) 1 3 ，1 3 ) ( 4 ) 期末付1 7 年定期生存年金 指的是( x ) 在未來n 年內(nèi)，每個年度末領(lǐng)取款項為1 個單位，直至其死亡的生存年金， 其精算現(xiàn)值用符號a ，：a 表示。 我們假設(shè)生存年金領(lǐng)取者在第k + 1 年內(nèi)死亡( 尼= 0 ，l ，2 ，) ，并且假定給付額的現(xiàn)值 是隨機(jī)變量p + ，那么： 2 嚼 0 k k ) = + p ，于是，有 h t j = 研e = d 習(xí)h q ，+ 。j 。p ， 女= 0 交換求和的順序，則( 1 3 1 4 ) 式可轉(zhuǎn)化為 a j = v 女p 。 ( 1 3 1 4 ) ( 1 3 1 5 ) 1 3 3 確定利率下的連續(xù)型生存年金 連續(xù)型生存年金是指付款頻率無限大，即每時每刻連續(xù)不斷地進(jìn)行支付的生存年 金。這類生存年金一般也分為定期和終身。我們主要介紹連續(xù)型終身生存年金和連續(xù)型 大連理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 n 年期生存年金的精算現(xiàn)值。 ( i ) 連續(xù)型終身生存年金 指的是對( x ) 在未來每個年度的任意時刻給付率為1 ，直至其死亡的生存年金，其精 算現(xiàn)值用符號瓦表示。( x ) 的未來壽命丁= t ( x ) ，假定給付額的現(xiàn)值是隨機(jī)變量，那 么： y = a t 7 = r v d t f f i r ( x ) 概率密度函數(shù)是：辦( f ) = ，p ，- “。，于是，有 瓦= 日】1 = _ 弓t l ( t ) a t = e f f , 7 ，n u + t d t 使用分部積分，則( 1 3 1 6 ) 式轉(zhuǎn)化為 五x = e 。以d l ( 1 _ 3 1 6 ) ( 1 3 1 7 ) ( 2 ) 連續(xù)型年期生存年金 指的是對( x ) 在未來”年內(nèi)的任意時刻給付率為1 ，直至其死亡的生存年金，其精算 現(xiàn)值用符號t j 表示。( x ) 的未來壽命為t = 丁( x ) ，假定給付額的現(xiàn)值是隨機(jī)變量l ，那 么： p ：f 9 叼 o r f ) = r p ，于是，有 一a i = e i q = r 弓肌d t + d 7 。p ， 使用分部積分，則( 1 3 1 8 ) 式可以轉(zhuǎn)化為 t j = r v 7 ，n 研 ( 1 3 1 8 ) ( 1 3 1 9 ) 隨機(jī)利率下生存年金理論的研究 1 4 隨機(jī)利率模型 近年來，關(guān)于隨機(jī)利率本身的研究進(jìn)一步受到重視，國內(nèi)外的很多學(xué)者對隨機(jī)利率 建立了各式各樣的利率模型，但這些隨機(jī)利率模型也不外乎兩種：一種是連續(xù)的；一種 是離散的。我們就兩種利率模型分別加以介紹。 1 41 連續(xù)利率模型 所謂連續(xù)利率模型，就是將每個時刻的利率視為一個連續(xù)變化過程的利率模型。在 連續(xù)利率模型中，一般采用隨機(jī)過程對利率建模。大量的隨機(jī)過程已經(jīng)被使用去模擬利 率的隨機(jī)性，并且這些隨機(jī)過程還被不同的方法所使用。 前面已經(jīng)介紹了覆表示時刻s 的利息力，y ( t ) 表示時刻t 的利息力累積函數(shù)，并且： ，( f ) = f 正出 目前，在連續(xù)利率模型中，對利率隨機(jī)性的建模，有兩種方法：一種是對利息力建 模，即假設(shè)利息力覆是一隨機(jī)過程；另一種是對利息力累積函數(shù)建模，即假設(shè)利息力累 積函數(shù)y ( f ) 是一隨機(jī)過程”】。 ( 1 ) 利息力累積函數(shù)建模 考慮利率隨機(jī)性的一種方法是用隨機(jī)過程去模擬利息力累積函數(shù)y ( t ) 。其中w i e n e r 過程和o r n s t e j n u h l e n b e c k 過程( 簡稱0 一u 過程) 是這類方法中使用最多的兩種隨機(jī)過 程，并且這兩類隨機(jī)過程都是g a u s s 過程的特殊形式。 利用w ie n e r 過程建模 在這類模型中，令： y ( t ) = j t + 口，彬 其中艿，盯為常數(shù)，盯0 ，形是個標(biāo)準(zhǔn)的w i e n e r i ! 立程。 這類模型下，y ( t ) 的期望和協(xié)方差分別為： e 【_ y ( f ) 】- 占f ( 1 4 1 ) ( 1 4 2 ) 大連理工大學(xué)碩士學(xué)位論文 c o v y ( s ) ，y ( r ) 】= 盯2m i n ( s ，t ) ( 參見文獻(xiàn)”】，s e c t i o n3 ) 利用o r n s t e i n u h e n b e c k 過程建模 在這類模型中，令： y ( f ) = 占- t + x ( t ) 其中x ( t 1 滿足下列隨機(jī)微分方程 f d x