（應用數(shù)學專業(yè)論文）一類具有疾病和擴散的比率依賴的捕食者食餌模型的定性分析.pdf

摘要 本文研究的士要是一類帶疾病的比率依賴的捕食者- 食餌反應擴散系統(tǒng) 全文共分為五部分，第一部分是引言，簡述了問題產(chǎn)生的背景接下來我們在第二部分研究系統(tǒng)( 1 6 ) 的解當時間趨于無窮大時的性質(zhì)，當盯 b l 。l 一6 2 一( t m ) 0 時，能夠得到解的持久性在第三部分通過 構(gòu)造適當?shù)膙 函數(shù)得到半平凡解的全局漸進穩(wěn)定性；通過特征方程得到唯一正解的局部漸進穩(wěn)定性在 第四部分通過比較原理和一些引理得到系統(tǒng)( 1 6 ) 相對應的橢圓方程解的有界性在第五部分獲得了非平 凡解的不存在性 關(guān)鍵詞：比率依賴；捕食者食餌模型；擴散；疾?。环€(wěn)定性 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sp u r p o r t e dt os t u d yar e a c t i o nd i f f u s i o ns y s t e ma r i s i n gf r o mar a t i o - d e p e n d e n tp r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t h d i s e a s e t h ef u l lt e x ti sd i v i d e di n t of i v es e c t i o n s t h ef i r s ts e c t i o no u t l i n e st h eb a c k g r o u n d i nt h es e c o n d s e c t i o n ，w es t u d yt h el a r g et i m eb e h a v i o ro ft i m e - d e p e n d e n ts o l u t i o n sf o r ( 1 6 ) ，i ft h ea s s u m p t i o nk 加，l 一赴一何掰) 0h o l d s ，t h es y s t e mi sp e r m a n e n t s e c t i o ni i l ，w ec a l lo b t a i nt h eg l o b a la s y m p t o t i c s t a b i l i t yo fs e m i - t r i v i a ls o l u t i o n sb yc o n s t r u c t i n gs o m es u i t a b l el y a p u n o vf u n c t i o n t h e n , b yt h ee i g e n v a l u e f u n c t i o n ，t h el o c a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo f t h eu n i q u ep o s i t i v ec o n s t a n tc a no b t a i n e d s e c t i o ni v , w ec a ng e tt h e b o u n d sf o rp o s i t i v es t e a d ys t a t eo ft h ec o r r e s p o n d i n ge l l i p t i cs y s t e mo f ( 1 6 ) s e c t i o nv , t h en o n e x i s t e n c e r e s u l t so fn o n - t r i v i a ls o l u t i o na r ed e r i v e d k e yw o r d s ：r a t i od e p e n d e n t ；p r e d a t o r - p r e ym o d e l ；d i f f u s i o n ；d i s e a s e ；s t a b i l i t y 獨創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所提交的學位論文是本人在導師指導下獨立進行研究 工作所取得的成果據(jù)我所知，除了特別加以標注和致謝的地方外，論文 中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果對本人的研究做出重要貢 獻的個人和集體，均已在文中作了明確的說明本聲明的法律結(jié)果由本人 承擔 學位論文作者簽名：牛日期：釁廠 學位論文使用授權(quán)書 本學位論文作者完全了解東北師范大學有關(guān)保留、使用學位論文的規(guī) 定，即：東北師范大學有權(quán)保留并向國家有關(guān)部門或機構(gòu)送交學位論文的 復印件和電子版，允許論文被查閱和借閱本人授權(quán)東北師范大學可以將 學位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用影印，縮 印或其它復制手段保存、匯編本學位論文 ( 保密的學位論文在解密后適用本授權(quán)書) 學位論文作者簽名： 日 期 學位論文作者畢業(yè)后去向： 工作單位： 通訊地址： 也指導教師簽名： of 日 期 電話： 郵編： j 、) 乞 東北師范大學碩士學位論文 1 引言 捕食者和食餌之間的動力學關(guān)系無論是在生態(tài)學還是在數(shù)學中長久以來一直作為一項 重要的研究課題種群動力系統(tǒng)中，傳統(tǒng)的l o t k a v o i t e r a 模型在多種群的動力系統(tǒng)中是一個 重要的捕食者食餌模型捕食者食餌理論在種群生活在相同外界環(huán)境的關(guān)系中一直是基礎(chǔ) 且很重要然而，傳統(tǒng)的捕食者食餌模型已經(jīng)被一些生物學家和生理學家所質(zhì)疑，例如文獻 1 4 】，這些文獻證明了在適當?shù)臈l件下，尤其當捕食者需要尋找、分享、競爭食物時，一個更 適合一般情況下的捕食者食餌理論需要被關(guān)注，那就是比率依賴理論這個理論能粗略的表 明捕食者的平均增長率應該是一個比率型函數(shù)這個函數(shù)與食餌相對于捕食者的容量有關(guān)， 因此我們叫做比率依賴的功能性反應這些假設(shè)已經(jīng)被許多領(lǐng)域和實驗室實驗以及觀察數(shù)據(jù) 所證明，例如文獻【3 ，5 】一個一般的比率依賴模型如下： ：三：，；手x 二：；m 在h o l l i n g 功能性反應的基礎(chǔ)上，提出了一個比率依賴型反應：妒( 功= c u ( m + 功，l ，= i ，很 多學者研究了這個模型，例如【7 - 1 6 】以及一些參考書目 在大多數(shù)的捕食行為只依賴于食餌數(shù)量的假設(shè)下，標準的l o t k a - v o l t e r a 模型被提出在這 個模型的基礎(chǔ)上，標準的比率依賴的捕食者食餌模型假設(shè)捕食者的攻擊對每個個體食餌有 相同的危險性這個假設(shè)在生物界中顯然是不現(xiàn)實的，生物界中的種群個體是多種多樣的，根 據(jù)健康度的不同可以劃分為有病的食餌和沒有病的食餌，我們通常叫做感染群和易感群，通 常用，和s 表示這種帶疾病的模型已被很多人研究，例如文獻 1 7 ，1 9 ，3 1 3 3 如果用代表食 餌密度，又假設(shè)食餌是滿足l o g i s t i c 增長的，則有下面的方程： i ( ，) = s ( f ) + 足f ) ， 1 籌= 似t 一各 ( 1 2 ) 其中k 代表環(huán)境容納量，是內(nèi)稟增長率我們用c 代表有病食餌的死亡率乒代表傳染系 數(shù)，則有如下的傳染模型： 東北師范大學碩士學位論文 ( 1 3 ) 我們又假設(shè)捕食者只吃有病的食餌，功能性反應為比率依賴的h o l l i n g 型；，7 u ，y ) = ；i yt 、m 0 ) 其中m 是半飽和率，我們再用y 代表捕食者密度，d 代表捕食者的死亡率，b 代表捕 食者的相關(guān)系數(shù)，k 代表轉(zhuǎn)化率，則我們得到如下的帶疾病的比率依賴的捕食者食餌模型： 籌= r s o t s + i ) _ 1 3 s 厶 面d i = 筘，一c ，一黑， 警刊y + 黑 ( 1 4 ) 在系統(tǒng)( 1 4 ) 中，我們假設(shè)r , c ，b ，d , m ，盧都是正的，對系統(tǒng)( 1 4 ) 進行無量綱化：令s = 妻，f = 委= 姜，口= 赤，b l = 磊，如= 壽，= 壺，= 脹f 則我們得裂如下的方程組。 瓦d s = 口s 【l o + 明一s 瓦d i = s i - - 6 2 j 一；再l i y ， 瓦d y = - b l y + 羔 ( 1 5 ) 然而另一個現(xiàn)象在決定捕食者和食餌的動力學行為中也起著重要的作用，那就是擴散 在【1 8 】中已經(jīng)指出，古典的捕食者食餌模型僅僅反應了在適當?shù)臈l件下由于捕食行為數(shù)量的 變化，在這里捕食者和食餌密度不是空間依賴的，沒有考慮數(shù)量常常不是均勻分布的這個事 實或是捕食者和食餌對于生存環(huán)境的自然生長策略的事實這兩個事實都需要考慮引入擴散 的過程，這個擴散過程能夠完全刻畫捕食者和食餌在不同濃度下引起不同的數(shù)量移動的復雜 性這個移動由相同種群濃度所決定在系統(tǒng)中加入擴散已經(jīng)被廣泛的研究，例如【2 0 2 2 我們在一個確定的光滑域q 的空間下考慮在不同的空間下種群的非均勻分布，其中對于 任意給定的時間t ，有；q r ，( 1 ) ，令d l = s ，1 4 2 = i ，甜3 = 弘那么我們考慮的系統(tǒng)模型就變成 了下面的反應擴散模型( p d e ) ： 2 掣以 情 船 舔一出以一西 東北師范大學碩士學位論文 ”“一礬a u l = a u l 1 一( u l + u 2 ) 】一u l u 2 ， 地，一噸屹：i 眈一6 2 甜2 一絲墜，工q ，f 0 ， m u 3 十2 幻，一西甜3 ：一b l 的+ j 絲等生， ( 1 6 ) ，玎3 十“2 嘗：娑：i o u 3 ：0 ， x 弛，f 0 ， 【，yc ，vu ， l o ，0 ) ，眈 ，0 ) ，奶 ，0 ) 0 ， 工q 在這里是拉普拉斯算子，q 是中有界的光滑域，y 是q 邊界上的單位外法向量，西，噸，西 是正常數(shù)，代表擴散系數(shù)，初始值4 i ，o ) o = 1 ，2 ，3 ) 是連續(xù)函數(shù)由方程組( 1 5 ) 我們得到了( 1 6 ) ， 于是我們得到了( 1 6 ) 的四個非負常值解，分別是平凡解e o = ( o ，0 ，o ) ，半平凡解e l = ( 1 ，0 ，o ) 和e 2 = ( b 2 ，型a 拋+ l ，o ) ，還有唯一的正常值解e 3 = ( z ，：，囈，嵋) ，其中，“- 1 一了a + l 4 2 = b 2 + 業(yè)m k ，4 2 = m 南o + 1 ) ( m k ( 1 一b 2 ) 一似一6 1 ) ) = 者( 1 一u p ，“；= 鉻囈歷存在當且僅當b 2 k l b l 0 ，我們可以看出色存在則e 2 存在，反之不然且通過u ：的兩個表達式可 知b 2 u ：1 ，當u ：= b 2 時毋就變成了如，當u ：= 1 時，則島就變成了e l ，在該篇文章的第三 部分將有這幾個解的詳細討論 這篇文章的另一個目的是通過先驗估計研究系統(tǒng)( 1 6 ) 的解的正穩(wěn)態(tài)，也就是研究下面這 個橢圓系統(tǒng)的有界性： 一d l a 4 12a 4 i 【l 一【甜l + 4 2 ) 一u l u 2 ， 一醍地= l 地一6 2 “2 一黑， 工q ， 砌。甜m 1 “3 + 地 ( 1 7 ) 一函蚴= 一b l 的+ j 掣， r “， 嘗：娑：娑：o ， 工訛 現(xiàn)將該篇文章的結(jié)構(gòu)介紹如下：在第二部分我們通過比較定理和嵌入映射研究系統(tǒng)( 1 6 ) 的持久性在第三部分對于半平凡解的穩(wěn)定性我們將定義適當?shù)膙 函數(shù)給出它們的的全局漸 進穩(wěn)定性，對于系統(tǒng)( 1 6 ) 的唯一的正平衡解可以在適當?shù)臈l件下得到它的局部漸進穩(wěn)定性 在文章的第四部分通過先驗估計得到系統(tǒng)( 1 7 ) 的正穩(wěn)態(tài)解的上下界最后，在第五部分將簡 單的介紹非常值正穩(wěn)態(tài)解的不存在性 3 東北師范大學碩士學位論文 2 當時間趨于無窮大時解的性質(zhì) 在這部分我們研究與時間相關(guān)的系統(tǒng)( 1 6 ) 的解在t _ o o 時解的性質(zhì)設(shè)( ”l “r ) ，u 2 ( x ，f ) ，u 3 ( x ，) ) 是系統(tǒng)( 1 6 ) 的任意正解我們首先給出持久性的定義 定義2 1 如果對于系統(tǒng)口矽的任意正解( u l ( x ，f ) ，r 2 ( x , f ) ，u 3 “，) ) ，存在正的常數(shù)m 和脫滿 足m l i m i n 艦伉力l i m s u p u ( x ，力必i = 1 ，2 ，3 則我們說系統(tǒng)矽是持久的口刃 ，_”r_ 為了得到l i m s u p u i ( x , f ) sm , i = 1 ，2 ，3 我們引入下面的輔助方程： t - - - - o o t 0 1 ，一d lz x o , l2a t o i 一口砰一叫l(wèi) c 屹，工q ，t 0 ， t 0 2 f d e a t 0 22f o l i 0 2 一b 2 0 ) 2 ，x q ，t 0 ， 嘗：嘗_ o ， x 魄舢 2 j d vd y t o l ( 一0 ) = u l ，o ) 0 ，紕o ，0 ) = u 2 0 ，0 ) 0 ， z 施 我們首先確立系統(tǒng)( 2 1 ) 在l t ( 鰳下的范數(shù)，然后我們通過1 范數(shù)確立汐空間的范數(shù)，其 中p 是充分大的這種方法已經(jīng)被很多作者使用，例如 2 4 ，2 5 ，3 0 引理2 1 對于系統(tǒng)仁砂的任意非負解存在一個正數(shù)，必滿足 i i o , l 吣 i ，存在一個正常數(shù)c 0 ，礬，醍，q ) ，滿足 i i t o i ( t ，) l l v c ( p ，西，, 2 ，q ) ( 1 1 0 - , 1i l l + l i t 0 2 i l l ) 證明：在q 上積分方程組( 2 1 ) 的第一個方程有： 象l u - 出一j ! ：山t 出+ j ! ：c p + - 一a o , ；) d x 一j ! ：山一出+ 墮?quán)?積分上式有： 上山瓜，慨一上u - ( 五0 ) 出+ 魚竽刪( 1 一礦，) 即存在充分大的 滿足l l 叫l(wèi) l l 工t n 在q 上積分方程組( 2 i ) 的前兩個方程且兩式相加有： 4 東北師范大學碩士學位論文 筆l + a n ) d x = 上( 刪一刪t 一6 2 u 一6 2 忱一耐+ ( 口+ 6 2 t 脅 一j ! ：+ 叱脅+ 上( ( 口+ 齜一a 叫, b d x 一垃j ! ：l + 忱) 出+ ( a + 鉑b 2 ) 2 1 舛 積分不等式 墨上( 山t + 忱) 出一6 2j ：( - + 忱) 出+ 墮筆叢酬 我們有： 上- + 紕) 出礦姊j ：( u - 0 ) + 忱“o ) ) 出+ 等惻( 1 一礦蚴) 這意味著對于足夠大的m 有i i u , l l t + l i 山2 吣胞 對于紕( f = l ，2 ) 的方程兩端乘以艫一1 且在q 上積分有； 上u - l t o i t 出= 而j ! ：u 印一出+ 口上印出一口j ! ：印+ 1 出一j ：叫 忱砒 上c 孝她，出= 如上眈c 尹1 出+ 上山t 印出一如正印出 因為對于i = 1 ，2 ， 。 又 又 故 所以 釁釁= v ( v q ) 卵= v ( q v a j f 叫q 一) 釁= q a t o i 釁q + g 一1 ) l v o , i 1 2 叫q q ， 蚴礦1 = 石1 q 叫q 一國- 1 ) 酬2 u - - 2 - - - - 弓i v 釁1 2 一。- 1 ) 酬2 艫， v 卵1 2 = i q v t o f 叫q - 11 2 = q 2 1 v t o i l 2 艫- 2 ， 幼艫= 一曇l v q l 2 一等l v 研1 2 = 一竽l v 釁1 2 2 q - i 、t d x + 0 魄出 s 一、2 q r - 1 上f l ( d l l v 川1 2 + 杰i v 川1 2 ) 幽+ 口j ! ：印出+ 上甜- 印出+ 上印+ 1 出+ 口j ! ：印出 一1 2 q - 廣1d d v u q 獷+ 杰i v 鴣1 2 脅+ 口j ! ：( 印+ 孝脅+ i i 訓b 上( 砰+ 印脅 一1 2 q - 廣1f ( d , l v , q 1 2 + 噸i v 以1 2 脅+ ( 口+ 忉j ! ：和 + 霹脅 5 兩端同時乘以2 9 ： 歷d 上 + 印) 出一竿上( 嘶陽7 1 2 + d z j v q j 2 脅+ 2 和+ 忉上( 印+ 印脅 ( 1 ) 由尼倫伯格( n i r e n b e r g g a g l i a r d o ) 不等式； j ：p 出j ! ：i v i 釁1 1 2 出+ g r ”( 上嚴啪2 ， 其中0 s 掣，g = c f ( q ，m ) 0 且e - 叫是一個在三p ) 上的解析半 群( o i t = 卅f 鉚+ 石在( o ，r ) 上積分有t 縱，) = p - t a i o ) i 伍0 ) + f 礦( 刪似下) 如 6 ( 2 ) 東北師范大學碩士學位論文 通過i i o , i l l x o = i m ? 蛐i l 尸把算子半群e - 啦從空間x 映射到空間f = d ( a a ) 上其中群是一 個關(guān)于a j 的分數(shù)冪我們選取p 滿足l q 2 p 口 0 ，滿足，對于所有的x q ，t 0 ，有u 2 ( t ，曲 鮑+ s 又 ( 而k l u 2k , = 雨m 而k l u 3 。， 所以 絲 l ( 2 2 ) d ， u 3 砷0 ， 工q 設(shè)以f ) 是下面常微分方程的一個解： 7 東北師范大學碩士學位論文 7 ( f ) = c 以一b l + 石怒) ，f 丁 且( d = m n a x o _ ( 。，d 0 ， 則 u ，( f ) ：u ( ( k l - b 1 ) ( k 2 + s ) 。- b i m c o ) ( ( 肼一b 1 ) ( 恐+ 功一b l ，l u ) m o ) 十 2 + s 解方程叫7 ( f ) = ( ( 肼一b o ( k e + 功一b l 腳曲， 有 ( f ) 2 c e - k t + b l m ，、 療 其中k = 倒一b 1 ) ( k 2 + 功，c 是任意常數(shù) 可知 k 0 時l i l nu ( f ) = k b l m ， f - _ + o o ks 0 時，蛾山( 力= 0 鰓= 蘆 當肼 b l 時； 當0 b l ，1 一b e 一( 1 m ) 0 時，則在q 上我們有? l i m i n f u _ f ( t ，功m ，i = 1 ，2 ，3 f 十 證明：由( 1 6 ) 的前兩個方程，我們有： 引入輔助方程： 8 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 也 ”一 洲毛腳 + 一 柏 川 口 甜 = 一 ” 甜 講 噸 一 一 打 甜 ，iill，、ll 齜+ 5 i m 善 一 一 郵 他 眈 解方程組( 2 4 ) 得到三個解；( o ，o ) ，( 1 ，o ) ，( 2 + 擊，者( 1 一如一言) ) 通過系統(tǒng)( 2 4 ) 的特征方 程判斷穩(wěn)定性，易證( o ，o ) ，( 1 ，o ) 是不穩(wěn)定的，- f 證( b 2 + 磊i ，者( 1 6 2 一芻) ) 是全局漸進穩(wěn)定的： 設(shè)( 白l ，奶) = ( b 2 + 丟，舟( 1 6 2 一丟) ) 構(gòu)造l y a p u n o v 函數(shù)： 則 以f ) = 再1 石上t 一面t 一西一歷等) 出+ 上一鋤一奶助瓦a 2 ) 如 一l i r a 佃i i 山t 一( 6 ：+ 芻) 1 1 2 = 。，取s 充分小，禮t 6 2 + 芻一s ，同理眈i a 玎( 1 6 2 一芻) 一8 令山l o ，o ) l d i ( x , o ) t 0 2 ( x ，o ) u 2 ( x ，o ) 如果l “，) ，眈以力) 是( 2 。4 ) 以初始值l “o ) ，忱o ) ) 的一個解，當f 0 時，由比較原 理我們有o , l ( x ，f ) u l ( x ，0忱k f ) u 2 ( x ，o ，故； l i h m 佃i n f 6 2 + 芻m s 壘緯 ，+ + 一 由( 1 6 ) 的第三個方程： 故 4 3 t - b t u 3 + l i h m + i 。n f 孑備( 1 6 2 一芻) 一s 壘鮑 u 3 t d 3 a u 32 6 l 幻+ 地2 甜3 m u 3 + 鮑 m 1 4 3 + u 2 根據(jù)比較原理，我們有： 卜m b l u 3 + ( 材一6 l 涎紅】 取m 足夠小，則定理可證口 ( k t _ b 1 ) u 2 m b l 9 k l u 2 u 3 m u 3 - i - u 2 東北師范大學碩士學位論文 定理2 3 當m b l ，1 一b 2 一( u r n ) 0 時則在q 上系統(tǒng)矽有持久性 證明：令m = m a x k l ，k 2 ，k 3 1 再由定義1 1 ，定理2 1 和定理2 2 可顯然證出口 1 0 東北師范大學碩士學位論文 3 平衡點的穩(wěn)定性 定理3 1 當b 2 l ，肼b l 時，h l i m + o 。( l ( 。，f ) ，u 2 ( 。，f ) ，u 3 ( ，) ) = ( 1 ，o ，o ) 其中( u l ，u 2 ，蚴) 是系統(tǒng)“矽 在q 上的解( 1 ，0 ，o ) 是r ；中“矽的全局漸近穩(wěn)定平衡點 證明：仍舊考慮輔助方程( 2 1 ) 設(shè)甜i ，) ，u 2 “d 是工q 在( 2 1 ) 上的正解，并滿足n e u m a n 邊 界條件： 等等= 箋導：o 工挑五 ， o ，且l o ，o ) o 紕“0 ) 2o d yd y 。、。一、 構(gòu)造v 函數(shù)： 則 n ( 力= f ( w l - 1 - l n w l ) 出+ 一 w 2 c l x 一 吖c 力= 上藝 u ，出+ j ! ：蚴出 ：d l ( o - ) 1 - 1 ) a w l + 型( 舢l 一口彳一叫l(wèi) 叫2 a x + r ( 竺壘迪+ l 也一6 2 忱) 出 v “ o ) i 0 1 ： j q w 2 = 一函上警出一一噸j ：警出+ j c 刪一一棚一甜- 忱一口+ 刪- + 眈+ 。紕一b 2 w 2 ) d x 上( 一刪 + 2 刪- 一批+ 上二6 2 紕) 出 = 一口上- 一1 ) 2 出+ j ! ：( 1 6 2 ) 】出 所以有 ，l ! m ( u l i l l 2 = 0 ，l i r ai o l j l o i l 2 = 0 ( 3 1 ) + c o tf _- - - * + o o 取g 充分小，了兀s t 當t 丁時有u l o 1 + 島紕也o 0 + s = e 由比較原理，( 1 6 ) 的任意解4 1 ，f ) c a ) 1 ，f ) l + s ，u 2 ( x , r ) 眈f ) 0 + s 因此 f u 3 t - d 3 a u 3 = “3 ( _ 6 - + 而k u 2 腳，( 曲t + 羔q 1 麗o u 3 - 0 ， 艇訛， l l 的o ，丁) o ， x q 東北師范大學碩士學位論文 由比較原理及類似定理2 i 中的證明，有： l i m1 1 3 0 ，0 ) = 0 ， x q f _ + o o 由( 3 1 ) 和( 3 2 ) ，我們得出結(jié)論； f 1 i m + 。i ( u l ( x ，o ，( u 2 ( x ，0 ，( u 3 ( x ，o ) 一( 1 ，0 ，o ) l l c ( & c ( 五) c ( f i ) = o 口 ( 3 2 ) 但由于前面的討論，我們知道當毋存在時 當且僅當b 2 1 ，則歷、歷均不存在，我們一步一步考慮，于是下面我 們研究當1 , 2 0 ， x q 由( 1 6 ) 的前兩個方程，我們有； 引入輔助方程； 屹ul，t一-噸dl蚴ul=au。眈l1一-幻(u屹1+地)】一川地 忱tol，t：=aw。忱l1一-也(w忱l+to如2)“-崆toln2+西山l 可知( b 2 ，亟 字) 是( 3 4 ) 的解定義為歷l ，面 構(gòu)造v 函數(shù)： 圪( 力= 擊上( u - 一面t 一五一加等脅+ j ：一西一面加薏脅 1 2 ( 3 3 ) ( 3 4 ) 東北師范大學碩士學位論文 吒c d = 擊j ! ：c - 一碧如，出+ j ! ：c - 一慧，忱，出 一i 一生f 噬出一噸r 咝出+ 一- 一f 】：r f ：i - 一c i 工- t 口+ 1j n c 0 1 ”j q 眈 上 者l 一面1 ) 一i a o 萬) l l 一歷1 ) 一紕l 一歷1 ) + ( 叱一西l 一6 2 ( 忱一面) 】出 j ! ：c 者吣驢等+ 等一等學+ 等學，出 = 南j ! ：卜砰+ 2 6 2 - 一醒敞 一者j ：_ 6 z ) 2 出 一者j ! ：石1 ) 2 出 所以有 l i mi p l 一歷l 2 = 0 ， f + c o l i m l 一面1 1 2 = 0 t - - - + + o o 取s 充分小，了ls t 當t t 時，有0 1 0 ，力歷l + g ，o ) i ( x ，d 面+ = s 由比較原理，( 1 6 ) 的任意解u t ( x ，r ) st o ! “f ) 歷l + 日1 1 2 ，f ) 忱“0 西+ 8 因此 f u 3 t - d 3 l x u 3 = u s ( 吶+ 而k l u 2 脅( - 6 l + 羆q 面o u 3 - o ， 艇訛， l lu 3 ( x , 乃 0 ，x q 由比較原理及類似定理2 1 中的證嘰有： 卜件l i r a 。u 3 ( x ，0 ) = 0 ， 由( 3 5 ) 和( 3 6 ) ，我們得出結(jié)論； 工q h l i m + 。1 1 ( 甜i ，力，( 眈( z ，力，( u 3 ( x ，f ) ) 一( 6 2 ，a ( i 1 - 丁b 2 ) a ，o ) 響c ( 面c ( 兩= 0 口 卜+ 十_ 1、7 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 定理3 2 的條件是肼b l ，我們知道此時( 1 6 ) 唯一的正穩(wěn)態(tài)平衡解不存在，所以下面我們 研究e s = ( u 1 ，嵋，“；) 存在時的穩(wěn)定性 令0 = l p 2 0 時，系統(tǒng)“矽的唯一正平衡解 ( “：，囈，囈) 是一致漸近穩(wěn)定的 證明：系統(tǒng)( 1 6 ) 在，囈，“；) 下的線性化系統(tǒng)是： 蜥= 材= 。甜+ 巨i 圣i 三；】 注意到：v f l 在算子三下是不變的這就意味著a 是三在局上的特征根，當且僅當a 是矩陣叫p + 五( ”：，喀嵋) 的特征值叫p + 五( “：，囈，嵋) 的特征多項式由下式給出： 、i ，f ( 椰= a 3 + b l f a 2 + b 2 j a + 君3 f ， 在這里 b 1 f = 弘j ( d r + d 2 + 如) + 么1 ， b 2 i= ( d i d 2 + d i d 3 + d l d 3 ) u ；- p i d l ( a 2 2 + a 3 3 ) + d 3 ( a l i + a 2 2 ) + d 2 ( a l l + a 3 3 ) + a 2 ， b 3 i 2i t ；d l d 2 d 3 - u 2 ( d l d 2 a 3 3 + d 2 d 3 a l l + d l d 3 a 2 2 ) + i t i d 3 ( a l i a 2 2 一a i 2 a 2 1 ) + d z ( a l l a 3 3 一a 1 3 a 3 1 ) + d l ( a 2 2 a 3 3 一a 2 3 a 3 2 ) 】一4 3 ， a i2 一( 口1 1 + a 2 2 + a 3 3 ) ，a 220 1 1 a 2 2 + a 2 2 a 3 3 + a l i a 3 3 一a 2 3 a 3 2 一a 1 2 a 2 1 一a 1 3 a 3 1 ， a 3 = d e 礬( “：，呸，嵋) 1 4 東北師范大學碩士學位論文 易證：a l l , a 3 3 ，a 1 2 ，a 2 3 0 ，a 1 32a 3 1 = 0 下證彳l o ，a 2 o ，a 3 o ，b 復 0 ，b 3 f 0 首先我們先證日l l + a 2 2 0 口i l + a 2 2 = a 一6 2 一k l 石- b l ：一口b 2 一口k l - _ b l m 席 】+ 等( 1 一k l 肘- b 1 ) k l b lb l 。 m kk l = 一口6 2 一等【口一壘k i 】 ，療 s 一口6 2 一k l ，行- j 【f b l 1 一b 肘1 m kk l = 一口6 2 0 4 3 2 a l i ( a 2 2 a 3 3 一a 2 2 a 3 3 ) 一a 2 t ( 口1 2 6 3 3 一a 1 3 a 3 2 ) + a 3 1 ( a 1 2 a 2 3 一a 2 2 a 1 3 ) = - a 2 1 a 1 2 a 3 3 0 ，經(jīng)過計算，我們有： b i i b 2 i b 3 i = m ；+ 龜p ；+ m 3 j i + a i a 2 + 彳3 ， 其中曬= ( d l + 如+ d 3 ) ( 講噸+ 函函+ 如噸) 一而杰函， m 2 = 一 ( 口l i + a 2 2 ) d l d 2 + d l ( 西+ d 2 + d 3 ) 】+ ( a l l + a 3 3 ) d 1 噸+ 如( 盔+ 如+ 以) 】+ ( a 2 2 + a 3 3 ) d 2 以+ 礬( 西+ 比+ 噸) 】1 ， m 32d l a 2 + a 2 3 a 3 2 + a 2 2 ( a l i + a 2 2 + a 3 3 ) + a 3 3 ( a l i + a 3 3 ) 】+ , 2 - 4 2 + a i 3 0 3 1 + a l l ( a 1 1 + a 2 2 + a 3 3 ) + a 3 3 ( a 2 2 + a 3 3 ) + d 3 1 2 + a 1 2 a 2 1 + a l l ( a 1 1 + a 2 2 + 0 3 3 ) + a 2 2 ( a 2 2 + a 3 3 ) 】 0 顯然蚴 0 ，m 2 0 ，下證m 3 0 以及a i a 2 + a 3 0 1 5 令m 3 = d l n l + d 2 n 2 + 噸3 其中 n i2 a 2 + a 2 3 6 3 2 + a 2 2 ( a l i + t 2 2 + a 3 3 ) + a 3 3 ( a i l + a 3 3 ) = 口1 l 啦2 + 口“啦3 + a 2 2 口3 3 一a 1 2 口2 l a 1 3 口3 l + a l l a 2 2 + z 2 + a 2 2 a 3 3 + a l ! a 3 3 + 蠢3 = 2 a 1 1 0 您2 + a 3 3 ) + ( 眈2 + a 3 3 ) 2 一a 1 2 a 2 1 0 n 22 a 2 + a 1 3 0 3 1 + a l t ( a l i + a 2 2 + a 3 3 ) + a 3 3 ( a 2 2 + a 3 3 ) 0 n 32 a 2 + a 1 2 a 2 1 + a l l ( a r t + a 2 2 + a 3 3 ) + a 2 2 ( a 2 2 + a 3 3 ) = a l l 口2 2 + 口l l 口3 3 + 啦2 口3 3 一口2 3 仍2 + a l l a 2 2 + 前i + a l i a 3 3 + a 2 2 a 3 3 + 2 = 2 a 3 3 ( a 2 2 + a 1 1 ) + ( ( 也2 + a 1 1 ) 2 一a 2 3 a 3 2 0 則m 3 0 a i , 4 2 + a 32 一( a t i + a 2 2 + a 3 3 ) ( a i l a 2 2 + a l i a 3 3 一a 1 2 a 2 1 ) 一a 2 1 a 1 2 a 3 3 = 口l l ( 口l l 口2 2 + a l l a 3 3 + 硅2 + 2 a 2 2 a 3 3 + 蠢3 ) + a l - 2 a 2 1 ( a l i + a 2 2 ) = 一a l l 【娩2 + 口3 3 ) 2 + a l l ( a 2 2 + a 3 3 ) + a 1 2 a 2 1 ( a l i + , 7 2 2 ) o 于是我們能得到這樣的結(jié)果。對于所有的i 0 ，均有b l f 歷r b 3 i 0 根據(jù)助“咖一覷m 泐判 別法，得出：對每一個i l ，、i ，f ( a ) = 0 的三個根l i l ，如，而，都有負實部則由 1 8 1 中的定理3 3 ， 我們能得到結(jié)論口 綜上，當場，e 3 均不存在時z i 是系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定平衡點當e 3 不存在玨寸，歷是系統(tǒng) 的全局漸近穩(wěn)定平衡點如存在時，加入適當?shù)臈l件可證出它是系統(tǒng)的局部漸近穩(wěn)定平衡點 1 6 東北師范大學碩士學位論文 4 正穩(wěn)態(tài)解的有界性 這段的目的是通過先驗估計給出正解的上下界為了以后的證明，我們先引證下面已經(jīng) 知道的結(jié)果： 引理4 1 ( h a r n a c ei n e q u a l i t y , l i ne t 以尼功令c 2 ( q ) f lc 1 ) 是z x “x ) + c l j ( 功= 0 的解， 其中c c ( q ) ，1 0 滿足n e u m a n n 邊界條件，則存在c + ( 口) ，當i i c l l 。s 口時有i n a x o ) c + m i n o j n q 弓i 理4 2 ( m a x i m u m p r i n c i p l e , l o ua n d n i , f 2 嗄令g ( x ，) c ( q 尺1 ) ，b j ( x ) c ( q ) ，j = l ，2 ， f z j 如果批c 2 ( 固nc 1 ) 在q 上時滿足z x “x ) + eb ( x 地j + 甙五u ) 0 在訛時滿 j = i 足a 山0 , g - c j ( 和) = m _ a x w , 則甙x o ，c l ( 拗) ) 0 l 鯽如果帥儼) nc 1 ( q ) 在q 上時滿足c 刪+ 乃( 功魄，+ 時，以功) 0 在訛時滿 _ r 2 1 足a w a v 0 且u c ) = n 訌n 雌則g ( x o ，( 和) ) 0 引理4 3 ( d e l p i n o , 口z ) 令口是一個正常數(shù)，叫c 2 ( q ) 是一個非負函數(shù)滿足 在q 上l 一u + 口r f o o ， 在q 上：c g o j a v = o 那么 c j ：毗 工氤 這里的c 是一個只依賴于a , n 和q 的正常數(shù) 為了下面的證明方便，定義常數(shù)( 西，噸，d 3 ) = 以( 口，b l ，b e ，而，( 1 2 ，毛t , m ) = a 系統(tǒng)( 1 7 ) 的正穩(wěn) 態(tài)解的有界性的結(jié)果將在下面給出證明： 定理4 1 設(shè)d l ，d 2 ，d 3 是任意給定的正常數(shù)，則存在一個常數(shù)c = c q ，a ) ，滿足當肛6 l o ，且西d i ( i = l ，2 ，3 ) 時，對系統(tǒng)口矽的任意解( u l ，1 1 2 ，1 1 3 ) 滿足 c - 1 l i c f = l ，2 ，3 1 7 證明：第一步：證( 甜i ，4 2 ，u 3 ) 有上界即u i 0 ，用反證法，假設(shè)存在一列( 函f ，d 2 i ，d 3 i ) ，s t 系統(tǒng)( 1 7 ) 相應的正解 n i f ，t 1 2 j ，“3 j ) 滿足當i _ o o 時，有甜l f 一甜l ，1 1 2 i _ u 2 ，l t l j n u 3 i _ 0 q 則 令 一6 i +m u 3 + u 2 1 ，一 ：一【一b t + 叻f “等 m u 3 + u 2則舊i o o 0 q 由( 1 7 ) 的的第一個方程：， 一d l a u l2a u l 一餓本一a l l l l l 2 一u l u 2 ， 貝4一, t l a u l a u l a c u l a c u t c u l ， 那么 一川+ 去( 2 口c + c 一口) “- o + 因為c 充分大，則2 a c + c 一口是一個大于0 的常數(shù)由引理4 3 ，