（計算數(shù)學(xué)專業(yè)論文）大分子的彈性桿模型、珠簧模型及其數(shù)值模擬.pdf

a b s t r a c t t h ed y n a m i c so fd n am a c r o m o l e c u l ei sa ni m p o r t a n ts u b j e c ti nb i o m e c h a n i c sw h i c h h a sd r a w ng r e a ta t t e n t i o ni nr e c e n ty e a r s e l a s i cr o da n db e a d s p r i n ga r et w oi m p o r t a n t m o d e l sf o r a n a l y z i n g i t s d y n a m i c a lp r o p e r t i e s s i n c el o n g c h a i n m o l e c u l e sh a v e m a c r o s t r u c t u r a lc h a r a c t e r i s t i c si nl e n g t ha n dn a n o s c a l ei nd i a m e t e r sh a v em i c r o s c o p i c n a t u r e ，m a n yk n o w l e d g e si nd i f f e r e n tf i e l d ss u c ha se l a s t i c i t y , b r o w n i a nd y n a m i c sa n d m o l e c u l eb i o l o g ya r ec o m b i n e dt os t u d yi t sm o d e l i n g ，n u m e r i c a ls i m u l a t i o na n dd y n a m i c a l a n a l y s i s ，a n ds i g n i f i c a n tp r o g r e s s e sh a v eb e e nm a d er e c e n t l y i nt h i sp a p e r , t h ec o n f i g u r a t i o ns p a c eo fe l a s t i cr o di ss t u d i e d t h el a xp a i rf o rs m k e q u a t i o nw i t hd i s c r e t et i m ei so b t a i n e df o rk i r c h h o f fr o d f e n ed u m b b e l lm o d e la n d h o o k e a nd u m b b e l lm o d e la n dt h e i rn u m e r i c a ls i m u l a t i o na r ea l s oi n v o l v e d t h em a i n r e s u l t si nt h i sp a p e ra r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) a tt h em a c r os c a l e ，b a s e do nt h ek i r c h h o f fe l a s t i cr o dm o d e l ，t h el a xp a i rf o rs m k e q u a t i o nw i t ht i m ed i s c r e t ei sd i s c u s s e d ，a n dt h es e m i d i s c r e t ek i r c h h o f fr o de q u a t i o ni s o b t a i n e d ( 2 ) a tt h em i c r os c a l e ，b a s e do nd u m b b e l ld y n a m i ce q u a t i o n s ，s m o l u c h o w s ke q u a t i o n s f o rb o t hh o o k e a nm o d e la n df e n ed u m b b e l lm o d e lw i t hi n t e r n a lv i s c o s i t yh a v eb e e n s o l v e d b yu s i n g i t 6f o r m u l a ，t h ee q u a t i o n sa r et r a n s f o r m e di n t oi t 6s t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，a n dt h e ns i m u l a t e dw i t hd i f f e r e n tp a r a m e t e r su s i n ge u l e rm e t h o d f i n a l l y , t h en u m e r i c a lr e s u l t sf o rb o t hm o d e l s a r ea n a l y s i s e da n dc o m p a r e d k e y w o r d s ：d y n a m i c s ；e l a s t i cr o d ；s y m m e t r i c a lc h a r a c t e r i s t i c ；d u m b b e l lm o d e l s ； n u m e r i e a ls i m u l a t i o n 5 5舢93m 3 ，iiil洲y 目錄 引言l 第一章彈性桿和布朗運動的相關(guān)知識4 1 1 彈性桿的相關(guān)知識4 1 1 1 彈性桿動力學(xué)的基本假設(shè)4 1 1 2 彈性桿k i r c h h o f f 方程和s m k 方程6 1 2 布朗運動的相關(guān)知識9 1 2 1 布朗運動的定義9 1 2 2 s m o l u c h o w s k 方程和i t 6 公式1 1 1 2 3 隨機模擬的e u l e r 法1 3 第二章d n a 彈性桿的半離散模型- 15 2 1 半離散彈性桿動力學(xué)方程的l a x 對稱1 5 2 2 彈性桿動力學(xué)的構(gòu)形空間1 5 2 3 ，一離散s m k 方程的l a x 對稱l6 第三章d n a 分子啞鈴式的布朗動力學(xué)模型2 l 3 1 聚合物分子模型的布朗動力學(xué)模擬2 l 3 2 模型描述2 1 3 3 模型離散2 2 3 4 數(shù)值模擬及模型分析2 3 結(jié)論2 8 參考文獻2 9 攻讀學(xué)位期間的研究成果3 2 致謝3 3 學(xué)位論文獨創(chuàng)性聲明、學(xué)位論文知識產(chǎn)權(quán)權(quán)屬聲明3 4 引言 引言 近幾十年來，聚合物大分了結(jié)構(gòu)和生物力學(xué)性質(zhì)的研究受到密切的關(guān)注，并在 d n a 等的研究巾得到廣泛應(yīng)用。其巾，描述聚合物大分- 了宏觀力學(xué)性質(zhì)的彈性桿模 型和微觀力學(xué)性質(zhì)的珠簧模型，是研究d n a 大分子的兩種重要的動力學(xué)模型。 作為重要的宏觀力學(xué)模型，彈性桿在科學(xué)研究和工程巾都有廣泛的應(yīng)用。許多 重要的工程系統(tǒng)像海底電纜、鉆桿、纖維和大分子血n d n a 等，都可以模型化為彈 性桿討論。在1 0 0 多年的研究中，最具有影響力的是1 8 5 9 年k i r c h h o 鼴出的彈性桿結(jié) 構(gòu)模型，其彈性桿動力學(xué)比擬理論奠定了彈性桿靜力學(xué)的理論基礎(chǔ)“。 2 0 世紀(jì)5 0 年代以來，d n a 和分子生物學(xué)的研究快速發(fā)展。人們從微觀實驗中發(fā) 現(xiàn)，聚合物人分子的物理性質(zhì)和彈性桿類似，如一個小的片段表現(xiàn)出很強的剛性， 而較長的片段則表現(xiàn)出柔性。d n a 等人分子結(jié)構(gòu)復(fù)雜，存在復(fù)雜的內(nèi)部相互作用， 以人體d n a 分子為例，這種直徑只有2 納米而長度可達數(shù)厘米的長鏈分子，彎曲、纏 繞、折疊在充滿液體的細胞核中，形成復(fù)雜、多尺度的動力學(xué)性質(zhì)。在以往的研究中， 人們從微觀和宏觀的角度探索了d n a 等聚合物大分子的各種特征。二者是同一物理 問題的不同尺度的描述，其數(shù)學(xué)理論分析不盡相同，各自導(dǎo)出的數(shù)值計算方法也大 相徑庭。 利用彈性桿模型研究d n a 已有4 0 多年的歷史。b e n h a m 舊1 ，l eb r e t ”等首先利用 k i r c h h o f 鯉論研究了d n a 的彈性桿的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，s h i ，h e a r s t 刪。等在k i r c h h o 斛莫型的 基礎(chǔ)上，以曲率和撓率為變量建立了描述d n a 彈性桿的s c h r o d i n g e r 方程。以e u l e r 角 為位形變量，利用k i r c h h o f f 的動力學(xué)比擬方法，把彈性桿軸線弧長s 作為擬時間變量， 則彈性桿的結(jié)構(gòu)方程可以比擬成e u l e r 習(xí)1 體定點轉(zhuǎn)動的動力學(xué)方程，動力學(xué)的經(jīng)典方 法可以應(yīng)用于分析彈性桿的結(jié)構(gòu)力學(xué)性質(zhì)，建立相應(yīng)的l a g r a n g e 方程、h a m i l t o n 函數(shù) 和相關(guān)的守恒性質(zhì)。這些結(jié)果在劉延柱憎。的著作中有詳細論述。經(jīng)典的k i r c h h o f f 模 型一般利用e u l e r 角叫描述，由于e u l e r 角描述的平衡方程是強非線性的且角( ，秒，妒) 當(dāng)秒= 勛時出現(xiàn)奇點，給數(shù)值計算帶來困難。故彈性桿的上述擬動力學(xué)理論不能有 效地應(yīng)用于彈性桿的數(shù)值計算。k e h r b a u m 1 和h u 副引入e u l e r 參數(shù)代替e u l e r 角給出 了彈性桿軸心曲線的數(shù)學(xué)描述。k i r c h h o f f 彈性桿假設(shè)忽略拉伸正應(yīng)變和彎曲剪應(yīng)變 作用，對許多問題的描述有較大的偏差。隨著研究進展人們不斷發(fā)現(xiàn)，彈性桿在運 動中會發(fā)生自接觸現(xiàn)象，從而產(chǎn)生一個接觸力。由此開辟了彈性桿研究的一個新領(lǐng) 青島人學(xué)碩十學(xué)位論文 域彈性桿的自接觸問題。近3 0 年來，人們發(fā)展出許多新的模型和數(shù)學(xué)工具描述 d n a 的結(jié)構(gòu)特性，如w e s t c o t t 等= 。分析了d n a 彈性桿的自接觸力，c o l e m a n 和 s w i g o n 運用分析方法得到了具有自接觸點的彈性桿的平衡結(jié)構(gòu)。 作為對k i r c h h o f f 彈件桿模型的改進，c o s s e r a t 考慮桿的軸向線應(yīng)變和彎曲剪應(yīng) 變等因素，建立了更精確的彈性桿平衡方程n 羽n6 l ，其中s m k 方程n 鉑是一種重要的 對稱表述方法。l a x 刊解釋了非線性偏微分方程和微分算_ 了之間的關(guān)系，并由k d v 方程得出了l a x 對和l a x 表示法。m a d l e r ，b k o s t a n t 。指出了l a x 型的完全可積 系統(tǒng)與軌道方法之間的關(guān)聯(lián)性。b a k u p e r s h m i d t ，g e o r g ew i l s o n “修正了l a x 方程。 e r i cd h o k e r ，d h p h o n g 舊利用譜參數(shù)構(gòu)造了與有限維李代數(shù)相關(guān)的h a m i l t o n i a n 系統(tǒng)的l a x 對。m a r i ap r z y b y l s k a 糾提出了廣義的標(biāo)準(zhǔn)l a x 方程，并分析了方程的性 質(zhì)給出了應(yīng)用實例。s h i ，m c c l a i n ，和h e a r s t 伸州2 5 3 給出了彈性桿動力學(xué)的三種不 同方程，即弧長s 和時間，都連續(xù)、s 離散，連續(xù)以及s 和t 都離散的s m k 方程的l a x 對稱。 另一方面，人們把經(jīng)典力學(xué)的方法和分子生物的實驗與統(tǒng)計分析技術(shù)相結(jié)合對 d n a 的桿狀螺旋結(jié)構(gòu)進行研究，也取得了人量成果。從實驗角度，p e r k i n s “最早用熒 光顯微鏡研究了d n a 在均勻流中的伸展運動，m a r k o 雨t l s i g g i a 1 ，l a r s o n 馴，z i m m 別 和l a r s o n m 根據(jù)p e r k i n s 提供的數(shù)據(jù)，建立了d n a 的啞鈴式模型。p e r k i n s 口門口2 l ，s m i t h 和c h u 。”研究了短鏈d n a 分子在拉伸流中的運動，按照d n a 構(gòu)型的不同將其分類，如 啞鈴型、半啞鈴型等。 大分子b r o w n i a n 動力學(xué)模型的計算機模擬也成為流變學(xué)領(lǐng)域的一種數(shù)值分析 手段。為了模型的簡化，一個基本的假設(shè)是把分子模型化為珠簧模型。f i x m a n 1 運 用平衡態(tài)b r o w n i a n 動力學(xué)分析了具有內(nèi)部粘性的h o o k e a n 啞鈴的流變學(xué)性質(zhì)， c c h u a 和j d s c h i e b e r h 刮運用非平衡態(tài)b r o w n i a n 動力學(xué)在各種流和不同粘度的條 件下通過求解h o o k e a n 啞鈴模型，檢驗了g a u s s i a n 近似的結(jié)果，方建農(nóng)和范西俊啪 運用非平衡態(tài)b r o w n i a n 動力學(xué)模擬了f e n e 啞鈴分子模型在定常拉伸流動和突然開 始拉伸流動中的運動，a p gv a nh e e l ，m a h u l s e n 和b h a av a nd e nb r u l e 在突 然剪切流和單軸拉伸流中，且在不同的參數(shù)下比較了f e n e 啞鈴和f e n e p 啞鈴的 不同性質(zhì)。x i a o d o n gy a n g 和r o d e r i c kv n m e l n i k n u 模擬了f e n e 啞鈴在穩(wěn)態(tài)剪切 流中的分子伸展與概率分布。 本文綜合考慮彈性桿模型和啞鈴模型的剪切、拉伸、扭曲形變和受外力、外力 2 引言 矩作用的一般情況，從宏觀和微觀兩方面研究了大分孑的動力學(xué)模型。主要給出了 以下結(jié)果： 1 、在利用彈性桿動力學(xué)方程和連續(xù)彈性桿模型的基礎(chǔ)上，研究了s m k 方程以 時間為離散變量的l a x 對稱結(jié)構(gòu)，并得出了k i r c h h o f f 彈性桿的半離散形式的方程。 2 、研究了以布朗動力學(xué)為基礎(chǔ)的f e n e 啞鈴模型和h o o k e a n 啞鈴模型，并對這 兩類模型進行了數(shù)值模擬，且與實驗值作了比較和分析。 本文的內(nèi)容共分為三章： 第一章介紹本文使用的有關(guān)符號、概念和相關(guān)彈性桿和布朗動力學(xué)的基礎(chǔ)知識 和理論。包括彈性桿動力學(xué)的基本關(guān)系式，彈性桿動力學(xué)的k i r c h h o f f 方程和s m k 方程，布朗運動的定義，表達式等，還有本文計算用到的s m o l u c h o w s k 方程，l t 6 公 式和隨機模擬的e u l e r 法。 第二章主要離散了時間變量，推導(dǎo)了s m k 方程的半離散形式的l a x 對稱，并考 慮了k i r c h h o f l 3 單性桿的運動時，離散的s m k 方程。 第三章討論了d n a 的兩類啞鈴式模型，首先分析了模型所受的彈簧力，以及 在此力作用下模型的運動方程，將模型離散化為i t 6 隨機微分方程，在各種不同的參 數(shù)下進行了數(shù)值模擬，并和實驗值作了比較和分析。 最后給出了本文研究的主要結(jié)論，以及需要改進的地方。 3 第一章彈性卡1 和布朗運動的相關(guān)知識 第一章彈性桿和布朗運動的相關(guān)知識 1 1 彈性桿的相關(guān)知識 1 1 1 彈性桿動力學(xué)的基本假設(shè) 以空間巾一點0 為原點，建立慣件坐標(biāo)系( o - 孝u f ) 。設(shè)r ( s ) r 3 是窄間巾一光 滑曲線。將慣性坐標(biāo)系( 0 一孝7 7 f ) 平移到曲線r ( s ) 上任意一點p ，記平移后的坐標(biāo)系 為( 尸一勿f ) ；以p 為原點建立彈性桿的截面主軸坐標(biāo)系( p - x y z ) ；根據(jù)剛體的有限 轉(zhuǎn)動定理，將坐標(biāo)系( p 一勿f ) 繞過p 點的某個瞬時軸日一次旋轉(zhuǎn)矽角后，就可以與 坐標(biāo)系( 尸一班) 完全重合。記瞬時軸日的基矢量日相對于坐標(biāo)系( p x y z ) 的方向余 弦為啊，紅，瑪。設(shè)有一個過點p 的向量口，記口相對于坐標(biāo)系( 尸一勃f ) 和截面主軸坐 標(biāo)系( p - x y z ) 的坐標(biāo)列向量分別為a o 和a 。那么存在坐標(biāo)系( 尸一勃f ) 相對于坐標(biāo)系 ( p x y z ) 的方向余弦矩陣a ，使得 其中 口o = 4 】口1 紅啊( 1 一c o s 痧) - h 3s i n # 霹( 1 - c o s # ) + c o s # 吃紅( 1 一c o s 矽) + s i n # 將a ，的各元素用半角公式化為以s i n ( 2 ) 和c o s ( 2 ) 的表示形式，且定義以下符號 ，痧、 盯s l 量j 吼鞏l s i n ( 9 ( 瑚，3 ，4 ) ( 1 1 ) 稱g = ( 9 1 ，q 2 ，吼，q 4 ) r 為e u l e r 參數(shù)。由( 1 1 ) 易得 彳+ 諺+ 菇+ 云= 1聽+ g 主+ g ；+ 蘄= ( 1 2 ) 將a 。的各元素用e u l e r 參數(shù)表示，并記用e u l e r 參數(shù)表示后的矩陣為q ( s ) ，則 4 必廬 n n 石r 吼 吼 j 2吃囊雙 十 一 + | 寶 啷 啷 一 一 一 iv，l，t 矗紅礙 肛見 “p 矗p 緲 n n ；穹 弓； 弓； “忽吃 + + 一 、l，、j、f 力力力 啷 啷 啷 一 一 一 l 1 l ，-、，、，l 砰紅矗玩繡 ，f。 i | a 青島人學(xué)碩十學(xué)位論文 e ( s ) = 2 ( g 卜9 ；) 一1 2 ( q 2 q 3 - i - q l q 4 ) 2 ( q 2 q 4 一q l q 3 ) 2 ( q 2 q 3 一q l q 4 ) 2 ( q 卜g ；) 一1 2 ( q 3 q 4 + q l q 2 ) 2 ( q 2 q 4 + q j q 3 ) 2 ( q 3 q 4 一q l q 2 ) 2 ( g 卜引一1 ( 1 3 ) 在慣性坐標(biāo)系( o - ) t ，彈性桿的中心線可由向量，( s ，) r 3 來描述，其巾s 是弧坐標(biāo)，是時間變量。在，( s ，f ) 上任取一點尸，以尸為原點建立彈性桿的截面主 軸坐標(biāo)系( p - x y z ) ，其中坐標(biāo)系五少，z 的單位方向向量正，d 2 ，d ，分別沿，( s ，f ) 的主法 線方向、副法線方向和切線方向。在彈性桿的運動中，坐標(biāo)系( 尸一彬) 是依附在截 面上的，但由于剪切、扭轉(zhuǎn)等作用的影響，在桿的運動過程中，嘎( s , t ) ，畋( s ，f ) 和 以( s ，f ) 一般不再是f r e n e t 坐標(biāo)系憎1 。設(shè)慣性坐標(biāo)系( o - c u e ) 的三個坐標(biāo)軸的基向量 分別為e le ：，e ，則由( 1 3 ) 可得以- 卜關(guān)系 珥( s ，t ) = q ( s ，f ) q ( s ，t ) ，( i = 1 ，2 ，3 ) ( 1 4 ) 由于，r 3 ，q s o ( 3 ) ，則彈性桿的構(gòu)形空間為r 3 xs o ( 3 ) 。 彈性桿動力學(xué)中最基本的關(guān)系m 3 歸結(jié)為 ，7 s ，) = 廠( s ，小戶( s ，f ) = r ( s ，t ) d ：= t o x d k ，d k = q x d i 其中表示關(guān)于弧長s 的偏導(dǎo)數(shù)，破表示關(guān)于時間，的偏導(dǎo)數(shù)； 性桿剪切拉伸形變的變量，】，( s ，f ) 表示速度，國是彎扭度向量， 彈性桿的線動量和角動量密度函數(shù)可以分別表示為 p ( s ，) = p ( s ) ) ，( s ，f ) m ( s ，t ) = 尬 ( 1 5 ) ( 1 6 ) j ( s ，) 表示描述彈 q 是角速度向量。 ( 1 7 1 ) ( 1 7 2 ) 其中p ( s ) 表示單位長度桿的質(zhì)量；j = ( 厶) ，( f ，y = 1 ，2 ，3 ) ，乞表示彈性桿截面關(guān)于截 面主軸坐標(biāo)系的正定慣性張量；q 表示角速度向量q 的第f 個分量。假設(shè)桿具有圓 截面且各向同性，則 5 第一章彈性桿和布朗運動的相關(guān)知識 厶= 0 ，i ，j ，3 3 = + j ，2 2 1 1 2 彈性桿的k i r c h h o f f 方程| 3 8 1 和s m k 方程n 陽 設(shè)作用在桿截面上的內(nèi)力和內(nèi)力矩分別為，( s ，) 和m ( s ，t ) 。另外，桿受到外力 g ( s ，f ) 和外力矩( j ，t ) 的約束。根據(jù)線動量和角動量的平衡關(guān)系可得 p ( s ，f ) = 尸( s ，f ) + g ( s ，f ) ( 1 8 1 ) 廊( s ，f ) = m 7 ( j ，f ) + ，( s ，) ，( s ，f ) + ( s ，f ) ( 1 8 2 ) 如果我們作彈性桿靜力學(xué)的分析，則( 1 8 1 ) 和( 1 8 2 ) 中關(guān)于時間，的導(dǎo)數(shù)將消 失，那么可以得到一個常微分方程組 f ( s ) + g ( s ) = 口 ( 1 9 1 ) m ( s ) + ，( s ) ，( s ) + ( s ) = 口 ( 1 9 2 ) 特別地，若彈性桿不受外力和外力矩的作用，我們可得 f ( s ) = 0 ( 1 1 0 1 ) m ( s ) + ，( s ) ，( s ) = 口 ( 1 1 0 2 ) 這就是彈性桿的k i r c h h o f f 方程陽3 在慣性坐標(biāo)系中的表達式。 根據(jù)慣性坐標(biāo)系和截面主軸坐標(biāo)系的關(guān)系，( 1 1 0 1 ) 和( 1 1 0 2 ) 寫成截面主軸 坐標(biāo)系( p x y z ) 的方程為 f ( s ) + ，( s ) = 口 ( 1 1 1 1 ) 硝( s ) + 國m ( s ) + 以，( s ) = 口 ( 1 1 1 2 ) 設(shè)內(nèi)力，和內(nèi)力矩m 在截面主軸坐標(biāo)系中的投影式分別為 f = 鼻嘎+ 易d 2 + e 以 ( 1 1 2 2 ) r 青島人學(xué)碩十學(xué)位論文 m = m l d i + m 2 d 2 + m 3 d 3 ( 1 12 2 ) 設(shè)想當(dāng)點p 沿曲線r ( s ) 以單位速度向弧坐標(biāo)s 的正向運動時，桿的橫截面以角 速度相對( p 一勃f ) 轉(zhuǎn)動。國為橫截面相對慣性坐標(biāo)系( o - 孝1 7 ( ) 的絕對角速度， 是與桿的彎扭變形和扭轉(zhuǎn)變形相關(guān)的矢量，故稱之為彎扭度。相對( p 一壚) 的投 影式為 = q 一+ 0 3 2 d 2 + 鴨以 ( 1 1 3 ) 利用( 1 1 2 ) 和( 1 1 3 ) ，得到方程( 1 11 1 ) 和( 1 11 2 ) 在慣性坐標(biāo)系( p 一班) 的投影 式為 誓+ 呸e q e = o 等+ 鴨鼻一q e = o 警+ 蚴e 一吐刪 警+ 哆m ， ，、 出 3 咝+ 皚m 。 三上，1 ( i s 31 警+ q m ： 二4 一l 出 1 鴨m 2 一e = 0 q 鴆+ e = 0 哆m 1 = 0 ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) 由于忽略了桿的體積力，各截面的內(nèi)力，為常矢量。將，的方向定為慣性坐標(biāo)軸f 的方向，f 軸相對截面主軸坐標(biāo)系各軸的方向余弦記為口，y ，則有 鼻= f 口，e = f ，e = f 7 ( 1 1 6 ) 其中f = l f i 。將上式代入方程組( 1 1 4 ) ，則有 7 第一章彈性樸和布朗運動的相關(guān)知識 塑+緲：yqd + 緲，y 一， s 警+ 鴨口一7 出 ?！?譬+ 啪5 一哆口 二+ 以一緲，口 出 ”2 ( 1 1 7 ) 當(dāng)彈性桿具有原始曲率和扭率時，設(shè)釁和趟為彈性桿的原始曲率，霹為彈性 桿的原始扭率，則截面內(nèi)力矩可表示為 m = 彳( q 一舛) ，m 2 = b ( 哆一趟) ，心= c ( 鴨一霹) ( 1 1 8 ) 將上式代入方程( 1 1 5 ) ，可得到彈性桿的平衡方程 4 d s o j + ( c 一召) ( 哆一趟) ( 氈一鴨o ) 一f = o b d 出m 2 + ( 彳一c ) ( 一霹) ( q t o o ) + f a = o ( 1 1 9 ) c d 出o , 3 + ( b 一爿) ( q 一鐘) ( 一趟) = 。 其中a ，b 分別為截面關(guān)于x 軸和y 軸的抗彎剛度，c 為截面關(guān)于z 軸的抗扭剛度。常 微分方程組( 1 1 7 ) 和( 1 1 9 ) 為描述彈性桿平衡的k i r c h h o f f j y 程。 定義符號曇，曇和曇，曇分別表示在慣性坐標(biāo)系下的導(dǎo)數(shù)和截面主軸坐標(biāo)系下 的局部導(dǎo)數(shù)，那么在截面主軸坐標(biāo)系( 尸一班) 下的轉(zhuǎn)動連續(xù)性方程為 8 m8 q o ta s 當(dāng)r ( s ，f ) 二階光滑時，得到連續(xù)性方程 ( 1 2 0 ) 一o f ：塑 ( 1 2 1 ) a ta s 根據(jù)牛頓力學(xué)的動量定理和對質(zhì)心的動量矩定理，可導(dǎo)出動力學(xué)關(guān)系式為 8 青島人學(xué)碩十學(xué)位論文 p ( s ) 詈一篆= 口 墊型b m 廠f ：口 a ta s ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) 方程組( 1 2 0 ) ( 1 2 3 ) 構(gòu)成了慣性坐標(biāo)系巾封閉的動力學(xué)方程組。將方程組巾的偏導(dǎo) 數(shù)轉(zhuǎn)換成截面主軸坐標(biāo)系中的局部導(dǎo)數(shù)，并利用角動量m ( s ，t ) = 加，線動量 p ( s ，f ) = p y ，則得到以下動力學(xué)方程組 絲+ 三q 緲：旦望+ 三q c a t2出2 ( 1 2 4 1 ) 望+ q 廠：宴+ 似) ， c a t丞 。 害一p = 蕓， 魯+ q 一+ y x p = o 出m + m + 廠f ( 1 2 4 2 ) ( 1 2 4 3 ) ( 1 2 4 4 ) 以上四個方程稱為s i m o m a r s d e n k r i s h n a p r a s a d ( s m k ) 方程。顯然從方程組( 1 2 4 ) ， 可以得到以下交換對稱，稱為l a x 對 s o ，x ( s + z ) 一x ( s ) 口( o ，c 2 f ) ，即x ( s + f ) 一x ( s ) 是期望為0 ，方差 為f 2 ，的正態(tài)分布； ( 3 ) z ( ，) 關(guān)于f 是連續(xù)函數(shù)。 則稱仁( f ) ，f o ) 是布朗運動或維納過程( w i e n e rp r o c e s s ) 。 當(dāng)c = l 時，稱仁( f ) ，f o ) 為標(biāo)準(zhǔn)布朗運動，此時若x ( o ) = o ，彳( f ) 口n ( o , t ) 。 定義2 ：設(shè) 曰( f ) ，t o ) 為布朗運動，記x ( f ) = b ( f ) + ，為常數(shù)，稱p ( f ) ，o ) 是帶有漂移系數(shù)為的布朗運動。 將帶有漂移的布朗運動的定義寫成微分形式，即質(zhì)點t 時刻位移的增量分解為 隨機性增量與確定性增量之和，有如下隨機微分方程 1 0 青島人學(xué)碩十學(xué)何論文 凹( f ) = 伽( ，) + d ， ( 1 2 6 ) 若擴散系數(shù)d 與漂移系數(shù)不是常數(shù)，而是，與x ( ，) 的函數(shù)，那么有如下更一 般的隨機微分方程 蚜( ，) = d ( f ，x ( f ) ) 曲( f ) + ( ，x ( ，) ) 出 ( 1 2 7 ) 不又主要米用士見象萬法，基十宏觀定律建豆士見象萬欄即s m o l u c h o w s k 萬程采摘 述分子運動。 1 2 2s m o l u c h o w s k 方程和i t 6 公式| 3 9 1 布朗運動最明顯的現(xiàn)象是擴散。為了簡便起見，我們考慮一維擴散。用c ( x ，f ) 表 示粒子在位置x 、時刻，的濃度。菲克定律描述了擴散的過程，也就是說當(dāng)濃度分布 不均勻時，存在一個擴散流量z ( x ，t ) ，它與濃度的空間梯度成正例，即 ( 糾_ d 塞( 1 2 8 ) 流量產(chǎn)生的微觀原因是粒子的隨機運動：如果濃度不均勻，從高濃度區(qū)域運動到低 濃度區(qū)域的粒子的數(shù)目比從相反方向運動的粒子的數(shù)目多。由這種數(shù)量的不平衡就 可得到( 1 2 8 ) 式。由于粒子的運動是相互獨立的，因而單個粒子的平均速度為零。 將( 1 2 8 ) 代入連續(xù)方程 妻：一罷 ( 1 2 9 ) 一= 一一 ii 西蘇 可以得到擴散方程 宴：d 鴛 ( 1 3 0 ) 一= ， ii 西 反z 如果存在外部勢能u ( x ) ，粒子將會受到外部勢能施加的一個力 ，：一_ o u ( 1 3 1 ) 出 第一章彈性桿和布朗運動的相笑知識 使得粒子產(chǎn)生一個非零的平均速度v ，在這種力很弱的條件下，v 與f 成線件關(guān)系， 即 1a u v = 芎8 x 其中常數(shù)孝為摩擦常數(shù)，l f 稱為遷移率。 粒子的平均速度會產(chǎn)生一個額外的流量卯，即 踟) = 一詈詈 所以由( 1 2 8 ) 和( 1 3 3 ) 知，總流量為 ，：一d 絲一三型 j a x 芒a ) c 從( 1 3 4 ) 可知，在平衡狀態(tài)下，由波耳茲曼分布可以得到以下關(guān)系 ( x ) 芘e x p ( 叫( x ) 燈) 這里后為玻爾茲曼常數(shù)，丁為絕對溫度。此時流量為零，即 一d 旦一了1c o u o x e q o x = o q 芒 由( 1 3 5 ) 和( 1 3 6 ) 可得，在平衡狀態(tài)下有 d ：= k t 善 這個關(guān)系稱為愛因斯坦關(guān)系。 將( 1 3 7 ) 式代入( 1 3 4 ) 式可得 產(chǎn)如豢戶一手r 夏托i j 因此擴散方程可寫為 ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) ( 1 3 5 ) ( 1 3 6 ) ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) 青島人學(xué)碩十學(xué)位論文 絲：旦土fk t o c + c 型1 西 o x 善l 敘 玉j 這個方程稱為s m o l u c h o w s k 方程。 設(shè)隨機過程x = ( f ) ，f o 對v o ，。 f 7 滿足如下積分 ( 1 3 9 ) x ( ，) 一x ( ，。) = f ( s ，( s ) ) 出+ f d ( j ，x ( s ) ) c 協(xié)( 5 ) ( 1 4 0 ) 或等價的寫成微分形式 x ( 多一式。) - - i x ( ，t ) d + ，( d ( j ) ) 朋( f ) ( 1 4 1 ) 其中( ，x ( ，) ) 和d ( ，x ( ，) ) 是二元連續(xù)函數(shù)，稱j ( ，) 為i t 6 隨機過程，稱式( 1 4 0 ) 為i t 6 隨機積分方程，( 1 4 1 ) 式為i t 6 隨機微分方程。 設(shè)x = x ( f ) ，f o ) 滿足等式( 1 4 0 ) ，y = f ( t ，x ) 是二元函數(shù)，且具有連續(xù)偏導(dǎo) 數(shù)普，要，可0 2 f ，令y = 廠( ) ) ，則過程y = 】，( f ) ，f 。) 也是隨機過程，且對 v 0 - 0 ，維納增量召( ，) 一b ( s ) 是獨立的高斯過程，均值為o ，方差 奠- j i t - s i 。 v 0 t o f ，0 = t o t 。= f ，令噩= 召( f ) ，則隨機模擬的e u l e r 數(shù)值算法 為 x + 山= x + k t ( t ，x ) 垃+ d ( f ，x ) 鹽 ( 1 4 4 ) 其中，a t = ，+ l 一，a b , = e + 一e 。 1 4 第二二章d n a 彈性桿的半離散模型 第二章d n a 彈性桿的半離散模型 2 1 半離散彈性桿動力學(xué)方程的l a x 對稱 在以往的研究中，彈性桿動力學(xué)以弧長s 和時間，為自變量的s m k 方程可以表 示為l a x 對稱的形式【16 1 。在論文1 4 2 1 巾用l a x 對稱研究了彈性桿的動力學(xué)方程，驗證 了此問題在一般情況下是可積的。但是它的解不能直接應(yīng)用于自變量，離散s 連續(xù)的 情況。以下將給出僅離散自變量，的情況，并且保持離散后方程組的可積性。 2 2 彈性桿動力學(xué)的構(gòu)形空間1 7 1 8 1 眾所周知，d n a ?？凇恳阅Ｐ突癁槟馨l(fā)生彎曲、扭轉(zhuǎn)、拉伸和剪切變形的彈性桿。 一卜文中所提到的彈性桿即指d n a ，“彈性桿的中心線”即為“d n a 的軸”。把 自變量，離散化，令t = n a t ，其中n 為整數(shù)，f 為步長。因此，函數(shù)s ( s ，t 1 可用 i ( s ，尬力或者廠( s 力來表示。在給定點s 和t = n a t 的條件下，在彈性桿中心線 r ( s ，門) 上任取一點p ，以p 為原點建立彈性桿的截面主軸坐標(biāo)系( p - x y z ) ，其中坐 標(biāo)系x , y , z 的單位方向向量d l ，d ：，d ，分別沿，( j ，n ) 的主法線方向、副法線方向和切線 方向。 截面主軸坐標(biāo)系( p x y z ) 在時間，+ 垃= ( n4 t ) 的方位是由該坐標(biāo)系在點 t = n a t 作一個無窮小旋轉(zhuǎn)得到，旋轉(zhuǎn)的速度為 石( 蹦) = ( f ) 1 【q ( 冊) h q ( j ，n + 1 ) - q ( s , n ) ( 2 1 ) 矩陣中的元素為卿( j ，刀) = 嗥( s ，n ) + o ( a t ) ，1 f ，j ，k 3 ，這里q ( s ，z ) 是彎扭 度矢量緲的分量，是l e v i c i v i t a 符號，即 2 1 ，( f ，k ) = ( 1 ，2 ，3 ) ，( 3 ，1 ，2 ) o r ( 2 ，3 ，1 ) - 1 ，w h e n ( i ，k ) = ( 3 ，2 ，1 ) ，( 1 ，3 ，2 ) o r ( 2 ，1 ，3 ) ( 2 2 ) 0 ，w h e n ( i = j ) o r ( i = k ) o r ( j = k ) 向量珥( s ，刀) 沿著中心線的平移和旋轉(zhuǎn)的過程可由以下式子表示 z ( j ，療+ 1 ) = 巧( s ，門) + f ( s ，門) 諺( s ，以) + d ( & 2 ) ， 1 i 3( 2 3 ) 1 5 青島人學(xué)碩十學(xué)俯論文 r ( s ，刀+ 1 ) 的坐標(biāo)可由r ( s ，2 ) 的坐標(biāo)經(jīng)過如下無窮小變換得到 r ( s ，胛+ 1 ) = ，( s ，療) + & y ( s ，玎) + o ( f 2 ) ( 2 4 ) 其中r ( s ，刀) 是速度。 截面主軸坐標(biāo)系在時間，+ & 的方位是由該坐標(biāo)系在時間，的方位作一個無窮小 旋轉(zhuǎn)得到的。那么可得 仇巧( j ，聆) = ( s ，刀) 珥( j ，z ) ，1 f 3 ( 2 5 ) 其中( s ，刀) 是彎扭度向量。 彈性桿中心線在時刻f + & 位置可由它在時刻f 處的位置作一個無窮小平移得 到，平移的速度向量為 a ，( s ，玎) = 廠( s ，”) 2 3t 一離散s m k 方程的l a x 對稱 設(shè)z 和墨( f = 1 ，2 ，3 ) 為李群如( 4 ) 的生成矩陣 f o 00 l l00 - 1 正2 卜1 o l ( d 00 f ，00 0 i l0 0 0 五5 卜oo l t , 1 0 0 以：e lo 恥睦 以= k 3 = ( 2 6 ) ( 2 7 1 ) ( 2 7 2 ) z ， = 以， z ， = 噩， k ，t = 以 ( 2 8 ) 1 6 、， 0 o 0 0 0 0 0 0 o 0 o 0 、j 0 o o o o 0 0 1 o 0 o o 0 l 0 0 0 0 o 0 ，-。一，f。1-。-。-f-。一， 、0， o 0 o 0 、， 0 o o o 1 0 0 o o o 0 o 0 0 0 0 0 0 0 1 、j o o o o 、j o 0 0 o 第二章d n a 彈性桿的半離散模型 現(xiàn)在考慮線性系統(tǒng) 痧( s ，n + l ，五) = 時( j ，玎，五) 西( s ，刀，旯) ，a 。西( s ，刀，旯) = 礦( s ，協(xié)五) 痧( j ，豫五) ( 2 9 ) 這里u 和y 定義為 眇：u ，p ：j + 垃y ，u ：a + 二諗，v ：c + i d ( 2 1 0 ) 其中j 是4 4 單位矩陣，a ( s ，療，五) ，b ( s ，門，五) ，c ( s ，2 ，五) 和d ( s ，7 ，五) 由以下公式 給出 3 爿= 一( 粥+ 五2 f k ，) ， 3 c = 一( q z + 五2 形k ，) ， 3 b = 一彳( 尼z + 名2 k ) i = 1 3 d = 一五( f 以+ 允2 m ，k ，) ，= 1 以上q j ，廠，k ，p ，f ，緲，m ，m 都是關(guān)于s 和”( 旯除外，兄是參數(shù)) 的實函數(shù)。 為簡便起見，我們記廠( s ，n + l ，a ) = 1 ( s ，門，兄) = 1 。利用( 2 9 ) 的可積性條件可 導(dǎo)出關(guān)于l a x 對( 日，礦) 的l a x 方程 旦p ：日p p 眵 d s ( 2 1 1 ) 把( 2 1 0 ) 代入( 2 1 1 ) 得 一垃竽+f出望：at+b1)j+(c+國)址一j+(c+國)出(4+謬)d d s s ，l 、7 jl 、7 j 、 7 = ( 4 1 4 ) ( j + 出c ) 一國( b 1 一b ) + 機曰1 - b ) ( i + j t c ) + a t d ( a 1 4 ) 這里的f 表示虛數(shù)單位。f 隊a ( s ，紛，允) ，b ( s ，胛，五) ，c ( s ，1 1 ，旯) 和d ( s ，? ，力) 并分離實 部和虛部得到 ( ，) 。1 ( _ 一) 一蕓以 1 7 青島人學(xué)碩：卜學(xué)位論文 鳴。 ( 磷一咄) 乃+ ( 一一幾) q 一旯2 ( 矗一見) 鴨+ ( 聊：一朋。) c = 0 ( 出) 。( 叫一q ) 一蕓日 一( 叫一q ) 烏+ 旯2 啄( 一只) 巧 一兄4 ( r f ) 乃+ 旯6 毛。( 叫一_ ) 鴨= o ( 2 1 2 2 ) ( 出) 卅( d b ) 一蕓f 一 ( 一只) q + ( 叫一q ) 以4 6 。( 叫一弼) 乃+ ( f 1 一f ) 鳩= o ( 2 1 2 3 ) ( 出) 。1 ( 以一) 一蕓帆 嘞 ( 一一億) 乃+ ( 堿一) 鳥+ ( 以一q ) 鳩+ ( 一) = o ( 2 1 2 4 ) 其中f ( s ，f ) 和m ( s ，) 用米描述彈性桿系統(tǒng)的力和力矩，m ( s ，f ) 署np ( s ，t ) 表示圓 截面的角動量和線速率。是角動量所( s ，t ) 的分量，只是線動量p ( s ，t ) 的分量，z 和m 分別是內(nèi)力，( s ，f ) 和內(nèi)力矩m ( s ，f ) 的分量。這里江1 ，2 ，3 ，下標(biāo)f + 1 和i + 2 取 除以3 的模，以下相同。容易驗證，當(dāng)址0 0 ，”_ o o 時，方程( 2 1 2 ) 可以推出s 和t 都是連續(xù)的s m k 方程。顯然( 2 1 2 ) 共有1 2 個標(biāo)量方程，包含2 4 個獨立實變量q ， 廠f ，緲，乃，m ，e ，b ( f = 1 ，2 ，3 ) 。為此，我們可以選取1 2 個構(gòu)形關(guān)系使 得獨立實變量只有1 2 個。在彈性桿的研究中，通常用以下4 個向量方程來確定1 2 個構(gòu)形關(guān)系，使得方程( 2 1 2 ) 只含有1 2 個未知函數(shù) ( = 亭h ( 咄廠1 ( 2 1 3 1 ) 1 8 第二二章d n a 彈性桿的半離散模刑 m = 熹( 鴨廠) a 砂 、77 只：熹廳( 鯽) 只2 瓦廳y j m ，= 去慟) ，= 療i5 z ，】，i 。孢、”7 ( 2 1 3 2 ) ( 2 1 3 3 ) ( 2 1 3 4 ) 這里f = l ，2 ，3 且日( 鴨廠) 是彈性能量函數(shù)，辦( q ，) ，) 是動能函數(shù)。在其它的問題中可 以選取其它關(guān)系式，我們把它記為 e ( q ，j ，m , f , e o , 7 ，m ，b s ，a ) = o ( 2 1 4 ) 系統(tǒng)( 2 1 2 ) 和( 2 1 4 ) 可