（計算數(shù)學專業(yè)論文）一類穩(wěn)定混合型間斷有限元方法.pdfVIP

摘要 間斷有限元方法一定程度上保持了有限元的優(yōu)點，同時極大放松 對單元間連續(xù)性的要求，能夠更精確地逼近具有奇性、振蕩、邊界層等 特征的問題很多d g 格式，如局部間斷g a l e r k i n 有限元方法( l d g ) ，能 夠在形式上顯式求解，容易實現(xiàn)并行計算，并且具有很好的穩(wěn)定性 本文主要考慮經典橢圓方程的一個混合型間斷g a l e r k i n 方法的離散 格式，通常逼近格式的穩(wěn)定頊是由解或者其梯度在內邊界上的跳躍值 來決定但本文給出的穩(wěn)定項是由單元上的殘量決定文中討論了格 式的有界性、穩(wěn)定性及相容性，并給出了在所定義范數(shù)下的最優(yōu)誤差 估計 關鍵詞：間斷有限元方法；穩(wěn)定性；相容性；誤差估計 a b s t r a c t d i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o dk e e p sm a n ya d v a n t a g e so f c l a s s i c a lf i n i t ee l e m e n tm e t h - o d s t o t a l l yd i s c o n t i n u o n se l e m e n t sa l eu s e di nt h ea p p r o x i m a t i o ns c h e m e ，w h i c he n a b l e s d gm e t h o d st oc a p t u r eh i g ho s c i l l a t i o n so rv a r i a t i o n si nb o u n d a r yl a y e r s s o m ed gm e t h - o d s ，s u c ha sl d gm e t h o d ，c a l lb es o l v e ds y m b o l l y , a n dh a v en i c es t a b i l i z a t i o n i nt h i st h e s i sam i x e df i n i t ee l e m e n td i s c r e t i z a t i o nj sc o n s i d e r e df o rp a s s i o ne q u a t i o n w i t hd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n a n dh e wf o r m u l a t i o nf o rt h es t a b i l i z a t i o nw a si n t r o d u c e d i n s t e a do fl | s i n gaj u m po fs o l u t i o no ri t s 鏟a d i e n t 鷦i tw a su s u a l l yd o n ew e1 】s er e s i d u a l s t a b i l i z a t i o n t h eb o u n d e d n e e s ，s t a b i l i t ya n dc o n s i s t e n c ya l ep r e s e n t e d a n dt h eb a s i ce l r o t e s t i m a t e sa l eo b t a i n e dw i t hr e f q d e e tt ot h ed e f i n e dn o r m k e yw o r d s ：d i s c o m i n u o n s f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；s t a b i l i z a t i o n ；c o n s i s t e n c y ；e r r o r e s t i m a t e s 鄭重聲明 本人的學位論文是在導師指導下獨立完成的，學位論文沒有剽竊、抄襲等違 反學術道德的侵權行為，否則，本人愿意承擔由此產生的一切法律責任和法律后 果，特此鄭重聲明 學位論文作者：7 滲友 訟6 年q 月日 引言 1 9 4 3 年c o u r a n t 提出了三角形網(wǎng)格剎分的d i r i c h l e t 問題的分片線性逼近f ”，這 是有限元最原始的思想我國計算數(shù)學家馮康先生獨立于西方也發(fā)現(xiàn)了這種方 法至今，有限元方法已成為一門理論完善、應用廣泛的數(shù)值計算方法 現(xiàn)在有限元被廣泛應用到二階橢圓問題、拋物問題、雙曲問題，流體中的 s t o k e s 問題等等目前，該領域的研究相當活躍，隨著該門學科的發(fā)展，漸漸產生了 許多分支有限元離散求解，牽涉到線性方程組求解，隨之帶動了線性方程組求解 技術的發(fā)展及有限元軟件的研究為了提高求解效率和精度，產生了如多重網(wǎng)格 方法、區(qū)域分解方法、水平集方法等新興的研究方向，求解問題的不同需求、計 算量設法減少以及變分形式的多樣性產生了如非協(xié)調元、混合元等方法 s o b o l e v 空間插值理論，有限維空間的構造以及微分方程正則性理論都是有限 元方法能夠實現(xiàn)的理論前提有限元方法的基本原理是將原始問題轉化為變分 形式，即弱形式在較弱的空間y 上求解，然后構造出能逼近變分問題求解空間的 有限維空間，一般將求解區(qū)域q 剖分成許多小片，構造分片多項式，進而在有 限維空間求解這種方法稱為有限元方法若cv ，這種有限元稱為協(xié)調有限 元若仁v ，這種有限元稱為非協(xié)調的非協(xié)調有限元一度被稱為非標準的，因 它求出的解甚至根本不屬于原來的空間y 但近年來的數(shù)值實驗和理論分析說 明這種方法在某些意義下有較好的收斂效果 間斷有限元方法就是一種非常實用的非標準有限元方法1 9 7 3 年由r e e d 和 h i l l 首先提出，應用于求解中子運輸問題上世紀八十年代后由b c o c k b u r n 和舒 其望結合r u n g e k u t t a 法，將間斷有限元推廣到非線性守恒律方程和方程組，給 出收斂性理論后，該方法逐漸應用剄流體力學領域，諸如可壓縮的n a v i e r - s t o k e s 方 1 程，對流擴散方程等問題的計算 間斷有限元方法因為較好的保留了有限元和有限差分的優(yōu)點，因此得到越來 越多的重視因為保持了有限元的優(yōu)點，能夠處理復雜的區(qū)域邊界和復雜的邊界 條件問題，易于網(wǎng)格加密和高精度處理邊界條件，實現(xiàn)自適應算法由于吸收了差 分的一些特點，能夠顯式求解，容易實現(xiàn)并行計算，一般具有很好的穩(wěn)定性缺點 是程序設計復雜，計算量比較大，隨著大型計算機和并行計算機的問世，間斷有限 元方法已經能把低維問題推廣到高維了間斷有限元方法的文獻參見阻7 】、【1 2 - 1 3 l 等但這只是問題的一面，為了算得即快又準，還必須將計算建立在更精密的數(shù)學 機理上，建立精確的誤差分析是提高效率的基礎最近也有一些構造良好離散格 式的文獻，參見【8 、1 0 、1 1 】本文主要考慮經典橢圓方程d i r i c h l e t 問題的一個穩(wěn)定 化混合型間斷g a l e r k i n 方法的離散格式通常逼近格式的穩(wěn)定項是由解或者其梯 度在內邊界上的跳躍值來決定，但是本文給出的穩(wěn)定項是由單元上的殘量決定 文中討論了該離散格式的有界性，穩(wěn)定性及相容性，并給出了在所定義范數(shù)下的 誤差估計 2 本文的寫作安排如下： 第一章：介紹有限元及間斷有限元的預備知識，列舉本文所用到的記號和定理 第二章：本文考慮橢圓方程的一個的混合型離散格式討論了其性質并給出了誤 差估計 3 第一章預備知識 1 1s o b o l e v 空間和泛函分祈的基礎知識 設形為n 維歐氏空間，n 為艫中的區(qū)域p ( q ) ( 1 p m ) 表示一切定義在 q 上的p 次可積函數(shù)組成的集合，l * ( q ) 表示一切定義在上q 的本性有界的可測 函數(shù)組成的集合c ”( q ) 表示區(qū)域q 上m 次連續(xù)可微的函數(shù)組成的集合e * ( q ) 表 示q 區(qū)域上無窮次連續(xù)可微函數(shù)組成的集合 定義1 1 定義范數(shù) o t 8 p m ) = ( i ( z ) l 氣b ) ；， 1s p ， ，o i i “l(fā) 一( n ) = e s s p i “( $ ) l ，p = ( 1 1 ) 到en 設r r t 為非負整數(shù)，1 p o o ，函數(shù)空間 i 覃7 m p ( q ) = 讓：d o 牡e ，( q ) ，i d i 1 ) ， 依范數(shù) 怕驢( 1 墓z m 耐，l _ p o o ( 1 2 ) 0 “l(fā) l m ，* 2 川m s a 。xi i z 弘“0 o t * ，p2 。0 構成一個b a n a c h 空間，我們稱之為s o b o l e v 空間并定義半范數(shù) m 一一l 暑上m 耐，t 縱 i - i 。= , , x 嬰a x e s s s u p i d 4 u ( z ) i ，p = 0 0 i o l - - m z e i 孵”p ( q ) 為c 擴( q ) 按范數(shù)。在空間內的完備空同，則h 守，( q ) 也是個b a n a c h 空間 記 點p ( q ) = w 郵( n ) ，日礦( q ) = w 礦2 ( q ) ”i l 。= i i | | m t ：，i | h = i l 帕，f i m i i 。，。 則日”( q ) ，琊( q ) 是h i l b e r t 空間，其內積為 ( “，t ，) m = ( 礦 ，礦口) ，口日”( q ) i l m 跡定理設有界區(qū)域qc 艫具有m 階光滑的邊界，“丑”( q ) 則存在與u 無關的常數(shù)c ，使得 i i t o ，a n g 0 t i i ，+ l ，v u 日m ( q ) ，0 歹s m 一1 ( 1 3 ) 當艦是l i p s c m t z 連續(xù)盹有 i l u l lo t 鼬c l l “l(fā) l l ，v 日1 ( o ) 由于月鏟( q ) 是c 礦( n ) 的完備化空間，則根據(jù)跡算子的定義有 哪( n ) = “h m ( f 1 ) ：嘉l 舳_ 0 ，j = o l ，m l 如下不等式是s o b o l e v 空間中常用的不等式 ( 1 4 ) h i l d e r 不等式z 設1 p ，g 為一對共軛指數(shù)，即；+ ：= 1 ，且，驢( o ) ，g p ( q ) ，則 i 厶，扛) g ( 岔) 如l ( 矗i f ( x ) l 一婦) ；( 矗 雪( 霉) i a 如) m i n k o w s k i 不等式設1 s p ，l , g l p ( q ) ，則： ( 厶i ，0 ) + g ( 茁) f p 如) ；( 厶l ，( z ) i 嗨) ；+ ( 厶b ( l p 出) ； g r e e n 公式設暫，口日1 ( q ) ，則 z “嘉出z “筆如+ 厶伽c o s c 7 閩“ c 刀 5 其中q 為錐形區(qū)域鋤逐段光滑，7 為外法線方向設u 珥( q ) ，口h 1 ( 囝，則 z u 蠡如一z ”鑫如 設“e h 2 ( q ) ，t ，h 1 ( q ) ，在g r e e n 公式( 1 7 ) 中用嘉代替u 后對i 個變量求和， 則有 f ?！? u0 v ；如= 一z 舭厶考嘶 s ， g r e e n 公式把微分方程納入泛函框架，從而甩泛函分析研究微分方程和有限元 1 2 有限元空間的一些性質 在區(qū)域q 建立一個剖分 ，將q 分割為有限個具有l(wèi) i p s c b i t z 連續(xù)邊界的相互 之間沒有公共點的內部非空的有界閉集k 之和，即磊= u k ：k 以 k 稱為 割分單元h = m a x d i a m f ：r ) ，稱為剖分直徑常用到三角剖分、矩形剖分任 意四邊行剖分等剖分形式 定義1 2有限維空間k 稱為相應于剖分以的有限元空間，如果對每個 k ，集合f k = 仞：p = i k ，v v h k ) 是k 上的某一多項式類，并且存在一 個自由度集合膏= 1 l ) ，它是唯一可解的，即任給他，1 t ， 存在唯一一個函數(shù)p 氏滿足 如= 啦，l s i s 三元集合 k 忍，x ) 稱為一個有限元這里一般要求屬于某個s o b o l e v 空間 常用的插值空間 k = t h m ( n ) ：t ， i k p k ，k j h c 刀m + 1 ( q ) 逆不等式設剖分 是擬一致的，是 上的分片多項式函數(shù)，1 r , q 6 o o ，l s m ，則存在常數(shù)c = c b ，y ，f ，m ，r ，g ) ，使得 ( i i “k ) ；c h 一“州o t ；一；h t 一”( i i j r ) ， ( 1 1 1 ) k j hk e j h 當r = q = 2 時，則有 ( h ) s 洲一”( 呦， ( l 1 2 ) ( e j k e 由此可得有限元空間cw 1 一( q ) 上的一個常用的逆不等式 鯫l l ，p c h 10 卻，1 s p o o ，( 1 1 3 ) 定義1 3 給定有限元 k , p k ，眉) ，稱i i k v 為t ，h 。( k ) 0 是e 耳中出現(xiàn)的最 高階偏導數(shù)的階數(shù)) 的政一插值，如果 i i k v f k ，l ( i i k v ) = f ( 口) ，v l 乏k ( 1 9 ) 此時h k ：h 4 ( 耳) 一斥就稱為斥一插值k 為相應于剖分 的有限元空間，稱h 為”日( q ) 到k 一插值，如果 r l h v k ，l ( 1 l h vl k ) = z ( k 口) v k j i ( 1 1 0 ) “：( q ) 一k 就稱為一插值算子有限元空間作為求解問題所在的無窮維空 間的一個近似空間，必須具有一定的逼近性質 插值定理給定一個有限元仿射族，設相應的剖分j r , = u k ) 是正則的，在 參考元( 霞，戶，勻上成立下列關系 h 1 9 ( 露) 一c o ( r ) ， 1 p ( 露) 一礦”一( 霞) ， 7 淼( 霞) ci 礦“e ( 霞) ， 不依賴k 的常數(shù)c ，使對任何k 以和函數(shù)”- 一( 霞) ，有 扣一v l m 舟e 危礦i 鏟1 一m i 叫 + 1 晶耳 ( 1 1 4 ) 扣一r l r v l , ，l t x c h ? 1 。 訓+ l ，k ( 1 1 5 ) a q 是局部l i p s c h i t z 連續(xù)的 錨- a u ：= 。f 饑i n f。2, 忉 這里f l 2 ( f 1 ) ，方程的解滿足正則性條件利用有限元方法求解微分方程數(shù)值解， 其中( 扯t ，) = 厶v u v v d x ，( 口) = f n f v d 2 對問題( 1 。1 8 ) ，顯然y 秘8 ( t ，) 滿足l a x - m i l g r a m 定理的條件，因此( 1 2 0 ) 的解 存在唯一阿題( 1 1 9 ) 中需要適當定義v h ，( ，) t ，及k 上的離散模，使其滿足 l a x - m i l g r a m 定理的條件 對于協(xié)調元，( 1 1 9 ) 中的a h ( ，) 取為n ( ，) 即可由于i i h t v h ，結合插值逼近定 理和c e a 引理可得到協(xié)調元的能量模誤差估計i i 一恢進而，利用n i t s c h e 對偶 技巧可以得到“一的口模估計 對于非協(xié)調元而言，v h 仁v ，若可找到更大的空間s ) v 且s ) ，這時雙線 性型8 ( ，) 擴展到s s 上的一個延拓a ( ，) f 可以擴展到s 7 ，使得 a ( u ，t ，) = a ( u ，魄，移k ，( 口) = ，( 口) ，訛v 此時( 1 j 9 ) 中的( ，) 取為烈，) k 即可，如取似) 2 蓋上v t 協(xié)如 1 3 間斷有限元方法的一些基礎知識 我們設q 是一個有界多角形區(qū)域，并且在鼬上l i p s c h i t z 連續(xù)記靠為n 的一 個剖分，且q = ur ，瓢為瓦中的單元邊界的集合，破是內部邊界的集合，2 是 r ，k 外部邊界的集合冉= 謹u 定義1 4 跳躍值和平均值取e 馥，設單元甄n 確= e ，對標量函數(shù)。 驢( 0 ) ，我們記 v i i 。：= 腫k + ( 一n ) t ，k ， v e 程， t ，) l 。：= 些妻墊， ve 程， ”l 2 ( ) ，我們記 p l k ：= h i ， ve 露， 9 口扎：= ve e 2 ， 對向量函數(shù)r ( l 2 ) ) 2 ，我們記 h k ：= n t k i + ( 一n ) r i 硒， ve 馥 吼一墅凈，v e 馥， 對向量函數(shù)r ( 三? 磚2 ) ) 2 ，我們記 | r m _ n r , ve ， f ) k ：= r ， ve 8 用跳躍度和平均值來分部積分 。f a k u k t k n k = f e t ，k i t k l 竹一口k 2 t k 2 叫+ 正【t w t k n 】 c 即2e e z h t 2 = 五f ( z n 一鉤b b ) = 。筍+ 分虬+ v x 。2 ( r m 一，- k o ( 2 1 ) c c ： + 上【t k 7 k n 片】 c e c 碟 = 厶l v l r ) + 氐( t ， | r 1 簡單起見，取n r l k ，用高斯公式， j ；h r + 丘似h2 ；。泛佑船 ( 2 2 ) 2 ；厶v ( 咐詠) = 厶v h ( ) = f o v h u t + 厶口v a t 第- i 一類穩(wěn)定混合型間斷有限元方法在橢圓問題上的應用 1 9 7 3 年r e e d 和h i l l 對雙曲問題提出了間斷g a l e r k i n 方法，后來被應用到橢 圓同題和拋物問題。同時，獨立于間斷有限元方法的加罰方法也得到發(fā)展間斷 g a l e r k i n 方法研究橢圓方程和拋物方程的思想源于文獻【1 2 ，1 3 他們研究了可壓 縮的n a v i e r - s t o k e s 方程的數(shù)值解法，并產生了極為重要的影響 橢圓邊界同題的求解都要討論格式的穩(wěn)定性和收斂性，用間斷g m e r k i n 方法 研究問題構造出離散格式性能優(yōu)良的文獻參見【8 ，1 0 1 b = 償t ， 其中q r 2 是一個有界多角形區(qū)域，并且在a n 上l z i p c h i t z 連續(xù)記磊為q 的一 個制分，且o = ur ，“為霸中的單元邊界的集合，e 2 是內部邊界的集合，靠是 外部邊界的集合，魏= 硼u 引入輔助變量口= v u ，改寫經典橢圓方程如下： q = 孔，v r 矗， 一v q 2 ， v r ( 2 2 ) i 硐i 。= 0 ， ve 馥， m k = o ， 桿 i i 本文采用【8 】的記號： l p l k = p 住+ 一，ve 馥， 糾i 。= p ”， ve 勰 p l l i 。= v n + j r ，ve 嘏， v i i 。= ) i t , ， ve 勰， p ) i 。= i ( p + 礦) ， ve 馥 p ) i 。= p ， ve a q ， ) i 。= p + t ，) ，ve 馥， 扣) l 。= 可， ve a n ( 2 3 ) k = = ：。 眨t ， 9 ) 2 1 薹 e i iz ，幽l 1 2 扣，”) 靠= w v d x , r 靠0 7 礦，a d s ， e e e j e r h = w v d s e e c j c 簡單起見，本文各處均用這種符號來表達積分 引理1 ：問題( 2 2 ) 與( 2 4 ) 是等價的，若( 2 4 ) 的解充分光滑 注：問題( 2 4 ) 可以理解為在單元內部或邊界上的殘量形式的組合 2 2 離散格式的弱形式 定義間斷有限元( d g f e m ) 空間如下 k ：= 口f ( q ) lt ，i ，p 0 - ) ，v r 霸) ， ：= p ( l 2 ( ) 2 lp | ，( p ( 丁) ) 2 ，v 丁n 于是v hch 1 ) ，ch ( d i v ，靠) 從問題( 2 4 ) 可以直接離散一個格式：求( 螄) 碥，使得對所有( p ，移) 壇 ( 2 ，5 ) k ( q a - v h u h , p ) t 慧“+ 0 ，8 t b ( t ，口) c 甜i i “l(fā) l i i l l v l l l ，v 口v 穩(wěn)定性 引理3 ：如果k 1 ，那么問題( 2 1 4 ) 是穩(wěn)定的 證明：在( 2 1 4 ) 左端取口= “( v u ，v k ) ，有 b ( 。，“) = l l v 。+ 冗( 陋1 ) 睦n + i 兄( 川) l l 毒n ( 1 l v h u l l 3 , n4 - i i r ( m ) 惦n ) 由范數(shù)等價( ( 2 1 7 ) 和( 2 1 8 ) ) ，穩(wěn)定性成立， 注：實際上對任意的p ( 0 ，1 ) 都是成立的 一般地，有 了c 0 0 ， 。t b ( 口，t ，) 2 c , l l l l l l 2 ，v 口k 相容性 用精確解“去代替近似解，考慮到“是連續(xù)的，并且躍度為零 ( 2 1 5 ) 1 8 囂 糾 油 冽 圳 鼬 0 r 于是 b ( u ，口) = ( v u ，v h v + 冗( 1 口i ) ) 靠 = v u v h v d z 一正 v w u d s + r e t kc o = ( ，口) a b ( u 一讓 ，口) = 0 ， v t ，k 注：由“的齊次邊界條件，可消去殘量的穩(wěn)定項( r ( m ) ，r ( m ) ) 死 誤差估計 首先，假定k 1 ，根據(jù)逼近定理，我們有如下局部逼近性質： i u u , i 。，s c h + 1 5 i 玨i 知+ 1 下，v r 孔，8 = 0 ，1 由引理2 和跡定理，有 川牡一釷川i g 臚m h l ，o 定理在引理2 , 3 的假設下，若缸臚+ 1 ( q ) ，則有如下的最優(yōu)估計 t 一is6 h i i l ，n( 2 2 9 ) 證明：根據(jù)有界性( 2 2 2 ) ，穩(wěn)定性( 2 2 4 ) ，相容性( 2 2 6 ) ，逼近( 2 2 8 ) ，有 故有 c , i l l u , 一u h l i l 2 b ( u t u h ，t 一u h ) = b ( u z t u l u h ) i l i t ，一u l l i | i i t ，一u h g 臚i 讓i i + 1 ，a l l l u z 一 i “f 一牡 c h i t i h l ，n 由三角不等式得出最優(yōu)估計： 定理證畢 阻一“ 川sl i l u u , l l l + i i l u z 一“ l i lsc h 。l u l + l , f 1 2 0 參考文獻 1 1r c o u r a n t v a r i a t i o n a lm e t h o d sf o rt h es o l u t i o no fp r o b l e m so fe q u i l i b r i u ma n dv i b r a - t i o n s b u l l a m e r m a t h s o c 4 9 0 9 4 3 ) ：1 2 3 【2 jp g c i a r l e t t h e f i n i t ee l e m e n tm e t h o df o re l l i p t i cp r o b l e m ，n o r t h - h o l l a n dp u b l a m s t e r d a m ， 【3 】s c b r e n n e r ，l r s c o t t t h em a t h e m a t i c a lt h e o r yo ff i n i t ee l e m e n tm e t h o d s s p r i n g e r - v e r l a gn e wy o r k ，1 9 9 4 【4 1f b r e z z i ，j d o u g l a sj r ，l d m a r i n i n t w of a m i l i e so fm i x e d f i n i t ee l e m e n tf o rs e c o n d o r d e re l l i p t i cp r o b l e m ，n u m e rm a t h 4 7 ( 1 9 8 5 ) ，2 1 7 - 2 3 5 【5 】f b r e z z i ，g m a n z i n i ，d m a r i n i n ，p p i e t r a , a n da r u s s o d i s c o n t i n u o u sf i u i n t ed e - m e n t 8f o r 衄u s i o np r o b l e m s ，a t t ic o n v e g n oi no n o r ed if b r i o s c h i ( m i l a n o1 9 9 7 ) ，i s t i t u t o l o m b a r d o ，a c c a d e m i ad is c i e n z eel e t t e r e ，1 9 9 9 ，1 9 7 - 2 1 7 【6 】b c o e k b u m ，a n dc d a w s o n a p p r o x i m a t i o no ft h ev e l o c i t yb yc o u p l i n gd i s c o n t i n u o u s g a l e r k i na n dm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rf l o wp r o b l e m s c o m p u t a t i o n a lg e o s c i e n c e s 6 ( 2 0 0 2 ) ：5 0 2 - 5 2 2 ma m a s u d ，t j r h u g h e s as t a b i l i z e dm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o df o rd a x c yf l o w c o m p u t m e t h o d sa p p l m e c h e n g r g ，1 9 1 ( 2 0 0 2 ) ：4 3 4 1 4 3 7 0 i s f b r e z z i ，t j r h u g h e s ，l d m a r i n i ，a m a s u d m i x e dd i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h - o t i sf o rd a r c yf l o w j o u r n a lo fs c i e n t i f i cc o m p u t i n g2 2 ( 2 0 0 5 ) ：1 1 9 - 1 4 5 【9 】d n a r n o l d a ni n t e r i o rp e n a l t yf i n i t ee l e m e n tm e t h o dw i t hd i s c o n t i n u o u se l e m e n t s i a m j n u m e r a n a l 1 9 ( 1 9 8 2 ) ：7 2 4 - 7 6 0 【1 0 1t j r h u g h e s ，a m a s u d ，j w a n as t a b i l i z e dm i x e dd i s c o n t i n u o u sg a l e r k i nm e t h o df o r d a r c yf l o w ( mp r e p a r a t i o n ) 【1 1 】尹小紅計算經典橢圓方程的局部i 可斷g a l e r k i n 方法，6 ( 2 0 0 5 ) ：5 0 - 5 2 【1 2 】f b a s s i ，g m a x i o t t i ，s p e d i n o t t i ，s r e b a y , m s a v i n i ah i g h - o r d e ra c c u r a t ed i s c o n t i n u o u s f i n i t em e t h o df o ri n v i s c i da n dv i s c o t l bt u r b o m a c h i n e r yf o l w ，i np r o c e e d i n g so ft h e2 e n d e u r o p e a nc o n f e r e n c eo i lt u r b o m a c h i n e r yf l u i dd = i r n 鋤j 娼a n dt h e r m o d y n a m i c s ，r d e c u y p e r e a n dg d i b e l i u s e ( 1 s ，1 9 9 7 ，9 9 - 1 0 8 【1 3 f b a s s i ，s r e b a y ah i g h - o r d e ra c c u r a t ed i s c o n t i n u o u sf i n i t em e t h o df o rt h es o l u t i o no f t h ec o m p r e s s i b l en a v i e r - s t o k e se q u a t i o n s j c o m p u t p h y s ，1 3 1 ( 1 9 9 7 ) ：2 6 7 - 2 7 9 【1 4 j 駱艷，馮民富s t o k e s 方程的穩(wěn)定化間斷有限元法2 ( 2 0 0 6 ) ：1 6 3 - 1 7 4 【1 5 】蔚喜軍，周鐵流體力學方程的局部間斷有限元方法2 ( 2 0 0 5 ) ：1 0 8 - 1 1 6 【1 6 1d y ，s h ia n dh q z h u t h es u p e r c o n v e r g e n c ea n a l y s i so fa na n i s o t r o p i ce l e m e n t j o u r n a l o fs y s t e ms c i e n c ea n dc o m p l e x i t y , 1 8 ：4