高一數(shù)學(xué)競賽選拔賽試題.doc

2008年元濟中學(xué)高一數(shù)學(xué)競賽選拔賽試題班級 姓名 得分 一、 選擇題（每小題只有一個正確選項）1化簡得（ ） (A) (B) (C) (D)2已知集合，則下列正確的是（ ）(A) (B)(C) (D) 3當(dāng)時，則下列大小關(guān)系正確的是（ ） (A) (B) (C) (D) 4設(shè)圓的方程為，直線的方程為 ()，圓被直線截得的弦長等于 ( )(A) (B) (C) (D) 與有關(guān) 5函數(shù)是 ( )(A) 周期為的偶函數(shù) (B) 周期為的奇函數(shù)(C) 周期為的偶函數(shù) (D) 周期為的奇函數(shù) 6設(shè)函數(shù)的定義域為，的解集為，的解集為，則下列結(jié)論正確的是（ ）(A) (B) (C) (D) 7已知為三條不同的直線，且平面，平面，(1)若與是異面直線，則至少與、中的一條相交；(2)若不垂直于，則與一定不垂直；(3)若，則必有；(4)若，則必有其中正確的命題的個數(shù)是 ( )(A) (B) (C) (D) 8函數(shù)對于任意的恒有意義，則實數(shù)的取值范圍是 ( )(A) 且 (B) 且(C) 且 (D) 二、填空題9已知，則 10已知A、B是半徑為5的圓O上的兩個定點，P是圓O上的一個動點，若AB=6，設(shè)PA+PB的最大值為，最小值為，則的值為 11已知全集U=，集合M=，集合N=，則集合= 12高一年級某班的部分同學(xué)參加環(huán)保公益活動-收集廢舊電池，其中甲組同學(xué)平均每人收集17個，已組同學(xué)平均每人收集20個，丙組同學(xué)平均每人收集21個若這三個小組共收集了233個廢舊電池，則這三個小組共有 個學(xué)生13代數(shù)式的最小值為 14設(shè)5長方體的一個表面展開圖的周長為，則的最小值 是 15定義在上的函數(shù)滿足：，則 16已知函數(shù)，若，則實數(shù)組成的集合的元素個數(shù)為 . 17已知關(guān)于的方程（）無實根，則的取值范圍是 . 18關(guān)于的不等式的解集為，集合，若，則實數(shù)的取值范圍是 .三解答題（解答應(yīng)有必要文字說明和演算步驟）19 圓的方程是，點是圓上一個動點，點是關(guān)于點的對稱點，點繞圓心按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后所得的點為，求當(dāng)點在圓上移動時，點、之間距離的最大值和最小值20已知BCD中，BCD=90，BC=CD=1，AB平面BCD，ADB=60，E、F分別是AC、AD上的動點，且（）求證：不論為何值，總有平面BEF平面ABC；（）當(dāng)為何值時，平面BEF平面ACD？21設(shè)函數(shù)的定義域是，且對任意都有若對常數(shù)，判斷在上的單調(diào)性；22.已知定義域為的函數(shù)同時滿足以下三個條件：1 對任意的，總有；2 ；3 若，且，則有成立，并且稱為“友誼函數(shù)”，請解答下列各題：(1)若已知為“友誼函數(shù)”，求的值；(2)函數(shù)在區(qū)間上是否為“友誼函數(shù)”？并給出理由.(3)已知為“友誼函數(shù)”，假定存在，使得且，求證：.參考答案一、選擇題：AACABDCB二、 填空題90得 而10 1112設(shè)甲、已、丙三個組的人數(shù)分別為則有，故233=，同理，均為整數(shù)，則或，檢驗的方可13數(shù)型結(jié)合得 14長方體的展開圖的周長為，由排序或觀察得： 周長的最小值為15 7 16 5 17. (-2,2) 18. 三、解答題19解：設(shè)，設(shè)圓的參數(shù)方程為，則，點是關(guān)于點的對稱點，當(dāng)=1時，有最大值|；當(dāng)時，|有最小值20證明：（）AB平面BCD， ABCD，CDBC且ABBC=B， CD平面ABC. 又不論為何值，恒有EFCD，EF平面ABC，EF平面BEF,不論為何值恒有平面BEF平面ABC. （）由（）知，BEEF，又平面BEF平面ACD，BE平面ACD，BEAC. BC=CD=1，BCD=90，ADB=60， 由AB2=AEAC 得 故當(dāng)時，平面BEF平面ACD. 21解：(1)對任意，由，存在使得且，又，在上是增函數(shù)22. 解：（1）取得，又由，得 （2）顯然在上滿足1 ；2 .若，且，則有 故滿足條件1、2、3，所以為友誼函數(shù).(3)由 3知任給其中，且有，不妨設(shè)則必有：所以：