高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 立體幾何課件 湘教版.ppt

第七章立體幾何 7 1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖7 2空間幾何體的表面積和體積7 3空間點(diǎn) 直線(xiàn) 平面之間的位置關(guān)系7 4空間中的平行關(guān)系7 5空間中的垂直關(guān)系7 6空間向量及其運(yùn)算7 7立體幾何中的向量方法 7 1空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征及三視圖和直觀圖 平行 全等 平行且相等 用平行于底面的平面截棱錐得到 公共頂點(diǎn) 平行投影 完全相同 正視圖 側(cè)視圖 俯視圖 斜二測(cè) 45 或135 x 軸 y 軸 不變 不變 互相平行 相交于一點(diǎn) 平行 1 如圖是兩個(gè)全等的正三角形 給定下列三個(gè)命題 存在四棱錐 其正視圖 側(cè)視圖如圖 存在三棱錐 其正視圖 側(cè)視圖如圖 存在圓錐 其正視圖 側(cè)視圖如圖 其中真命題的個(gè)數(shù)是 a 3b 2c 1d 0 解析 對(duì)于 存在斜高與底邊長(zhǎng)相等的正四棱錐 其正視圖與側(cè)視圖是全等的正三角形 對(duì)于 存在如圖所示的三棱錐sabc 底面為等腰三角形 其底邊ab的中點(diǎn)為d bc的中點(diǎn)為e 側(cè)面sab上的斜高為sd 且cb ab sd se 頂點(diǎn)s在底面上的射影為ac的中點(diǎn) 則此三棱錐的正視圖與側(cè)視圖是全等的正三角形 對(duì)于 存在底面直徑與母線(xiàn)長(zhǎng)相等的圓錐 其正視圖與側(cè)視圖是全等的正三角形 所以選a 答案 a 2 下列結(jié)論正確的是 a 各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐b 以三角形的一條邊所在直線(xiàn)為旋轉(zhuǎn)軸 其余兩邊繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫圓錐c 棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)都相等 則該棱錐可能是六棱錐d 圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上的任意一點(diǎn)的連線(xiàn)都是母線(xiàn) 解析 a錯(cuò)誤 如圖1是由兩個(gè)相同的三棱錐疊放在一起構(gòu)成的幾何體 它的各個(gè)面都是三角形 但它不是三棱錐 b錯(cuò)誤 如圖2 若 abc不是直角三角形 或 abc是直角三角形但旋轉(zhuǎn)軸不是直角邊 所得的幾何體都不是圓錐 c錯(cuò)誤 若該棱錐是六棱錐 由題設(shè)知 它是正六棱錐 易證正六棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)必大于底面邊長(zhǎng) 這與題設(shè)矛盾 選d 答案 d 4 2014 吉林質(zhì)檢 已知某組合體的正視圖與側(cè)視圖相同 如圖所示 其中ab ac 四邊形bcde為矩形 則該組合體的俯視圖可以是 把你認(rèn)為正確的圖的序號(hào)都填上 解析 直觀圖如圖1的幾何體 上部是一個(gè)正四棱錐 下部是一個(gè)正四棱柱 的俯視圖為 直觀圖如圖2的幾何體 上部是一個(gè)正四棱錐 下部是一個(gè)圓柱 的俯視圖為 直觀圖如圖3的幾何體 上部是一個(gè)圓錐 下部是一個(gè)圓柱 的俯視圖為 直觀圖如圖4的幾何體 上部是一個(gè)圓錐 下部是一個(gè)正四棱柱 的俯視圖為 答案 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征 變式訓(xùn)練 1 給出下列四個(gè)命題 在圓柱的上 下底面的圓周上各取一點(diǎn) 則這兩點(diǎn)的連線(xiàn)是圓柱的母線(xiàn) 底面為正多邊形 且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱 若有兩個(gè)側(cè)面垂直于底面 則該四棱柱為直四棱柱 棱臺(tái)的上 下底面可以不相似 但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等 其中正確命題的個(gè)數(shù)是 a 0b 1c 2d 3 解析 不一定 只有這兩點(diǎn)的連線(xiàn)平行于軸時(shí)才是母線(xiàn) 正確 錯(cuò)誤 平行六面體的兩個(gè)相對(duì)側(cè)面也可能與底面垂直且互相平行 故 不正確 錯(cuò)誤 棱臺(tái)的上 下底面是相似且對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形 各側(cè)棱延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn) 但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等 答案 b 幾何體的三視圖 幾何體的直觀圖 從近兩年的高考試題來(lái)看 柱 錐 臺(tái) 球的定義和相關(guān)性質(zhì)是基礎(chǔ) 以它們?yōu)檩d體考查線(xiàn)線(xiàn) 線(xiàn)面 面面間的關(guān)系是重點(diǎn) 三視圖的還原在各地高考試題中頻繁出現(xiàn) 題型以選擇題和填空題為主 有時(shí)也會(huì)作為解答題的背景出現(xiàn) 2013 全國(guó)新課標(biāo) 卷 一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)分別是 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 畫(huà)該四面體三視圖中的正視圖時(shí) 以zox平面為投影面 則得到正視圖可以為 規(guī)范解答 在空間直角坐標(biāo)系中 先畫(huà)出四面體oabc的直觀圖 如圖 設(shè)o 0 0 0 a 1 0 1 b 1 1 0 c 0 1 1 將以o a b c為頂點(diǎn)的四面體被還原成一正方體后 由于oa bc 所以該幾何體以zox平面為投影面的正視圖為a 答案 a 閱后報(bào)告 空間幾何體的三視圖是分別從空間幾何體的正面 左面 上面用平行投影的方法得到的三個(gè)平面投影圖 因此在分析空間幾何體的三視圖時(shí) 先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面 然后根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征 調(diào)整實(shí)線(xiàn)和虛線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的棱 面的位置 再確定幾何體的形狀 即可得到結(jié)果 2 2014 湖北卷 在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系oxyz中 一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是 0 0 2 2 2 0 1 2 1 2 2 2 給出編號(hào)為 的四個(gè)圖 則該四面體的正視圖和俯視圖分別為 a 和 b 和 c 和 d 和 解析 由三視圖及空間直角坐標(biāo)系可知 該幾何體的正視圖顯然是一個(gè)直角三角形且內(nèi)有一條虛線(xiàn) 一銳角頂點(diǎn)與其所對(duì)直角邊中點(diǎn)的連線(xiàn) 故正視圖是 俯視圖是一個(gè)鈍角三角形 故俯視圖是 故選d 答案 d 3 2014 湖南卷 一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示 將該石材切削 打磨 加工成球 則能得到的最大球的半徑等于 a 1b 2c 3d 4 解析 由三視圖可知 石材為一個(gè)三棱柱 相對(duì)應(yīng)的長(zhǎng)方體的一半 故可知能得到的最大球?yàn)槿庵膬?nèi)切球 由題意可知正視圖三角形的內(nèi)切圓的半徑即為球的半徑 可得r 6 8 10 2 2 答案 b 課時(shí)作業(yè) 7 2空間幾何體的表面積和體積 柱 錐 臺(tái)和球的側(cè)面積和體積 2 rh sh r2h rl 4 母線(xiàn)長(zhǎng)為1的圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖的面積是23 則該圓錐的體積為 a b c d 5 已知一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示 其中俯視圖是等腰直角三角形 該三棱錐的外接球的半徑為2 則該三棱錐的體積為 棱柱 棱錐 棱臺(tái)的表面積和體積 1 求棱柱 棱錐 棱臺(tái)的表面積就是根據(jù)條件求它們的側(cè)面積和底面積的和 2 求棱柱 棱錐 棱臺(tái)的體積時(shí) 根據(jù)體積公式 需要具備已知底面積和高兩個(gè)重要條件 底面積一般可由底面邊長(zhǎng)或半徑求出 圓柱 圓錐 圓臺(tái) 球的表面積和體積 2 如圖2所示 半徑為r的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑ab所在直線(xiàn)為軸 旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體 求該幾何體的表面積及其體積 其中 bac 30 幾何體的展開(kāi)與折疊 閱后報(bào)告 1 對(duì)于規(guī)則幾何體體積的大小可直接考慮底面積與高的量 2 用特殊代替一般可解決體積比 面積比 之類(lèi)的問(wèn)題 3 在錐體中平行于底的截面分割出的小錐體與原錐體的體積比為相似比的立方 3 2014 重慶卷 某幾何體的三視圖如圖所示 則該幾何體的表面積為 a 54b 60c 66d 72 課時(shí)作業(yè) 7 3空間點(diǎn) 直線(xiàn) 平面之間的位置關(guān)系 兩點(diǎn) 一個(gè)公共點(diǎn) 不在同一條直線(xiàn)上 一條直線(xiàn)和這條直線(xiàn)外一點(diǎn) 兩條相交直線(xiàn) 兩條平行直線(xiàn) 沒(méi)有 一個(gè) 平行 相交 任何 銳角或直角 平行 相交 在平面內(nèi) 同一條直線(xiàn) 平面的基本性質(zhì)及平行公理的應(yīng)用 直線(xiàn)位置關(guān)系的判定 異面直線(xiàn)所成的角 變式訓(xùn)練 3 在四棱錐pabcd中 底面是邊長(zhǎng)為2的菱形 dab 60 對(duì)角線(xiàn)ac與bd交于點(diǎn)o po 平面abcd pb與平面abcd所成角為60 1 求四棱錐的體積 2 若e是pb的中點(diǎn) 求異面直線(xiàn)de與pa所成角的余弦值 3 2013 全國(guó)新課標(biāo) 卷 已知m n為異面直線(xiàn) m 平面 n 平面 直線(xiàn)l滿(mǎn)足l m l n l l 則 a 且l b 且l c 與 相交 且交線(xiàn)垂直于ld 與 相交 且交線(xiàn)平行于l 答案 d 4 2013 江西卷 如圖 正方體的底面與正四面體的底面在同一平面 上 且ab cd 則直線(xiàn)ef與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為 解析 取cd的中點(diǎn)為g 由題意知平面efg與正方體的左 右側(cè)面所在平面重合或平行 從而ef與正方體的左 右側(cè)面所在的平面平行或ef在平面內(nèi) 所以直線(xiàn)ef與正方體的前 后側(cè)面及上 下底面所在平面相交 故直線(xiàn)ef與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為4 答案 4 課時(shí)作業(yè) 7 4空間中的平行關(guān)系 1 直線(xiàn)與平面平行的判定與性質(zhì) 1 定義 如果直線(xiàn)a與平面 公共點(diǎn) 則直線(xiàn)a與平面 平行 記作 2 判定定理平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn) 則該直線(xiàn)與此平面平行 用符號(hào)表示為 a b 且 a 無(wú) a 平行 a b 平行 a l b 平行 a 無(wú) 平行 a b 2 2014 南開(kāi)模擬 下列命題正確的是 a 若兩條直線(xiàn)和同一個(gè)平面所成的角相等 則這兩條直線(xiàn)平行b 若一個(gè)平面內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離相等 則這兩個(gè)平面平行c 若一條直線(xiàn)平行于兩個(gè)相交平面 則這條直線(xiàn)與這兩個(gè)平面的交線(xiàn)平行d 若兩個(gè)平面都垂直于第三個(gè)平面 則這兩個(gè)平面平行 解析 若兩條直線(xiàn)和同一平面所成角相等 這兩條直線(xiàn)可能平行 也可能為異面直線(xiàn) 也可能相交 所以a錯(cuò) 當(dāng)三點(diǎn)共線(xiàn)或分別在另一平面異側(cè)時(shí) 這兩個(gè)平面可能不平行 故b錯(cuò) 若兩個(gè)平面垂直同一個(gè)平面 兩平面可以平行 也可以垂直 故d錯(cuò) 故選項(xiàng)c正確 答案 c 直線(xiàn)與平面平行的判定 集合間的基本關(guān)系 變式訓(xùn)練 2 如圖所示 在四面體abcd中 截面efgh平行于對(duì)棱ab和cd 試問(wèn)截面在什么位置時(shí)其截面面積最大 平面與平面平行的判定 平面與平面平行的性質(zhì)及應(yīng)用 閱后報(bào)告 1 本題考查面面平行的證明 直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì) 三棱柱體積的計(jì)算等知識(shí) 考查空間想象力 運(yùn)算求解能力和推理論證能力 2 面面平行問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為線(xiàn)面平行 而線(xiàn)面平行又可轉(zhuǎn)化為線(xiàn)線(xiàn)平行 需要注意轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 3 2013 江蘇卷 如圖 在三棱錐sabc中 平面sab 平面sbc ab bc as ab 過(guò)a作af sb 垂足為f 點(diǎn)e g分別是棱sa sc的中點(diǎn) 求證 1 平面efg 平面abc 2 bc sa 證明 1 因?yàn)閍s ab af sb 垂足為f 所以f是sb的中點(diǎn) 又因?yàn)閑是sa的中點(diǎn) 所以ef ab 因?yàn)閑f 平面abc ab 平面abc 所以ef 平面abc 同理eg 平面abc 又ef eg e 所以平面efg 平面abc 2 因?yàn)槠矫鎠ab 平面sbc 且交線(xiàn)為sb 又af 平面sab af sb 所以af 平面sbc 因?yàn)閎c 平面sbc 所以af bc 又因?yàn)閍b bc af ab a af 平面sab ab 平面sab 所以bc 平面sab 因?yàn)閟a 平面sab 所以bc sa 4 2013 山東卷 如圖 四棱錐pabcd中 ab ac ab pa ab cd ab 2cd e f g m n分別為pb ab bc pd pc的中點(diǎn) 1 求證 ce 平面pad 2 求證 平面efg 平面emn 課時(shí)作業(yè) 7 5空間中的垂直關(guān)系 任意 相交直線(xiàn) 平行 a b a b 垂線(xiàn) l l 交線(xiàn) 直角 棱上一點(diǎn) 垂直 1 2014 鄭州模擬 設(shè) 分別為兩個(gè)不同的平面 直線(xiàn)l 則 l 是 成立的 a 充分不必要條件b 必要不充分條件c 充要條件d 既不充分也不必要條件 解析 依題意 由l l 可以推出 反過(guò)來(lái) 由 l 不能推出l 因此 l 是 成立的充分不必要條件 選a 答案 a 解析 對(duì)于 直線(xiàn)m與平面 可能平行或相交 對(duì)于 直線(xiàn)m可能也在平面 內(nèi) 而 都是正確的命題 故選c 答案 c 3 如圖 a 在正方形abcd中 e f分別是bc cd的中點(diǎn) g是ef的中點(diǎn) 現(xiàn)在沿ae af及ef把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體 使b c d三點(diǎn)重合 重合后的點(diǎn)記為h 如圖 b 所示 那么 在四面體aefh中必有 a ah efh所在平面b ag efh所在平面c hf aef所在平面d hg aef所在平面 解析 折成的四面體有ah eh ah fh ah 平面hef 答案 a 5 如圖 pa o所在平面 ab是 o的直徑 c是 o上一點(diǎn) ae pc af pb 給出下列結(jié)論 ae bc ef pb af bc ae 平面pbc 其中真命題的序號(hào)是 解析 ae 平面pac bc ac bc pa ae bc 故 正確 ae pb af pb ef pb 故 正確 若af bc af 平面pbc 則af ae與已知矛盾 故 錯(cuò)誤 由 可知 正確 答案 直線(xiàn)與平面垂直的判定與性質(zhì) 變式訓(xùn)練 1 如圖 在正方體abcda1b1c1d1中 e為棱c1d1的中點(diǎn) f為棱bc的中點(diǎn) 1 求證 直線(xiàn)ae 直線(xiàn)da1 2 在線(xiàn)段aa1上求一點(diǎn)g 使得直線(xiàn)ae 平面dfg 解析 1 證明 連接ad1 bc1 由正方體的性質(zhì)可知 da1 ad1 da1 ab 又ab ad1 a da1 平面abc1d1 又ae 平面abc1d1 da1 ae 2 所求g點(diǎn)即為a1點(diǎn) 證明如下 由 1 可知ae da1 取cd的中點(diǎn)h 連接ah eh 由df ah df eh ah eh h 可證df 平面ahe ae 平面ahe df ae 又df a1d d ae 平面dfa1 即ae 平面dfg 平面與平面垂直的判定與性質(zhì) 變式訓(xùn)練 2 如圖 在四棱錐sabcd中 平面sad 平面abcd 四邊形abcd為正方形 且p為ad的中點(diǎn) q為sb的中點(diǎn) m為bc的中點(diǎn) 1 求證 cd 平面sad 2 求證 pq 平面scd 3 若sa sd 在棱sc上是否存在點(diǎn)n 使得平面dmn 平面abcd 并證明你的結(jié)論 解析 1 證明 因?yàn)樗倪呅蝍bcd為正方形 所以cd ad 又平面sad 平面abcd 且平面sad 平面abcd ad 所以cd 平面sad 2 證明 連接pm qm 因?yàn)閝 p m分別為sb ad bc的中點(diǎn) 所以qm sc pm dc 因?yàn)閝m pm m qm pm 平面pqm sc dc c 所以平面pqm 平面scd 又pq 平面pqm 所以pq 平面scd 3 存在點(diǎn)n 使得平面dmn 平面abcd 連接pc dm交于點(diǎn)o 連接sp 因?yàn)閟a sd p為ad的中點(diǎn) 所以sp ad 因?yàn)槠矫鎠ad 平面abcd 所以sp 平面abcd sp pc 在 spc中 過(guò)o點(diǎn)作no pc交sc于點(diǎn)n 此時(shí)n為sc的中點(diǎn)則sp no 則no 平面abcd 因?yàn)閚o 平面dmn 所以平面dmn 平面abcd 所以存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)n 線(xiàn)面垂直中的探索性問(wèn)題 折疊問(wèn)題 將平面圖形折疊成立體圖形時(shí) 要注意折疊前 后哪些量發(fā)生了改變 哪些沒(méi)有發(fā)生變化 特別要注意尋找折疊前 后的那些沒(méi)有發(fā)生變化的關(guān)系和沒(méi)有變化的量 把平面圖形的垂直關(guān)系運(yùn)用到空間圖形中去 又將空間中的有關(guān)問(wèn)題放到平面中去計(jì)算 ?？梢允箚?wèn)題得以順利解決 閱后報(bào)告 1 解決探索性問(wèn)題一般先假設(shè)其存在 把這個(gè)假設(shè)作已知條件 和題目的其他已知條件一起進(jìn)行推理論證和計(jì)算 在推理論證和計(jì)算無(wú)誤的前提下 如果得到了一個(gè)合理的結(jié)論 則說(shuō)明存在 如果得到了一個(gè)不合理的結(jié)論 則說(shuō)明不存在 2 在處理空間折疊問(wèn)題中 要注意平面圖形與空間圖形在折疊前后的相互位置關(guān)系與長(zhǎng)度關(guān)系等 關(guān)鍵是點(diǎn) 線(xiàn) 面位置關(guān)系的轉(zhuǎn)化與平面幾何知識(shí)的應(yīng)用 注意平面幾何與立體幾何中相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的異同 盲目套用容易導(dǎo)致錯(cuò)誤 2 2014 福建卷 如圖所示 三棱錐abcd中 ab 平面bcd cd bd 1 求證 cd 平面abd 2 若ab bd cd 1 m為ad中點(diǎn) 求三棱錐ambc的體積 解析 方法一 1 證明 ab 平面bcd cd平面bcd ab cd 又 cd bd ab bd b ab平面abd bd平面abd cd 平面abd 2 由ab 平面bcd 得ab bd ab bd 1 s abd 1 2 m是ad的中點(diǎn) s abm 1 2s abd 1 4 由 1 知 cd 平面abd 三棱錐c abm的高h(yuǎn) cd 1 因此三棱錐ambc的體積va mbc vc abm 1 3s abm h 1 12 方法二 1 同方法一 2 由ab 平面bcd 得平面abd 平面bcd 且平面abd 平面bcd bd 如圖所示 過(guò)點(diǎn)m作mn bd交bd于點(diǎn)n 則mn 平面bcd 且mn 1 2ab 1 2 又cd bd bd cd 1 s bcd 1 2 三棱錐a mbc的體積va mbc va bcd vm bcd 1 3ab s bcd 1 3mn s bcd 1 12 3 2014 廣東卷 如圖1所示 四邊形abcd為矩形 pd 平面abcd ab 1 bc pc 2 作如圖2折疊 折痕ef dc 其中點(diǎn)e f分別在線(xiàn)段pd pc上 沿ef折疊后點(diǎn)p疊在線(xiàn)段ad上的點(diǎn)記為m 并且mf cf 1 證明 cf 平面mdf 2 求三棱錐mcde的體積 解析 1 證明 因?yàn)閜d 平面abcd ad 平面abcd 所以pd ad 又因?yàn)樗倪呅蝍bcd為矩形 所以cd ad 因?yàn)閜d cd d 所以ad 平面pcd 在圖2中 因?yàn)閏f 平面pcd 所以ad cf 即md cf 又因?yàn)閙f cf md mf m 所以cf 平面mdf 課時(shí)作業(yè) 7 6空間向量及其運(yùn)算 1 空間向量的有關(guān)定理 1 共線(xiàn)向量定理 對(duì)空間任意兩個(gè)向量a b b 0 a b的充要條件是存在實(shí)數(shù) 使得 a b 2 共面向量定理 如果兩個(gè)向量a b不共線(xiàn) 那么向量p與向量a b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì) x y 使 3 空間向量基本定理 如果三個(gè)向量a b c不共面 那么對(duì)空間任一向量p 存在有序?qū)崝?shù)組 x y z 使得p 其中 a b c 叫做空間的一個(gè) p xa yb xa yb zc 基底 2 兩向量的數(shù)量積 兩個(gè)非零向量a b的數(shù)量積a b 3 向量的數(shù)量積的性質(zhì) a e a a b a b a 2 a a a b a b 4 向量的數(shù)量積滿(mǎn)足如下運(yùn)算律 a b a b a b 交換律 a b c 分配律 3 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算 答案 c 3 已知空間四邊形oabc中 oa a ob b oc c 點(diǎn)m在oa上 且om 2ma n為bc中點(diǎn) 則mn a 1 2a 2 3b 1 2cb 2 3a 1 2b 1 2cc 1 2a 1 2b 1 2cd 2 3a 2 3b 1 2c 解析 顯然mn on om 1 2 ob oc 2 3oa 1 2b 1 2c 2 3a 答案 b 4 已知a cos 1 sin b sin 1 cos 則向量a b與a b的夾角是 解析 a b a b a2 b2 a 2 b 2 cos2 1 sin2 sin2 1 cos2 0 a b a b 即向量a b與a b的夾角為90 答案 90 空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算 用已知向量來(lái)表示未知向量 一定要結(jié)合圖形 以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵 要正確理解向量加法 減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義 首尾相接的若干向量之和 等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量 我們可把這個(gè)法則稱(chēng)為向量加法的多邊形法則 在立體幾何中要靈活應(yīng)用三角形法則 向量加法的平行四邊形法則在空間仍然成立 共線(xiàn)向量 共面向量定理的應(yīng)用 利用空間向量證明平行 垂直問(wèn)題 從近兩年的高考試題來(lái)看 空間向量的數(shù)量積及應(yīng)用在高考中偶爾有所體現(xiàn) 其他知識(shí)體現(xiàn)較少 題型有選擇題 解答題 選擇題一般考查數(shù)量積的概念 運(yùn)用及簡(jiǎn)單應(yīng)用 解答題中一般考查學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)解決問(wèn)題 處理問(wèn)題的能力 注重考查學(xué)生的運(yùn)算能力 閱后報(bào)告 本題考查直線(xiàn)和平面垂直的性質(zhì) 利用向量法求解二面角的基本思想和方法 同時(shí)考查空間想象力 運(yùn)算求解能力和推理論證能力 1 2014 廣東卷 已知向量a 1 0 1 則下列向量中與a成60 夾角的是 a 1 1 0 b 1 1 0 c 0 1 1 d 1 0 1 解析 設(shè)所求向量是b 若b與a成60 夾角 則根據(jù)數(shù)量積公式 只要滿(mǎn)足a b a b 1 2即可 所以b選項(xiàng)滿(mǎn)足題意 答案 b 2 2013 全國(guó)新課標(biāo) 卷 一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系oxyz中的坐標(biāo)分別是 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 畫(huà)該四面體三視圖中的正視圖時(shí) 以zox平面為投影面 則得到的正視圖可以為 解析 根據(jù)已知條件作出圖形 四面體c1a1db 標(biāo)出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)如圖 1 所示 可以看出正視圖是正方形 如圖 2 所示 故選a 答案 a 課時(shí)作業(yè)7 6 7 7立體幾何中的向量方法 1 利用空間向量求空間角 1 兩條異面直線(xiàn)所成的角 定義 設(shè)a b是兩條異面直線(xiàn) 過(guò)空間任一點(diǎn)o作直線(xiàn)a a b b 則a 與b 所成的 叫做a與b所成的角 銳角或直角 0 4 2014 石家莊模擬 如圖 在正方形abcd中 ef ab 若沿ef將正方形折成一個(gè)二面角后 ae ed ad 1 1 2 則af與ce所成角的余弦值為 解析 建立如圖空間直角坐標(biāo)系 設(shè)ab ef cd 2 ae de ad 1 1 2 則e 0 0 0 a 1 0 0 f 0 2 0 c 0 2 1 af 1 2 0 ec 0 2 1 cos af ec 4 5 af與ce所成角的余弦值為4 5 答案 4 5 利用空間向量求異面直線(xiàn)所成角 利用向量的夾角來(lái)求異面直線(xiàn)的夾角時(shí) 注意區(qū)別 當(dāng)異面直線(xiàn)的向量的夾角為銳角或直角時(shí) 就是該異面直線(xiàn)的夾角 當(dāng)異面直線(xiàn)的向量的夾角為鈍角時(shí) 其補(bǔ)角才是異面直線(xiàn)的夾角 利用空間向量求直線(xiàn)和平面所成角 利用向量法求線(xiàn)面角的方法 一是分別求出斜線(xiàn)和它在平面內(nèi)的射影直線(xiàn)的方向向量 轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角 或其補(bǔ)角 二是通過(guò)平面的法向量來(lái)求 即求出斜線(xiàn)的方向向量與平面的法向量所夾的銳角 取其余角就是斜線(xiàn)和平面所成的角 如圖 已知四棱錐pabcd的底面為等腰梯形 ab cd ac bd 垂