最優(yōu)控制理論及應(yīng)用.ppt

2020年1月1日 1 最優(yōu)控制理論與應(yīng)用 第一章最優(yōu)控制問題的一般概念 第二章最優(yōu)控制的變分方法 第三章極小值原理及其應(yīng)用 第四章線性二次型問題的最優(yōu)控制 第五章動態(tài)規(guī)劃 2020年1月1日 2 一基本概念最優(yōu)控制理論中心問題 給定一個控制系統(tǒng) 已建立的被控對象的數(shù)學模型 選擇一個容許的控制律 使被控對象按預定要求運行 并使給定的某一性能指標達到極小值 或極大值 第一章最優(yōu)控制問題的一般概念 2020年1月1日 3 二最優(yōu)控制問題 1例子 飛船軟著陸問題宇宙飛船在月球表面著陸時速度必須為零 即軟著陸 這要靠發(fā)動機的推力變化來完成 問題是如何選擇一個推力方案 使燃料消耗最小 m飛船的質(zhì)量 h高度 v垂直速度 g月球重力加速度常數(shù) M飛船自身質(zhì)量F燃料的質(zhì)量 2020年1月1日 4 軟著陸過程開始時刻t為零 末端條件 2020年1月1日 5 性能指標 控制約束 任務(wù) 滿足控制約束條件下 求發(fā)動機推力的最優(yōu)變化律 使登月艙由初始出發(fā)點到達目標處 末態(tài) 并使性能指標達到極值 燃耗量最小 2020年1月1日 6 例2火車快速運行問題設(shè)火車從甲地出發(fā) 求容許控制 使其到達乙地時間最短 m火車質(zhì)量 火車加速度 u t 產(chǎn)生加速度的推力且火車運動方程 2020年1月1日 7 2問題描述 1 狀態(tài)方程一般形式為 為n維狀態(tài)向量 為r維控制向量 為n維向量函數(shù) 給定控制規(guī)律 滿足一定條件時 方程有唯一解 2020年1月1日 8 2 容許控制 2020年1月1日 9 4 性能指標 對狀態(tài) 控制以及終點狀態(tài)的要求 復合型性能指標 積分型性能指標 表示對整個狀態(tài)和控制過程的要求 終點型指標 表示僅對終點狀態(tài)的要求 2020年1月1日 10 最優(yōu)控制的應(yīng)用類型 積分型1 最小時間控制2 最小燃耗控制3 最小能量控制 2020年1月1日 11 末值型復合型1 狀態(tài)調(diào)節(jié)器2 輸出跟蹤系統(tǒng) 2020年1月1日 12 最優(yōu)控制的研究方法 解析法 適用于性能指標及約束條件有明顯解析式數(shù)值計算方法 性能指標比較復雜1 一維搜索法 適合單變量求極值2 多維搜索法 適合單變量求極值梯度法 解析與數(shù)值方法相結(jié)合1 無約束梯度法2 有約束梯度法 2020年1月1日 13 第二章最優(yōu)控制中的變分法 2 1泛函與變分法基礎(chǔ) 平面上兩點連線的長度問題 其弧長為 2020年1月1日 14 一般來說 曲線不同 弧長就不同 即弧長依賴于曲線 記為 稱為泛函 稱泛函的宗量 泛函定義 x t 是自變量t的函數(shù) 若對每個函數(shù)x t 有一個J值與之對應(yīng) 則變量J稱為依賴于x t 的泛函 記J x t 例舉 2020年1月1日 15 線性泛函與連續(xù)泛函 線性泛函泛函對宗量是線性的連續(xù)泛函若定義在線性賦范空間上的泛函又滿足連續(xù)條件 稱J x 為連續(xù)線性泛函 2020年1月1日 16 泛函與函數(shù)的幾何解釋 宗量的變分 泛函的增量 2020年1月1日 17 定理2 1泛函的變分為 2020年1月1日 18 例2 1求泛函的變分 2020年1月1日 19 泛函的極值 2020年1月1日 20 變分學預備定理 2020年1月1日 21 2 2歐拉方程 1 無約束泛函極值的必要條件定理2 3設(shè)有如下泛函極值問題 及橫截條件 2020年1月1日 22 2 2歐拉方程 變分 分部積分 證明 2020年1月1日 23 例2 2求平面上兩固定點間連線最短的曲線 2020年1月1日 24 例2 3 已知邊界條件為求使泛函達到極值的軌線解 2020年1月1日 25 2 2歐拉方程 2 有等式約束泛函極值的必要條件定理2 4設(shè)有如下泛函極值問題 及橫截條件 2020年1月1日 26 例2 4 設(shè)人造地球衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 2020年1月1日 27 2 3橫截條件 討論 A B C D 2020年1月1日 28 左端固定右端沿曲線變動 橫截條件C 的推導 2020年1月1日 29 2020年1月1日 30 例2 5設(shè)性能指標泛函 末值時刻 未定 已知 解 由歐拉方程得 由x 0 1求出b 1 由橫截條件知 2020年1月1日 31 2020年1月1日 32 2 4含有多個未知函數(shù)泛函的極值 泛函 歐拉方程 邊界值 橫截條件 2020年1月1日 33 2 5條件極值 狀態(tài)方程 泛函 引進乘子 構(gòu)造新的函數(shù)和泛函 歐拉方程 約束方程 2020年1月1日 34 解 化為標準形式 把問題化為標準形式 令 2020年1月1日 35 約束方程可定為 邊界條件為 2020年1月1日 36 引進乘子 構(gòu)造函數(shù) 歐拉方程 2020年1月1日 37 解出 利用邊界條件 可得 2020年1月1日 38 2020年1月1日 39 問題 確定最優(yōu)控制和最優(yōu)軌線 使系統(tǒng)由已知初態(tài)轉(zhuǎn)移到要求的目標集 2 6變分法解最優(yōu)控制問題 并使指定的目標泛函 達到極值 2020年1月1日 40 2 6 1末端時刻固定時最優(yōu)解的必要條件 1 末端受約束的情況 引入拉格朗日乘子構(gòu)造廣義泛函 有 構(gòu)造哈米頓函數(shù) 2020年1月1日 41 變分 2020年1月1日 42 定理2 5 對于如下最優(yōu)控制問題 u t 無約束 tf固定 最優(yōu)解的必要條件 2020年1月1日 43 定理2 6 對于如下最優(yōu)控制問題 u t 無約束 tf固定 x tf 自由 最優(yōu)解的必要條件 2 末端自由的情況 2020年1月1日 44 定理2 7 對于如下最優(yōu)控制問題 u t 無約束 tf固定 x tf 固定 最優(yōu)解的必要條件 3 末端固定的情況 2020年1月1日 45 例2 7考慮狀態(tài)方程和初始條件為 的簡單一階系統(tǒng) 其指標泛函為 使 其中 給定 試求最優(yōu)控制 有極小值 2020年1月1日 46 2020年1月1日 47 則最優(yōu)控制為 得 代入狀態(tài)方程求解得 2020年1月1日 48 邊界條件 指標泛函 哈米頓函數(shù) 伴隨方程 其解為 2020年1月1日 49 2020年1月1日 50 習題1 設(shè)一階系統(tǒng)方程為性能指標取為式中常數(shù)試求使J取極小值的最優(yōu)控制和相應(yīng)的性能指標 習題2 設(shè)二階系統(tǒng)方程為性能指標取為求系統(tǒng)由已知初態(tài)在轉(zhuǎn)移到目標集且使J取極小的最優(yōu)控制和最優(yōu)軌跡 2020年1月1日 51 2 6 2末端時刻自由的最優(yōu)解問題 tf有時是可變的 是指標泛函 選控制使有tf極小值 變分 2020年1月1日 52 必要條件 2020年1月1日 53 例2 7 指標泛函 哈米頓函數(shù) 伴隨方程 必要條件 2020年1月1日 54 第三章最大值原理 3 1古典變分法的局限性 u t 受限的例子 矛盾 2020年1月1日 55 3 2最大值原理 且 2020年1月1日 56 最小值原理只是最優(yōu)控制所滿足的必要條件 但對于線性系統(tǒng) 最小值原理也是使泛函取最小值得充分條件 2020年1月1日 57 例3 2重解例3 1 哈密頓函數(shù) 伴隨方程 由極值必要條件 知 又 于是有 2020年1月1日 58 協(xié)態(tài)變量與控制變量的關(guān)系圖 2020年1月1日 59 例3 3 性能指標泛函 哈密頓函數(shù) 伴隨方程 2020年1月1日 60 上有 2020年1月1日 61 協(xié)態(tài)變量與控制變量的關(guān)系圖 整個最優(yōu)軌線 2020年1月1日 62 例3 4 把系統(tǒng)狀態(tài)在終點時刻轉(zhuǎn)移到 哈米頓函數(shù) 伴隨方程 2020年1月1日 63 H是u的二次拋物線函數(shù) u在上一定使H有最小值 可能在內(nèi)部 也可能在邊界上 最優(yōu)控制可能且只能取三個值 此二者都不能使狀態(tài)變量同時滿足初始條件和終點條件 2020年1月1日 64 最優(yōu)控制 最優(yōu)軌線 最優(yōu)性能指標 2020年1月1日 65 例3 5 使系統(tǒng)以最短時間從給定初態(tài)轉(zhuǎn)移到零態(tài) 哈米頓函數(shù) 伴隨方程 2020年1月1日 66 最優(yōu)控制切換及最優(yōu)軌線示意圖 2020年1月1日 67 3 3古典變分法與最小值原理 古典變分法適用的范圍是對u無約束 而最小值原理一般都適用 特別當u不受約束時 條件 就等價于條件 2020年1月1日 68 3 4極大值原理的應(yīng)用 快速控制系統(tǒng) 如 當被控對象受干擾后 偏離了平衡狀態(tài) 希望施加控制能以最短時間恢復到平衡狀態(tài) 凡是以運動時間為性能指標的最優(yōu)控制問題稱 為最小時間控制 2020年1月1日 69 3 4 1快速控制問題 2020年1月1日 70 例3 4 1有一單位質(zhì)點 在處以初速度2沿直線運動 現(xiàn)施加一力 使質(zhì)點盡快返回原點 并停留在原點上 力簡稱為控制 若其它阻力不計 試求此控制力 質(zhì)點運動方程 狀態(tài)方程 哈密頓函數(shù) 伴隨方程 2020年1月1日 71 最優(yōu)控制 協(xié)態(tài)變量與控制函數(shù)4種情況示意圖 2020年1月1日 72 相軌線族示意圖 開關(guān)曲線 2020年1月1日 73 開關(guān)曲線 總時間 2020年1月1日 74 3 4 2綜合問題 上例之最優(yōu)綜合控制函數(shù) 2020年1月1日 75 例3 4 2 求快速返回原點的開關(guān)曲線和最優(yōu)綜合控制函數(shù) 構(gòu)造哈密頓函數(shù) 2020年1月1日 76 最優(yōu)控制與協(xié)態(tài)變量的變化情況 控制是 砰砰控制 除了首尾之外 在和上的停留時間均為 2020年1月1日 77 備選最優(yōu)軌線族 2020年1月1日 78 相點沿軌線順時針方向運動 其速度為 開關(guān)曲線 2020年1月1日 79 第二段開關(guān)曲線 2020年1月1日 80 整個開關(guān)曲線 2020年1月1日 81 最優(yōu)綜合控制函數(shù) 2020年1月1日 82 第四章線性二次型性能指標的最優(yōu)控制 用最大值原理求最優(yōu)控制 求出的最優(yōu)控制通常是時間的函數(shù) 這樣的控制為開環(huán)控制當用開環(huán)控制時 在控制過程中不允許有任何干擾 這樣才能使系統(tǒng)以最優(yōu)狀態(tài)運行 在實際問題中 干擾不可能沒有 因此工程 上總希望應(yīng)用閉環(huán)控制 即控制函數(shù)表示成時間和狀態(tài)的函數(shù) 求解這樣的問題一般來說是很困難的 2020年1月1日 83 但對一類線性的且指標是二次型的動態(tài)系統(tǒng) 卻得了完全的解決 不但理論比較完善 數(shù)學處理簡單 而且在工際中又容易實現(xiàn) 因而在工程中有著廣泛的應(yīng)用 2020年1月1日 84 4 1問題提法 動態(tài)方程 指標泛函 使 此問題稱線性二次型性能指標的最優(yōu)控制問題 2020年1月1日 85 指標泛函的物理意義積分項 被積函數(shù)由兩項組成 都是二次型 第一項過程在控制過程中 實際上是要求每個分量越小越好 但每一個分量不一定同等重要 所以用加權(quán)來調(diào)整 當權(quán)為零時 對該項無要求 第二項控制能力能量消耗最小 對每個分量要求不一樣 因而進行加權(quán) 要求正定 一方面對每個分量都應(yīng)有要求 否則會出現(xiàn)很大幅值 在實際工程中實現(xiàn)不了 另一方面 在計算中需要有逆存在 指標中的第一項是對點狀態(tài)的要求 由于對每個分量要求不同 用加權(quán)陣來調(diào)整 2020年1月1日 86 4 2 1末端自由問題 構(gòu)造哈密頓函數(shù) 伴隨方程及邊界條件 最優(yōu)控制應(yīng)滿足 4 2狀態(tài)調(diào)節(jié)器 2020年1月1日 87 2020年1月1日 88 矩陣黎卡提微分方程 邊界條件 令 最優(yōu)控制是狀態(tài)變量的線性函數(shù)借助狀態(tài)變量的線性反饋可實現(xiàn)閉環(huán)最優(yōu)控制 對稱半正定陣 2020年1月1日 89 例4 1 性能指標泛函 最優(yōu)控制 2020年1月1日 90 最優(yōu)軌線 最優(yōu)控制 2020年1月1日 91 黎卡提方程的解 隨終點時間變化的黎卡提方程的解 2020年1月1日 92 補償函數(shù) 懲罰函數(shù) 邊界條件 黎卡提方程 逆黎卡提方程 2020年1月1日 93 2020年1月1日 94 性能指標 無限長時間調(diào)節(jié)器問題 2020年1月1日 95 4 2 4定常系統(tǒng) 完全可控 指標泛函 矩陣代數(shù)方程 最優(yōu)控制 最優(yōu)指標 2020年1月1日 96 例4 2 黎卡提方程 2020年1月1日 97 4 3輸出調(diào)節(jié)器 輸出調(diào)節(jié)器問題 狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題 令 2020年1月1日 98 4 4跟蹤問題 偏差量 指標泛函 尋求控制規(guī)律使性能指標有極小值 物理意義在控制過程中 使系統(tǒng)輸出盡量趨近理想輸出 同時也使能量消耗最少 2020年1月1日 99 指標泛函 哈密頓函數(shù) 2020年1月1日 100 2020年1月1日 101 2020年1月1日 102 2020年1月1日 103 例4 3 性能指標 2020年1月1日 104 2020年1月1日 105 最優(yōu)控制 極限解 2020年1月1日 106 閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu) 2020年1月1日 107 兩種方法 龐特里雅金 前蘇聯(lián)學者 極大值原理 貝爾曼 美國學者 動態(tài)規(guī)劃 應(yīng)用在過程控制 國防建設(shè) 經(jīng)濟規(guī)劃 管理 多個分支 分布參數(shù)的最優(yōu)控制 隨機最優(yōu)控制 大系統(tǒng)最優(yōu)控制以及多方多層次的微分對策和主從對策等 返回 2020年1月1日 108 第五章動態(tài)規(guī)劃 動態(tài)規(guī)劃是求解最優(yōu)控制的又一種方法 特別對離散型控制系統(tǒng)更為有效 而且得出的是綜合控制函數(shù) 這種方法來源于多決策過程 并由貝爾曼首先提出 故稱貝爾曼動態(tài)規(guī)劃 2020年1月1日 109 5 1多級決策過程與最優(yōu)性原理 作為例子 首先分析最優(yōu)路徑問題 a b c 試分析 a b 和 c 三種情況的最優(yōu)路徑 即從走到所需時間最少 規(guī)定沿水平方向只能前進不能后退 2020年1月1日 110 a 中只有兩條路徑 從起點開始 一旦選定路線 就直達終點 選最優(yōu)路徑就是從兩條中選一條 使路程所用時間最少 這很容易辦到 只稍加計算 便可知道 上面一條所需時間最少 b 共有6條路徑可到達終點 若仍用上面方法 需計算6次 將每條路線所需時間求出 然后比較 找出一條時間最短的路程 c 需計算20次 因為這時有20條路徑 由此可見 計算量顯著增大了 2020年1月1日 111 2020年1月1日 112 然后再考慮第二級 只有一種選擇 到終點所需時間是 有兩條路 比較后選出時間最少的一條 即4 1 5 用箭頭標出 也標出最優(yōu)路徑和時間 依此類推 最后計算初始位置 求得最優(yōu)路徑 最短時間為13 2020年1月1日 113 最優(yōu)路徑示意圖 2020年1月1日 114 多級過程 多級決策過程 目標函數(shù) 使目標函數(shù)取最小值或最大值 實際上就是離散狀態(tài)的最優(yōu)控制問題 2020年1月1日 115 2020年1月1日 116 指標函數(shù)多是各級指標之和 即具有可加性 最優(yōu)性原理的數(shù)學表達式 2020年1月1日 117 5 2離散系統(tǒng)動態(tài)規(guī)劃 階離散系統(tǒng) 性能指標 求決策向量 使有最小值 或最大值