福建省福州十三中高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷 理（含解析）.doc

2015-2016學(xué)年福建省福州十三中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題1已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于（）a第四象限b第三象限c第二象限d第一象限2已知集合a=x|x2x0，xr，集合b=x|log2x0，則a、b滿足（）aabbbaca=bdab且ba3甲乙兩人從4門課程中各選修兩門，則甲乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有（）種a30b36c60d724已知sinx+cosx=，則cos（x）=（）abcd5已知命題p：函數(shù)f（x）=|sin2x|的最小正周期為；命題q：若函數(shù)f（x+1）為偶函數(shù)，則f（x）關(guān)于x=1對(duì)稱則下列命題是真命題的是（）apqbpqc（p）（q）dp（q）6已知實(shí)數(shù)x1，2，3，4，5，6，7，8，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的x不小于121的概率為（）abcd7已知a=，則展開式中，x3項(xiàng)的系數(shù)為（）abcd8點(diǎn)（1，1）在不等式組，表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m2+n2的取值范圍是（）a3，4b2，4c1，+）d1，39一個(gè)幾何體的三視圖如圖，則其表面積為（）a20b18c14+2d14+210已知o為正三角形abc內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，若oab的面積與oac的面積比值為3，則的值為（）ab1c2d311已知雙曲線=1（a0，b0）的左、右焦點(diǎn)分別是f1，f2，過f2的直線交雙曲線的右支于p，q兩點(diǎn)，若|pf1|=|f1f2|，且3|pf2|=2|qf2|，則該雙曲線的離心率為（）abc2d12若函數(shù)f（x）=x2+ex（x0）與g（x）=x2+ln（x+a）圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，則a的取值范圍是（）a（）b（）c（）d（）二、填空題13 .已知點(diǎn)p（1，1）在曲線y=上，則曲線在點(diǎn)p處的切線方程為14設(shè)an是公比不為1的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為sn，若a4，a3，a5成等差數(shù)列，則=15把函數(shù)f（x）=圖象上各點(diǎn)向右平移（0）個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）=sin2x的圖象，則的最小值為16已知拋物線c：y2=2px （p0）的焦點(diǎn)為f，過點(diǎn)f傾斜角為60的直線l與拋物線c在第一、四象限分別交于a、b兩點(diǎn)，則的值等于三、解答題（本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17設(shè)abc的內(nèi)角a、b、c的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)s為abc的面積，滿足s=（）求b；（）若b=，設(shè)a=x，求函數(shù)y=f（x）的解析式和最大值18心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)（男30女20），給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答選題情況如右表：（單位：人）幾何題代數(shù)題總計(jì)男同學(xué)22830女同學(xué)81220總計(jì)302050（1）能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)？（2）經(jīng)過多次測(cè)試后，甲每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在57分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在68分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率（3）現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對(duì)她們的答題情況進(jìn)行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為 x，求 x的分布列及數(shù)學(xué)期望 ex附表及公式p（k2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828k2=19如圖，在直三棱柱abca1b1c1中，d，e分別是bc和cc1的中點(diǎn)，已知ab=ac=aa1=4，bac=90（） 求證：b1d平面aed；（） 求二面角b1aed的余弦值20已知拋物線y2=4x，過點(diǎn)m（0，2）的直線l與拋物線交于a、b兩點(diǎn)，且直線l與x交于點(diǎn)c（1）求證：|ma|，|mc|、|mb|成等比數(shù)列；（2）設(shè)，試問+是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由21已知函數(shù)f（x）=（x23x+3）ex定義域?yàn)?，t（t2），設(shè)f（2）=m，f（t）=n（）試確定t的取值范圍，使得函數(shù)f（x）在2，t上為單調(diào)函數(shù)；（）求證：nm；（）求證：對(duì)于任意的t2，總存x0（2，t），滿足，并確定這樣的x0的個(gè)數(shù)2015-2016學(xué)年福建省福州十三中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題1已知i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z=在復(fù)平面內(nèi)表示的點(diǎn)位于（）a第四象限b第三象限c第二象限d第一象限【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算【專題】數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)z，然后求出復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，則答案可求【解答】解：由=，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），位于第三象限故選：b【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題2已知集合a=x|x2x0，xr，集合b=x|log2x0，則a、b滿足（）aabbbaca=bdab且ba【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用【專題】計(jì)算題【分析】根據(jù)一元二次不等式的解法，對(duì)集合a進(jìn)行化簡(jiǎn)得x|0x1，根據(jù)利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性對(duì)集合b進(jìn)行化簡(jiǎn)得x|0x1，從而得到a，b之間的關(guān)系【解答】解：集合a=x|x2x0=x|0x1，集合b=x|log2x0=x|0x1，ba故選b【點(diǎn)評(píng)】此題是基礎(chǔ)題考查一元二次不等式的解法和對(duì)數(shù)不等式的解法，注意對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域，以及集合的包含關(guān)系的判斷及應(yīng)用3甲乙兩人從4門課程中各選修兩門，則甲乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有（）種a30b36c60d72【考點(diǎn)】計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用【專題】應(yīng)用題；排列組合【分析】“至少1門不同”包括兩種情況，兩門均不同和有且只有1門相同，再利用分步計(jì)數(shù)原理，即可求得結(jié)論【解答】解：甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法可以分為兩類：1、甲、乙所選的課程中2門均不相同，甲先從4門中任選2門，乙選取剩下的2門，有c42c22=6種2、甲、乙所選的課程中有且只有1門相同，分為2步：從4門中先任選一門作為相同的課程，有c41=4種選法；甲從剩余的3門中任選1門乙從最后剩余的2門中任選1門有c31c21=6種選法，由分步計(jì)數(shù)原理此時(shí)共有c41c31c21=24種綜上，由分類計(jì)數(shù)原理，甲、乙所選的課程中至少有1門不相同的選法共有6+24=30種故選：a【點(diǎn)評(píng)】本題考查排列組合知識(shí)，合理分類、正確分步是解題的關(guān)鍵4已知sinx+cosx=，則cos（x）=（）abcd【考點(diǎn)】?jī)山呛团c差的余弦函數(shù)【專題】三角函數(shù)的求值【分析】利用兩角和公式和誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可【解答】解：sinx+cosx=2（sinx+cosx）=2sin（x+）=2cos（x）=，cos（x）=，故選d【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握5已知命題p：函數(shù)f（x）=|sin2x|的最小正周期為；命題q：若函數(shù)f（x+1）為偶函數(shù)，則f（x）關(guān)于x=1對(duì)稱則下列命題是真命題的是（）apqbpqc（p）（q）dp（q）【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假【專題】簡(jiǎn)易邏輯【分析】分別判定命題p，q的真假性，利用復(fù)合命題站真假之間的關(guān)系即可得到結(jié)論【解答】解：函數(shù)f（x）=|sin2x|=|2sin2x1|cos2x|，cos2x的周期是，函數(shù)f（x）=|sin2x|的最小正周期為，即命題p是假命題若函數(shù)f（x+1）為偶函數(shù)，則f（x+1）=f（x+1），即f（x）關(guān)于x=1對(duì)稱，命題q為真命題，則pq為真命題，其余為假命題，故選：b【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)合命題真假之間的關(guān)系，利用條件先判定命題p，q的真假是解決本題的關(guān)鍵6已知實(shí)數(shù)x1，2，3，4，5，6，7，8，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的x不小于121的概率為（）abcd【考點(diǎn)】程序框圖【專題】圖表型；算法和程序框圖【分析】由程序框圖的流程，寫出前三項(xiàng)循環(huán)得到的結(jié)果，得到輸出的值與輸入的值的關(guān)系，令輸出值大于等于121得到輸入值的范圍，利用幾何概型的概率公式求出輸出的x不小于121的概率【解答】解：經(jīng)過第一次循環(huán)得到x=3x+1，n=2，經(jīng)過第二循環(huán)得到x=3（3x+1）+1，n=3，經(jīng)過第三次循環(huán)得到x=33（3x+1）+1+1，n=3此時(shí)輸出x，輸出的值為27x+13，令27x+13121，得x4，由幾何概型得到輸出的x不小于121的概率為：故選：b【點(diǎn)評(píng)】解決程序框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)時(shí)，一般采用先根據(jù)框圖的流程寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果，根據(jù)結(jié)果找規(guī)律，屬于基本知識(shí)的考查7已知a=，則展開式中，x3項(xiàng)的系數(shù)為（）abcd【考點(diǎn)】二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)；定積分【專題】計(jì)算題；二項(xiàng)式定理【分析】求定積分可得a的值，求出二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于3，求得r的值，即可求得展開式中的x3的系數(shù)【解答】解：a=dx=sinx=1，則二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)公式為tr+1=（）rx92r，令92r=3，求得r=3，展開式中x3項(xiàng)的系數(shù)為=，故選：c【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查求定積分，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題8點(diǎn)（1，1）在不等式組，表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m2+n2的取值范圍是（）a3，4b2，4c1，+）d1，3【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃【專題】不等式的解法及應(yīng)用【分析】求出約束條件，畫出可行域，然后利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求解即可【解答】解：點(diǎn)（1，1）在不等式組，表示的平面區(qū)域內(nèi)，可得，不等式組表示的可行域如圖：m2+n2的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方，顯然（1，0）到原點(diǎn)的距離最小，最小值為1，沒有最大值，則m2+n2的取值范圍是：1，+）故選：【點(diǎn)評(píng)】本題考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，基本知識(shí)的考查9一個(gè)幾何體的三視圖如圖，則其表面積為（）a20b18c14+2d14+2【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積【專題】計(jì)算題；作圖題；空間位置關(guān)系與距離【分析】由三視圖得其直觀圖，從而求各個(gè)面的面積之和即可【解答】解：由三視圖得其直觀圖如下，由正方體截去四個(gè)角得到，故其表面積s=22+22+422+4=20；故選a【點(diǎn)評(píng)】本題考查了學(xué)生的空間想象力與作圖計(jì)算的能力，屬于基礎(chǔ)題10已知o為正三角形abc內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，若oab的面積與oac的面積比值為3，則的值為（）ab1c2d3【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用；平面向量的基本定理及其意義【專題】計(jì)算題；壓軸題【分析】如圖d，e分別是對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)，對(duì)所給的向量等式進(jìn)行變形，根據(jù)變化后的條件得到；由于正三角形abc，結(jié)合題目中的面積關(guān)系得到=，由可得o分de所成的比，從而得出的值【解答】解：，變?yōu)槿鐖D，d，e分別是對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)，由平行四邊形法則知故在正三角形abc中，=，且三角形aoc與三角形adc同底邊ac，故o點(diǎn)到底邊ac的距離等于d到底邊ac的距離的三分之一，故=，=由得=故選a【點(diǎn)評(píng)】本小題主要考查向量的加法與減法，及向量共線的幾何意義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想屬于基礎(chǔ)題11已知雙曲線=1（a0，b0）的左、右焦點(diǎn)分別是f1，f2，過f2的直線交雙曲線的右支于p，q兩點(diǎn)，若|pf1|=|f1f2|，且3|pf2|=2|qf2|，則該雙曲線的離心率為（）abc2d【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)【專題】圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】先作出圖形，并作出雙曲線的右準(zhǔn)線l，設(shè)p到l的距離為d，根據(jù)雙曲線的第二定義即可求出q到l的距離為過q作l的垂線qq1，而過p作qq1的垂線pm，交x軸于n，在pmq中有，這樣即可求得d=，根據(jù)已知條件及雙曲線的定義可以求出|pf2|=2c2a，所以根據(jù)雙曲線的第二定義即可得到，進(jìn)一步可整理成，這樣解關(guān)于的方程即可【解答】解：如圖，l為該雙曲線的右準(zhǔn)線，設(shè)p到右準(zhǔn)線的距離為d；過p作pp1l，qq1l，分別交l于p1，q1；，3|pf2|=2|qf2|；，；過p作pmqq1，垂直為m，交x軸于n，則：；解得d=；根據(jù)雙曲線的定義，|pf1|pf2|=2a，|pf2|=2c2a；根據(jù)雙曲線的第二定義，；整理成：；解得（舍去）；即該雙曲線的離心率為故選a【點(diǎn)評(píng)】考查雙曲線的第二定義，雙曲線的準(zhǔn)線方程，雙曲線的焦距、焦點(diǎn)的概念，以及對(duì)雙曲線的定義的運(yùn)用，雙曲線的離心率的概念，相似三角形的比例關(guān)系12若函數(shù)f（x）=x2+ex（x0）與g（x）=x2+ln（x+a）圖象上存在關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)，則a的取值范圍是（）a（）b（）c（）d（）【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象【專題】函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用【分析】由題意可得ex0ln（x0+a）=0有負(fù)根，函數(shù)h（x）=exln（x+a）為增函數(shù)，由此能求出a的取值范圍【解答】解：由題意可得：存在x0（，0），滿足x02+ex0=（x0）2+ln（x0+a），即ex0ln（x0+a）=0有負(fù)根，當(dāng)x趨近于負(fù)無窮大時(shí)，ex0ln（x0+a）也趨近于負(fù)無窮大，且函數(shù)h（x）=exln（x+a）為增函數(shù)，h（0）=e0lna0，lnaln，a，a的取值范圍是（，），故選：a【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象和性質(zhì)，函數(shù)的零點(diǎn)，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)的極限，是函數(shù)圖象和性質(zhì)較為綜合的應(yīng)用二、填空題13 .已知點(diǎn)p（1，1）在曲線y=上，則曲線在點(diǎn)p處的切線方程為y=2x+1【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程【專題】計(jì)算題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用【分析】將點(diǎn)p代入曲線方程，求出a，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程【解答】解：由于點(diǎn)p（1，1）在曲線y=上，則1=，得a=2，即有y=，導(dǎo)數(shù)y=，則曲線在點(diǎn)p處的切線斜率為k=2即有曲線在點(diǎn)p處的切線方程為：y+1=2（x+1），即y=2x+1故答案為：y=2x+1【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程，考查直線方程的形式，以及運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題14設(shè)an是公比不為1的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為sn，若a4，a3，a5成等差數(shù)列，則=5【考點(diǎn)】等比數(shù)列的前n項(xiàng)和；等比數(shù)列的通項(xiàng)公式【專題】計(jì)算題【分析】設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q（q1），根據(jù)等比數(shù)列、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得到：2a1q2=a1q3+a1q4，易求q=2然后由等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式來求所求代數(shù)式的值【解答】解：等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q（q1），a4，a3，a5成等差數(shù)列，2a3=a4+a5，即2a1q2=a1q3+a1q4，整理，得（q+2）（q1）=0，解得 q=2或q=1（舍去），則=1+q2=1+（2）2=5故答案是：5【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式熟記公式是解題的關(guān)鍵15把函數(shù)f（x）=圖象上各點(diǎn)向右平移（0）個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）=sin2x的圖象，則的最小值為【考點(diǎn)】函數(shù)y=asin（x+）的圖象變換；三角函數(shù)的最值【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)【分析】由條件利用三角函數(shù)的恒等變換及化簡(jiǎn)f（x）的解析式，再利用y=asin（x+）的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論【解答】解：把函數(shù)f（x）=sin2x+cos2x=sin（2x+）圖象上各點(diǎn)向右平移（0）個(gè)單位，得到函數(shù)g（x）=sin2（x）+=sin（2x2+）=sin2x的圖象，則的最小值為，故答案為：【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，函數(shù)y=asin（x+）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題16已知拋物線c：y2=2px （p0）的焦點(diǎn)為f，過點(diǎn)f傾斜角為60的直線l與拋物線c在第一、四象限分別交于a、b兩點(diǎn)，則的值等于3【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的關(guān)系【專題】直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程【分析】設(shè)出a、b坐標(biāo)，利用焦半徑公式求出|ab|，結(jié)合x1x2=，求出a、b的坐標(biāo)，然后求其比值【解答】解：設(shè)a（x1，y1），b（x2，y2），則y12=2px1，y22=2px2，|ab|=x1+x2+p=p，即有x1+x2=p，由直線l傾斜角為60，則直線l的方程為：y0=（x），即y=xp，聯(lián)立拋物線方程，消去y并整理，得12x220px+3p2=0，則x1x2=，可得x1=p，x2=p，則=3，故答案為：3【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線的傾斜角，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，屬于中檔題三、解答題（本大題共5小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17設(shè)abc的內(nèi)角a、b、c的對(duì)邊長(zhǎng)分別為a、b、c，設(shè)s為abc的面積，滿足s=（）求b；（）若b=，設(shè)a=x，求函數(shù)y=f（x）的解析式和最大值【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理【專題】解三角形【分析】（）利用三角形面積公式表示出s，利用余弦定理表示出cosb，代入已知等式求出tanb的值，即可確定出b的度數(shù)；（）利用正弦定理表示出a，c，代入已知等式中利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)確定出最大值即可【解答】解：（）s=acsinb，cosb=，s=（a2+c2b2），acsinb=2accosb，tanb=，又b（0，），b=；（）由（）知b=，abc的內(nèi)角和a+b+c=，又a0，c0，得0a，由正弦定理，知a=2sinx，c=2sin（x），y=（1）a+2c=2（1）sinx+4sin（x）=2sinx+2cosx=2sin（x+）（0x），當(dāng)x+=，即x=時(shí)，y取得最大值2【點(diǎn)評(píng)】此題考查了正弦、余弦定理，三角形面積公式，以及兩角和與差的正弦函數(shù)公式，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵18心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關(guān)，某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)（男30女20），給所有同學(xué)幾何題和代數(shù)題各一題，讓各位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答選題情況如右表：（單位：人）幾何題代數(shù)題總計(jì)男同學(xué)22830女同學(xué)81220總計(jì)302050（1）能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)？（2）經(jīng)過多次測(cè)試后，甲每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在57分鐘，乙每次解答一道幾何題所用的時(shí)間在68分鐘，現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題，求乙比甲先解答完的概率（3）現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對(duì)她們的答題情況進(jìn)行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為 x，求 x的分布列及數(shù)學(xué)期望 ex附表及公式p（k2k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828k2=【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用；離散型隨機(jī)變量的期望與方差【專題】綜合題；概率與統(tǒng)計(jì)【分析】（1）根據(jù)所給的列聯(lián)表得到求觀測(cè)值所用的數(shù)據(jù)，把數(shù)據(jù)代入觀測(cè)值公式中，做出觀測(cè)值，同所給的臨界值表進(jìn)行比較，得到所求的值所處的位置，得到結(jié)論；（2）利用面積比，求出乙比甲先解答完的概率；（3）確定x的可能值有0，1，2依次求出相應(yīng)的概率求分布列，再求期望即可【解答】解：（1）由表中數(shù)據(jù)得k2的觀測(cè)值，所以根據(jù)統(tǒng)計(jì)有97.5%的把握認(rèn)為視覺和空間能力與性別有關(guān)；（2）設(shè)甲、乙解答一道幾何題的時(shí)間分別為x、y分鐘，則基本事件滿足的區(qū)域?yàn)椋ㄈ鐖D所示）設(shè)事件a為“乙比甲先做完此道題”則滿足的區(qū)域?yàn)閤y，由幾何概型即乙比甲先解答完的概率為；（3）由題可知在選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人，抽取方法有種，其中甲、乙兩人沒有一個(gè)人被抽到有種；恰有一人被抽到有種；兩人都被抽到有種，x可能取值為0，1，2，x的分布列為：x012p【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型隨機(jī)變量及其分布列、獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查根據(jù)列聯(lián)表做出觀測(cè)值，根據(jù)所給的臨界值表進(jìn)行比較，本題是一個(gè)綜合題19如圖，在直三棱柱abca1b1c1中，d，e分別是bc和cc1的中點(diǎn)，已知ab=ac=aa1=4，bac=90（） 求證：b1d平面aed；（） 求二面角b1aed的余弦值【考點(diǎn)】二面角的平面角及求法；直線與平面垂直的判定【專題】立體幾何【分析】（） 建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，分別計(jì)算=0， =0，利用直線與平面垂直的判定定理可證b1d平面aed；（）由（）分別求出平面aed和平面b1ae一個(gè)法向量；利用空間兩個(gè)向量的夾角公式即可求出二面角b1aed的余弦值【解答】解：（）依題意，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系axyz，ab=ac=aa1=4，a（0，0，0），b（4，0，0），e（0，4，2），d（2，2，0），b1（4，0，4），=（2，2，4），=（2，2，0），=（0，4，2），=4+4+0=0，即b1dad，=0+88=0，即b1dae，又ad，ae平面aed，且adae=a，則b1d平面aed；（）由（）知=（2，2，4），為平面aed的一個(gè)法向量，設(shè)平面b1ae的法向量為=（x，y，z），=（0，4，2），=（4，0，4），得，令y=1，得x=2，z=2，即=（2，1，2），cos（，）=，二面角二面角b1aed的余弦值為【點(diǎn)評(píng)】此題考查了二面角及求法，直線與平面垂直的判定，鍛煉了學(xué)生空間想象能力和邏輯推理能力，熟練掌握二面角的求法及直線與平面垂直的判定方法是解本題的關(guān)鍵20已知拋物線y2=4x，過點(diǎn)m（0，2）的直線l與拋物線交于a、b兩點(diǎn)，且直線l與x交于點(diǎn)c（1）求證：|ma|，|mc|、|mb|成等比數(shù)列；（2）設(shè)，試問+是否為定值，若是，求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題；等比關(guān)系的確定【專題】計(jì)算題；證明題【分析】（1）設(shè)直線l的方程為：y=kx+2，將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，再結(jié)合根系數(shù)的關(guān)系利用弦長(zhǎng)公式即可求得|ma|，|mc|、|mb|成等比數(shù)列，從而解決問題（2）由，得，從而利用x1，x2，及k來表示，最后結(jié)合（1）中根系數(shù)的關(guān)系即得故+為定值【解答】解：（1）設(shè)直線l的方程為：y=kx+2（k0），聯(lián)立方程可得得：k2x2+（4k4）x+4=0設(shè)a（x1，y1），b（x