概率統(tǒng)計(jì)習(xí)題解答new[1].doc

第一章 隨機(jī)事件及其概率1.1 樣本空間與隨機(jī)事件三計(jì)算下列各題1.解 1（1）；（2）；（3）；其中分別表示紅色，白色和藍(lán)色；（4）其中表示求放在盒子中，可類推；（5）其中分別表示三段之長(zhǎng)。2. 解 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）； （6）；（7）；（8）3. 解 （1）； （2）； （3）4. 解 （1）5； (2) 1,3,4,5,6,7,8,9,10； (3) 2,3,4,5；(4) 1,5,6,7,8,9,10； (5) 1,2,5,6,7,8,9,10。5 解 (1) (2) 。1.2 事件的頻率與概率三、計(jì)算下列各題1.2 . 解 3. 解 A=“他通過(guò)口試”，B=“他通過(guò)筆試”,則 P(A)=0.8, P(B)=0.65, P(A+B)=0.75 P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)=0.8+0.65-0.75=0.70即該學(xué)生這門課結(jié)業(yè)的可能性為70%。4. 解 設(shè)A、B、C分別表示炸彈炸中第一、第二、第三軍火庫(kù)這三個(gè)事件，D表示軍火庫(kù)爆炸這個(gè)事件，則P(D)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.025+0.1+0.1=0.225.四、證明題證 。1.3 古典概型與幾何概型三、計(jì)算下列各題1解 （1） 2. 解 3. 解 。4解 ； 5. 解 。6. 解 基本事件總數(shù)有種(1) 每個(gè)班各分一名優(yōu)秀生有3! 種, 對(duì)每一分法,12名非優(yōu)秀生平均分配到三個(gè)班中分法總數(shù)為種, 所以共有種分法. 所以 p =. (2)3名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班, 分法有3種, 對(duì)每一分法,12名非優(yōu)秀生分配到三個(gè)班中分法總數(shù)為, 共有種, 所以 q =。7. 解 這是幾何概型, 樣本空間占有面積為,所求事件占有面積為所以, 所求概率。8. 1.4 條件概率三、計(jì)算下列各題1 解 。2. 解 。3. 解 =“第次取到正品” =1，2，3，4.4. 解 設(shè) B=“最終甲勝”，Ai=“第i局甲勝” 四、證明題1. 證 。2. 證 。1.5 全概率公式和貝葉斯公式三、 計(jì)算下列各題1. 解 =“在第箱取球” =1，2，3，=“取出一球?yàn)榘浊颉?. 解 設(shè)=取得的產(chǎn)品為正品， 分別為甲、乙、丙三廠的產(chǎn)品= ，=，=，所以 0.83。3. 解 設(shè)=輸血成功 分別表示型血型則 同理可求出 則 0.717。4. 解 =從人群中任取一人是男性， =色盲患者 因?yàn)?所以 。5. 解 分別表示三車間生產(chǎn)的螺釘，=“表示次品螺釘” =同理 = ； =。6. 所以 。1.6 事件的獨(dú)立性三、計(jì)算下列各題 1. 解 表示一個(gè)燈泡使用時(shí)數(shù)在1000小時(shí)以上三燈泡中最多有一個(gè)壞=三個(gè)全好+只有一個(gè)壞= (0.2)3+(0.2)2(10.2)=0.104。 2. 解 。3. 解 設(shè)需要配置門高射炮=“高炮擊中飛機(jī)”， 則 飛機(jī)被擊中=門高射炮中至少有一門擊中 =1門高射炮全不命中 至少配備6門炮。4. 解 設(shè)=目標(biāo)一次射擊中被擊毀=目標(biāo)被擊中的發(fā)數(shù)，（0，1，2，3，）則=0.20.70.5+0.80.30.5+0.80.70.5=0.47=0.20.30.5+0.20.70.5+0.80.30.5=0.22=0.20.30.5=0.03 所以 0.470.2+0.20.6+0.030.9=0.253。5. 解 =“正好在第6次后停止”，=“第5次也正面朝上”.四、證明題證 第二章 隨機(jī)變量及其函數(shù)的概率分布2.1 隨機(jī)變量與分布函數(shù) 2.2 離散型隨機(jī)變量及其概率分布三、 計(jì)算下列各題1. 解 的可能取值為5，6，7，8，9，10 且 所以的分布列為 5 6 7 8 9 10 2. 解 的取值為1，2，3， 且 . 此即為的分布列。3. 解 的分布列為 1 2 3 由分布函數(shù)的計(jì)算公式得的分布函數(shù)為 4. 解 5. 解 （1）因?yàn)?及，所以（2）令類似上題可得 。所以的分布律為 6. 解 =0, 1, 2, 3, =“汽車在第個(gè)路口遇到紅燈.”，=1，2，3.=, =，= 01231/21/41/81/8為所求概率分布7.四、證明題 2.3 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度函數(shù)三、計(jì)算下列各題1. 解 ， 2.解 3. 解 （1）因?yàn)?，所以故。（2）因?yàn)?4. 解 當(dāng)時(shí)，設(shè)，則點(diǎn)落到以為球心，為半徑的球面上時(shí)，它到點(diǎn)的距離均為，因此，所以，的分布函數(shù)為的密度函數(shù)為 5. 解 6. 解 p = P ()=, 由已知 (3, )所以 7. 解 （1）因?yàn)?所以走第二條。 （2）類似的走第一條。2.4 隨機(jī)變量函數(shù)的分布三、計(jì)算下列各題1. 解：的分布律為 1 2 5 2. 解 的密度函數(shù)為 （1） 設(shè)，則有 。 所以 ，因此當(dāng)及時(shí)，由知；當(dāng)時(shí)，由知，所以所求密度函數(shù)為（2） 類似的可得：3. 解 （1）的密度函數(shù)為 ，的分布函數(shù)為 所以的密度函數(shù)為 （2）的分布函數(shù)為 所以的密度函數(shù)為 4.解 所以 5. 6.四、證明題1. 證 2. 證 X服從參數(shù)為0.5的指數(shù)分布,則概率密度為 , 函數(shù)y單調(diào)可導(dǎo),其反函數(shù)為 由公式 所以在區(qū)間(0,1)服從均勻分布。第三章 多維隨機(jī)變量及其分布3.1 二維隨機(jī)變量的概率分布三、計(jì)算下列各題1.解 因?yàn)?2. 解. 3.解 是的聯(lián)合概率密度只要滿足0與所以是隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度。4. 解：（1）（2）（3）（4）=5. 解 6解：（1）在沒(méi)有取白球的情況下取了一次紅球相當(dāng)于只有1個(gè)紅球，2個(gè)黑球有放回的取兩次，其中摸到一個(gè)紅球；（2）X，Y的取值范圍為0,1,2，故 XY01201/41/61/3611/31/9021/9003.2 邊緣分布3.3 條件分布3.4 隨機(jī)變量的獨(dú)立性三、計(jì)算下列各題1.解：由題意，則由概率的乘法公式有因此 XY123411/41/81/121/1625/48201/81/121/1613/483001/121/167/4840001/163/481/41/41/41/412. 3. 解：（1）由于（2）4. 解 即5. 6. 解 （1）. ，(3) .7. 解Y X-101Pj0P11P21P311/210P2201/2Pi.1/41/21/41（1）設(shè)的聯(lián)合分布為Y X-10101/401/4101/20 8. 解：（1）（2）含有a的二次方程為有實(shí)根的充要條件為.而 四、證明題證明： 3.5 兩個(gè)隨機(jī)變量函數(shù)的分布 三、計(jì)算下列各題1. 解 由獨(dú)立性可得（）（1，2） （1，4） （3，2） （3，4） 0.18 0.12 0.42 0.28 3 5 5 7 1 3 1 1所以 的分布律為,的分布律為2. 解 由已知的密度函數(shù)為Y在-,服從均勻分布, 則, X和Y獨(dú)立, 由公式3解 獨(dú)立，又= ，令，則4. 解5. 解：X與Y相互獨(dú)立，且，6. 解.7. 解：(1) (2) 所以8. 解：（），其中D為中的那部分區(qū)域； 求此二重積分可得 （） 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 于是9. 解 以表示第個(gè)元件無(wú)故障工作時(shí)間，則獨(dú)立且分布函數(shù)為. 所以T服從參數(shù)為的指數(shù)分布10. 解：（） ； .所以：（）。11. 解：設(shè)某種商品在第i周的需求量為，由題意得相互獨(dú)立，且有（1）記兩周需求量為Z，即，則Z的概率密度為（2）記三周需求量為W，即，又與相互獨(dú)立，則W的概率密度為第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征4.1 數(shù)學(xué)期望 4.2 方差三、計(jì)算下列各題1. 解 設(shè)球的直徑為,其概率密度為 2. 解 的概率密度，。3. 解: 以線段起點(diǎn)為原點(diǎn)，X，Y分別表示點(diǎn)M與N的位置， ， ，令， 這時(shí) 。4. 解 “第次命中目標(biāo)”,)=, 取 所以 , ,取 1故 從而 。5. 解 6. 解 -1 - 0 1 0.2 0.1 0 0.4 0.1 0.1 0.1 0 1 4 9 160.1 0.2 0.3 0.4 0。7. 解 令。8. 解：條件期望的含義是：在已知第二次取出的5只球中有1個(gè)白球的情況下，第一次取出3只球中平均白球數(shù)是多少？為求得條件期望，先要求得條件下X的條件分布，即第二次抽取5只球中只有1只白球，其余4只是紅球，因此第一次抽球只能在3只白球和1只紅球中隨機(jī)抽3只球，這時(shí)X至少為2，因?yàn)榧t球只有1個(gè)，故，由此可算得下的條件期望。9.解：由題設(shè)，每人在第i層下電梯的概率均為，設(shè)表示第k人在第i層下電梯，則有，又設(shè)，則因此，電梯停的總次數(shù)為， 。10. 解：由密度函數(shù)性質(zhì)及已給條件，知有， ， ，三個(gè)方程，三個(gè)變量，解之可得：。11.解：設(shè)，則，由于X與Y相互獨(dú)立，則有而，則有。因此。四、證明題證明： ，因?yàn)閄和Y相互獨(dú)立，所以有，又，從而有。4.3 協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)4.4 原點(diǎn)矩與中心矩三、計(jì)算下列各題1. 解 。2. 解 ；3. 解：（1）， （2） （3）對(duì)于任意實(shí)數(shù)，有4. 。5. 解 6.解 （1） ， ， ，若不相關(guān)，則（2）。7. 解：(1) ， ， 由于X與Y分別服從正態(tài)分布，所以也服從正態(tài)分布；(2) 因?yàn)?，注意到，且，所?，由協(xié)方差定義：；(3)由于X與均服從正態(tài)分布，故“相關(guān)系數(shù)為零”等價(jià)于“相互獨(dú)立”，因此X與相互獨(dú)立。8. 解：；。9.解：（1）依題意，有，且因?yàn)?，而，由方差公式可求出，同理可得，所以又，同理有，綜合上述結(jié)果，可得（2）若不相關(guān)，則，因此，又，則時(shí)不相關(guān)。四、證明題第五章 大數(shù)定律與中心極限定理5.1 大數(shù)定律 5.2 中心極限定理一、填空題1 1/9 ；2 ， ； 3 ；41/12；解：因?yàn)?，故由切比雪夫不等式，.51/2解：因?yàn)?，所以 ，故由辛欽大數(shù)定律，對(duì)，有，即 依概率收斂于.二、選擇題1 B解：因?yàn)?，所以由切比雪夫不等式直接可?故答案選B.2 C解：由切比雪夫不等式：，與無(wú)關(guān)，故答案取C.3. B4. A解：.5 A解：由于服從參數(shù)為的指數(shù)分布，所以，由中心極限定理， ，故答案取A.三、計(jì)算題1. 解： 設(shè)表示1000次試驗(yàn)中出現(xiàn)的次數(shù)，則 ，由切比雪夫不等式有所以可以用大于0.97的概率確信：在1000次實(shí)驗(yàn)中，事件出現(xiàn)的次數(shù)在400與600范圍內(nèi).2. 解：設(shè)為擲一次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，則其分布律為：，所以 ，；依題意 ，所以.3.4 解：設(shè)總長(zhǎng)度為，則，由林德貝格列維中心極限定理，知 ，所以合格的概率為：.5解：設(shè)為選擇第題所得到的分?jǐn)?shù)，由題設(shè)，服從分布，另設(shè)總得分為，則，且，由德莫弗拉普拉斯定理，查正態(tài)分布表可得.6. 解：（1）設(shè)為系統(tǒng)中正常運(yùn)行完好的元件數(shù)， 則，由德莫弗拉普拉斯定理，.（2）已知 ，求滿足條件的，其中 ，同（1）解法， ，查正態(tài)分布表可得：，取即可.7. 解：（1）服從二項(xiàng)分布，參數(shù)：，即，其概率分布為 ； （2）， 根據(jù)德莫弗拉普拉斯定理 .8解：設(shè)為500輛參加保險(xiǎn)的汽車中出事故的車輛數(shù)，則服從二項(xiàng)分布，由題設(shè)，保險(xiǎn)