混料回歸設(shè)計(jì).doc

幾種常用的混料回歸設(shè)計(jì)返回主頁(yè) 針對(duì)各種回歸模型和試驗(yàn)區(qū)域以及各種“最優(yōu)性”要求，人們提出了許多種混料回歸設(shè)計(jì)方案，下面介紹幾種常用的方法和應(yīng)用實(shí)例。一、單純形格子設(shè)計(jì) 將試驗(yàn)點(diǎn)取在相應(yīng)階數(shù)的正規(guī)單純形格子點(diǎn)上，這樣的試驗(yàn)設(shè)計(jì)稱為單純形格子設(shè)計(jì)。 單純形格子設(shè)計(jì)是混料回歸設(shè)計(jì)方案中最先出現(xiàn)的，也是最基本的設(shè)計(jì)方案，很多其它設(shè)計(jì)方案的構(gòu)成要用到單純形格子設(shè)計(jì)。對(duì)于由約束條件(1)構(gòu)成的正規(guī)單純形因子空間，當(dāng)采用(4)、(5)、(6)模型形式的完全形規(guī)范多項(xiàng)回歸模型時(shí)，試驗(yàn)點(diǎn)可以取在正規(guī)單純形的格子點(diǎn)上，構(gòu)成單純形格子設(shè)計(jì)。它可以保證試驗(yàn)點(diǎn)分布均勻，而且計(jì)算簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確，回歸系數(shù)只是相應(yīng)格子點(diǎn)的響應(yīng)值的簡(jiǎn)單函數(shù)。 下面介紹格子點(diǎn)概念與計(jì)算公式。 將下圖中高為1的等邊三角形(a)三條邊各二等分，則此三角形(b)的三個(gè)頂點(diǎn)與三個(gè)邊中點(diǎn)的總體稱為二階格子點(diǎn)集，記為3，2，3表示正規(guī)單純形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，2表示每邊的等分?jǐn)?shù)。將等邊三角形(c)各邊三等分，對(duì)應(yīng)分點(diǎn)連成與一邊平行的直線，在等邊三角形上形成許多格子，則這些小等邊三角形的頂點(diǎn)，即這些格子的頂點(diǎn)的總體稱為三階格子點(diǎn)集，記為3，3。前面的3指明正規(guī)單純形頂點(diǎn)個(gè)數(shù)，后面的3指明了每邊的等分?jǐn)?shù)。 用類似的方法,可做出其它各種格子點(diǎn)集。三頂點(diǎn)正規(guī)單純形的四階格子點(diǎn)集記為3，4，總共有15個(gè)點(diǎn)。 四頂點(diǎn)正規(guī)單純形(d)的二階和三階格子點(diǎn)集分別用4，2和4，3表示，如圖(e)和(f)所示。 變量試驗(yàn)X1X2X311002010300141/21/2051/201/2601/21/2圖b 3，2 單純形格子設(shè)計(jì) 變量試驗(yàn)X1X2X311002010300142/31/3051/32/3062/301/371/302/3802/31/3901/32/3101/31/31/3 圖c 3，4 單純形格子設(shè)計(jì) 下面一般地介紹(n1)維正規(guī)單純形(有n個(gè)頂點(diǎn))d階格子點(diǎn)集n，d中各格子點(diǎn)的正規(guī)單純形坐標(biāo)(重心坐標(biāo))的計(jì)算法。取n個(gè)互相正交的單位向量a1(1，0，.，0)，a2(0，1，.，0)，.，an(0，0，.，1)，則這n個(gè)單位向量的頂點(diǎn)便圍成一個(gè)(n1)維正規(guī)單純形，此正規(guī)單純形上任一點(diǎn)都可以表示為i1a1i2a2.inan (i1，i2，.，in)， (10)其中i1，i2，.，in 0， i1i2.ip1 ， (11)當(dāng)i1，i2，.，in都取分母是d的分?jǐn)?shù)時(shí)，即 則式(11)所確定的總體就是(n1)維正規(guī)單純形的d階格子點(diǎn)集n，d，也就是說(shuō)可以算出n，d中各點(diǎn)的單純形坐標(biāo)系的坐標(biāo)。下面我們以n4為例，算出4，2，4，3各點(diǎn)的坐標(biāo)。 4，2 單純形格子設(shè)計(jì)變量試驗(yàn)X1 X2X3X41100020100300104000151/21/20061/201/2071/2001/2801/21/20901/201/210001/21/2 4，3 單純形格子設(shè)計(jì) 變量試驗(yàn)X1X2X3X41100020100300104000152/31/30061/32/30072/301/3081/302/3092/3001/3101/3002/31102/31/301201/32/301302/301/31401/302/315002/31/316001/32/3171/31/31/30181/31/301/3191/301/31/32001/31/31/3(1) p4，d2.： 此時(shí)a1、a2、a3、a4只有兩種取法： 某個(gè)a為2，其余為零，有4 個(gè)點(diǎn)； 某兩個(gè)a為1，其余者為零，有6 個(gè)點(diǎn)。4，2的10個(gè)點(diǎn)如表所示。(2) p4，d3。 此時(shí)a1、a2、a3、a4有三種取法： 某個(gè)a為3，其余者為零，有4個(gè)點(diǎn)； 某個(gè)a為2，另外一個(gè)為1，其余兩個(gè)為零，有12個(gè)點(diǎn)； 某三個(gè)a為1，剩下那個(gè)a為零，有4個(gè)點(diǎn)。 4，3的20個(gè)點(diǎn)如表所示。 單純形格子設(shè)計(jì)法 設(shè)有n分量系統(tǒng)，各分量Xi(i1，2，.，n)的變化范圍滿足約束條件(1)，當(dāng)采用d階完全型規(guī)范多項(xiàng)式回歸模型時(shí)，試驗(yàn)點(diǎn)選為n，d的C個(gè)格子點(diǎn)。 在單純形格子設(shè)計(jì)中，n分量d階格子點(diǎn)集n，d中有C個(gè)點(diǎn)，正好與所采用的d 階完全型規(guī)范多項(xiàng)式回歸方程中待估計(jì)的回歸系數(shù)的個(gè)數(shù)相等，故單純形格子設(shè)計(jì)是飽和設(shè)計(jì)，是在“試驗(yàn)次數(shù)最少”意義下的最優(yōu)設(shè)計(jì)。 常用的單純形格子設(shè)計(jì)的試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)及相應(yīng)的完全型規(guī)范多項(xiàng)式回歸方程階數(shù)d 之間的關(guān)系如表所示。 單純形格子設(shè)計(jì)回歸系數(shù)的計(jì)算 單純形格子設(shè)計(jì)中，每個(gè)回歸系數(shù)的值，取決于對(duì)應(yīng)的一些格子點(diǎn)上的響應(yīng)值，而與其它設(shè)計(jì)點(diǎn)上的響應(yīng)值無(wú)關(guān)，各回歸系數(shù)都可以表達(dá)成相應(yīng)設(shè)計(jì)點(diǎn)上響應(yīng)值的簡(jiǎn)單線性組合，用計(jì)算機(jī)建模更方便。下面是三分量混料設(shè)計(jì)的二階多項(xiàng)式回歸方程。三分量二階多項(xiàng)式回歸方程的規(guī)范形式為： YX1X2X3X1X2X1X3X2X3 非單純形格子設(shè)計(jì)回歸系數(shù)的計(jì)算 由于實(shí)際的試驗(yàn)區(qū)域有時(shí)是沒(méi)有規(guī)則的幾何形狀，對(duì)于三分量的混料試驗(yàn)，當(dāng)有上、下界約束條件時(shí)，有可能出現(xiàn)如下圖所示的幾種情況，可用