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幾種常用的混料回歸設(shè)計(jì)返回主頁(yè) 針對(duì)各種回歸模型和試驗(yàn)區(qū)域以及各種“最優(yōu)性”要求,人們提出了許多種混料回歸設(shè)計(jì)方案,下面介紹幾種常用的方法和應(yīng)用實(shí)例。一、單純形格子設(shè)計(jì) 將試驗(yàn)點(diǎn)取在相應(yīng)階數(shù)的正規(guī)單純形格子點(diǎn)上,這樣的試驗(yàn)設(shè)計(jì)稱為單純形格子設(shè)計(jì)。 單純形格子設(shè)計(jì)是混料回歸設(shè)計(jì)方案中最先出現(xiàn)的,也是最基本的設(shè)計(jì)方案,很多其它設(shè)計(jì)方案的構(gòu)成要用到單純形格子設(shè)計(jì)。對(duì)于由約束條件(1)構(gòu)成的正規(guī)單純形因子空間,當(dāng)采用(4)、(5)、(6)模型形式的完全形規(guī)范多項(xiàng)回歸模型時(shí),試驗(yàn)點(diǎn)可以取在正規(guī)單純形的格子點(diǎn)上,構(gòu)成單純形格子設(shè)計(jì)。它可以保證試驗(yàn)點(diǎn)分布均勻,而且計(jì)算簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確,回歸系數(shù)只是相應(yīng)格子點(diǎn)的響應(yīng)值的簡(jiǎn)單函數(shù)。 下面介紹格子點(diǎn)概念與計(jì)算公式。 將下圖中高為1的等邊三角形(a)三條邊各二等分,則此三角形(b)的三個(gè)頂點(diǎn)與三個(gè)邊中點(diǎn)的總體稱為二階格子點(diǎn)集,記為3,2,3表示正規(guī)單純形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù),2表示每邊的等分?jǐn)?shù)。將等邊三角形(c)各邊三等分,對(duì)應(yīng)分點(diǎn)連成與一邊平行的直線,在等邊三角形上形成許多格子,則這些小等邊三角形的頂點(diǎn),即這些格子的頂點(diǎn)的總體稱為三階格子點(diǎn)集,記為3,3。前面的3指明正規(guī)單純形頂點(diǎn)個(gè)數(shù),后面的3指明了每邊的等分?jǐn)?shù)。 用類似的方法,可做出其它各種格子點(diǎn)集。三頂點(diǎn)正規(guī)單純形的四階格子點(diǎn)集記為3,4,總共有15個(gè)點(diǎn)。 四頂點(diǎn)正規(guī)單純形(d)的二階和三階格子點(diǎn)集分別用4,2和4,3表示,如圖(e)和(f)所示。 變量試驗(yàn)X1X2X311002010300141/21/2051/201/2601/21/2圖b 3,2 單純形格子設(shè)計(jì) 變量試驗(yàn)X1X2X311002010300142/31/3051/32/3062/301/371/302/3802/31/3901/32/3101/31/31/3 圖c 3,4 單純形格子設(shè)計(jì) 下面一般地介紹(n1)維正規(guī)單純形(有n個(gè)頂點(diǎn))d階格子點(diǎn)集n,d中各格子點(diǎn)的正規(guī)單純形坐標(biāo)(重心坐標(biāo))的計(jì)算法。取n個(gè)互相正交的單位向量a1(1,0,.,0),a2(0,1,.,0),.,an(0,0,.,1),則這n個(gè)單位向量的頂點(diǎn)便圍成一個(gè)(n1)維正規(guī)單純形,此正規(guī)單純形上任一點(diǎn)都可以表示為i1a1i2a2.inan (i1,i2,.,in), (10)其中i1,i2,.,in 0, i1i2.ip1 , (11)當(dāng)i1,i2,.,in都取分母是d的分?jǐn)?shù)時(shí),即 則式(11)所確定的總體就是(n1)維正規(guī)單純形的d階格子點(diǎn)集n,d,也就是說(shuō)可以算出n,d中各點(diǎn)的單純形坐標(biāo)系的坐標(biāo)。下面我們以n4為例,算出4,2,4,3各點(diǎn)的坐標(biāo)。 4,2 單純形格子設(shè)計(jì)變量試驗(yàn)X1 X2X3X41100020100300104000151/21/20061/201/2071/2001/2801/21/20901/201/210001/21/2 4,3 單純形格子設(shè)計(jì) 變量試驗(yàn)X1X2X3X41100020100300104000152/31/30061/32/30072/301/3081/302/3092/3001/3101/3002/31102/31/301201/32/301302/301/31401/302/315002/31/316001/32/3171/31/31/30181/31/301/3191/301/31/32001/31/31/3(1) p4,d2.: 此時(shí)a1、a2、a3、a4只有兩種取法: 某個(gè)a為2,其余為零,有4 個(gè)點(diǎn); 某兩個(gè)a為1,其余者為零,有6 個(gè)點(diǎn)。4,2的10個(gè)點(diǎn)如表所示。(2) p4,d3。 此時(shí)a1、a2、a3、a4有三種取法: 某個(gè)a為3,其余者為零,有4個(gè)點(diǎn); 某個(gè)a為2,另外一個(gè)為1,其余兩個(gè)為零,有12個(gè)點(diǎn); 某三個(gè)a為1,剩下那個(gè)a為零,有4個(gè)點(diǎn)。 4,3的20個(gè)點(diǎn)如表所示。 單純形格子設(shè)計(jì)法 設(shè)有n分量系統(tǒng),各分量Xi(i1,2,.,n)的變化范圍滿足約束條件(1),當(dāng)采用d階完全型規(guī)范多項(xiàng)式回歸模型時(shí),試驗(yàn)點(diǎn)選為n,d的C個(gè)格子點(diǎn)。 在單純形格子設(shè)計(jì)中,n分量d階格子點(diǎn)集n,d中有C個(gè)點(diǎn),正好與所采用的d 階完全型規(guī)范多項(xiàng)式回歸方程中待估計(jì)的回歸系數(shù)的個(gè)數(shù)相等,故單純形格子設(shè)計(jì)是飽和設(shè)計(jì),是在“試驗(yàn)次數(shù)最少”意義下的最優(yōu)設(shè)計(jì)。 常用的單純形格子設(shè)計(jì)的試驗(yàn)點(diǎn)數(shù)及相應(yīng)的完全型規(guī)范多項(xiàng)式回歸方程階數(shù)d 之間的關(guān)系如表所示。 單純形格子設(shè)計(jì)回歸系數(shù)的計(jì)算 單純形格子設(shè)計(jì)中,每個(gè)回歸系數(shù)的值,取決于對(duì)應(yīng)的一些格子點(diǎn)上的響應(yīng)值,而與其它設(shè)計(jì)點(diǎn)上的響應(yīng)值無(wú)關(guān),各回歸系數(shù)都可以表達(dá)成相應(yīng)設(shè)計(jì)點(diǎn)上響應(yīng)值的簡(jiǎn)單線性組合,用計(jì)算機(jī)建模更方便。下面是三分量混料設(shè)計(jì)的二階多項(xiàng)式回歸方程。三分量二階多項(xiàng)式回歸方程的規(guī)范形式為: YX1X2X3X1X2X1X3X2X3 非單純形格子設(shè)計(jì)回歸系數(shù)的計(jì)算 由于實(shí)際的試驗(yàn)區(qū)域有時(shí)是沒(méi)有規(guī)則的幾何形狀,對(duì)于三分量的混料試驗(yàn),當(dāng)有上、下界約束條件時(shí),有可能出現(xiàn)如下圖所示的幾種情況,可用

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