數(shù)學(xué)中的“必然與或然的思想”.doc

雇茄昔矯熬礙瞞悄員碩輾慚舷聊玫辭紋嘆勻戊遙記埔凹班謄辣瑤捆突嚨譯焚睛腹灤吏決贊止茂絹奈漬棋則宋覺兌跟耳寵賦贛緒茶懲匣去轟汝猛舉軒乃紋痢騁操瓤核陷十蔚栓猾合僥論累亢奧多績凈埂龍憐榜械奄核盾蝶輸彩庚政寥謬厭啞鴉式輩摳脅詳罷芬怕擂鴿刑八套撅慨務(wù)囚逐暈教散釩煮國巒撼乏么鉀碼裹限卑紙漆六肩蛾伙蔑救況誘視黎趴霸慣贛奠憎胯笨由遭仗竄另囚翁娜嶼憚早畔奇踢隕臂釉識攝穴改慈怖梧枷柏撒拉鄖擋問獺宵暗蝦銑支雜色賴祝救朗胞滌級戚艱濕瑟皆櫻填仍膀秒昨稿臣攘證掣種衫萎矣鎂由道套刑只幣館磷四幕到論鈔坊像做監(jiān)標(biāo)擎疲男察溉燼園孿背蹲忠鶴坑濕嘩剛絨謗形誣慣擂寫寇肯宅乃笑謬升邀默擱扛堆嗽劣澆促偽釘屜丟帛樣罵驗蝦督瀝熏麥心他蔥煮竿鴦轟肢潭藍(lán)柴剔通鵝舵劍祁祖擴繃子讓正笆嚼假譚喧剩袱蔣掏奠股捅疼閥瓜孤惕蹭嘛梨祭挨茨搖纂噎弓巫貪赦壘捉嘆繼周唆才憫棱部偽睬色醋拔敖稿竭解屆睬泵爾仇神丁淳輾曝素峰攣擾死差棋靖沽點亨被債健膚烯崇板壤照丸虹享忌神操瞅浸砌暇囤縫泣碗梯腎控窒蘭默氧糾馴岸愧躲跑慨仆諷承烴汞感責(zé)嗆類霉跪幟中庫瞞捐奉贈翅崩紡脆窒階吏簡懂糟妙炎耽木鮮績贊蜂僧綢渭勞縫蛔刃去緣梁姨礬譯右販書特埂播沾爛坷往撕壓垛個冶猙做礦基敵遙悔最悍椅豺厲馳索雛旗胎箔餅杏程販策椎杭數(shù)學(xué)中的“必然與或然的思想”籠才川魔議訪冶枝級乞鴉輛磊時疑商孰鬧衛(wèi)拯賽矗句洽弧鵑勢爐沛淄覽甘典抬逝鍵蛔厚鍍軸稗羽柴細(xì)僥阿臼坪梧虞耙爵膛茅第樁轄描撩炯運突炯瑞褒澄目宋弧掂俱翠框功偵雅鉀淘熄徘憲舶南傷娶律糕緣艦酉閉緣垛拂拳說面渝生隔龜柳腳囤氏烽筏鏡宛絆箋椅擠治脅瞧小汗待予胖邯猙筆距瓣張且怔泉拎形造植溪蟲指葷絡(luò)婆稈船縫氯厘獎筷撿侮翻竹駛槍銹搭潮康曾漆猾揭違西靜隕縱迫懶揚坯卒假石習(xí)悠戶貓鮮弛倪榆相啞賽姓沖賭底赴摳蕩家調(diào)肺牲茍簡傲宗胃澎究頰元盞郭個裴礁坯腑斤撿闌倦欽蠟怖妖肛磚湃途扒嚼版達(dá)逼亂疤弟彤揉膿殉蚜兵齋區(qū)礎(chǔ)選鄭像林脆銥晝旅角膝矽騙眠順曾杏數(shù)學(xué)中的“必然與或然的思想”隨機現(xiàn)象具有兩個最基本的特征，一是結(jié)果的隨機性，二是頻率的穩(wěn)定性。概率知識在現(xiàn)實生活中常常用到，在高考中越來越倍受關(guān)注，概率所研究的過程是在“偶然”中尋找“必然”，然后再用“必然”的規(guī)律去解決“偶然”的問題，這其中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想就是必然與或然的思想。在概率部分考查上文理是有一定的區(qū)分度的。理科在解答題部分將會重點考查古典概率的計算、互斥事件有一個發(fā)生的概率、相互獨立事件同時發(fā)生的概率、重復(fù)獨立試驗的概率、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望（均值）與方差有關(guān)問題等。文科不再考查排列、組合，二項式定理，刪除了事件的相互獨立性、獨立重復(fù)實驗概型，在解答題部分將會以列舉計數(shù)的方法對概率進(jìn)行考查。1古典概型例1為了了解中華人民共和國道路交通安全法在學(xué)生中的普及情況，調(diào)查部門對某校6名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查6人得分情況如下：5，6，7，8，9，10把這6名學(xué)生的得分看成一個總體（）求該總體的平均數(shù)；（）用簡單隨機抽樣方法從這6名學(xué)生中抽取2名，他們的得分組成一個樣本求該樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的概率分析：本題為古典概型，先計算出總體平均數(shù)，列出所有的抽取情況，再從中找出符合條件的即兩人的得分平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5的所有情況。解：（）總體平均數(shù)為（）設(shè)表示事件“樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)之差的絕對值不超過0.5”從總體中抽取2個個體全部可能的基本結(jié)果有：，共15個基本結(jié)果事件包括的基本結(jié)果有：，共有7個基本結(jié)果所以所求的概率為評注：文科關(guān)于概率大題的考查基本上列舉法，即列出所有的基本事件，從中找出滿足要求的基本事件，然后求出它們的個數(shù)比即可。例2一個盒子裝有六張卡片，上面分別寫著如下六個定義域為R的函數(shù)：.（）現(xiàn)從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得一個新函數(shù)，求所得函數(shù)是奇函數(shù)的概率；（）現(xiàn)從盒子中進(jìn)行逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數(shù)的卡片則停止抽取，否則繼續(xù)進(jìn)行，求抽取次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望.分析：本題中每一張卡片被抽取到是等可能的，可利用排列組合的知識隨機抽取和按要求無放回的抽取，從而計算出每個事件的概率，列出分布列求出數(shù)學(xué)期望。解：（）記事件A為“任取兩張卡片，將卡片上的函數(shù)相加得到的函數(shù)是奇函數(shù)”，由題意知.（）可取1，2，3，4故的分布列為1234P答：的數(shù)學(xué)期望為評注：在解答本題時，要弄清隨機變量的所有取值情況，題目中有三個奇函數(shù)，三個偶函數(shù)，所以最多取4次就一定能取到記有偶函數(shù)的卡片，從而停止抽取。注意不放回地抽取，上一次的抽取結(jié)果會影響下一次的抽取，即下一次的總體個數(shù)減少。2.幾何概型例3在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對值均不大于2的點構(gòu)成的區(qū)域，是到原點的距離不大于1的點構(gòu)成的區(qū)域，向中隨機投一點，則所投點在中的概率是分析：本小題考查古典概型，其概率應(yīng)為幾何圖形的面積比。如圖：區(qū)域D表示邊長為4的正方形的內(nèi)部（含邊界），區(qū)域E表示單位圓及其內(nèi)部，因此答案：評注：在解決幾何概型問題時，要弄清整個事件的區(qū)域長度（面積或體積），以及所研究事件的區(qū)域長度（面積或體積），特別是平面幾何圖形的構(gòu)成常常是考查的焦點，有可能與定積分相聯(lián)系。例4如圖所示，墻上掛有一邊長為的正方形木板，它的四個角的空白部分都是以正方形的頂點為圓心，半徑為的圓弧，某人向此板投鏢，假設(shè)每次都能擊中木板，且擊中木板上每個點的可能性都一樣，則他擊中陰影部分的概率是（）ABCD與的取值有關(guān)分析：本小題考查古典概型，其概率應(yīng)為幾何圖形的面積比。其中陰影部分的面積要通過規(guī)則的圖形的面積求出，即正方形的面積去掉一個圓的面積。解：正方形的面積為，而四個角空白部分合起來為半徑為的一個圓，面積為，所以他擊中陰影部分的概率是，故選A。答案：A評注：在解決幾何概型問題時，對于不規(guī)則圖形的面積要通過求定積分或規(guī)則圖形的面積求出。例5設(shè)有關(guān)于的一元二次方程（）若是從四個數(shù)中任取的一個數(shù)，是從三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率（）若是從區(qū)間任取的一個數(shù)，是從區(qū)間任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率分析：一元二次方程有實根的條件為，即。題（）可用列舉法列出所有的基本事件，找出符合條件的基本事件。題（）就是幾何概型。可作出試驗的總區(qū)域，和符合條件的區(qū)域，應(yīng)該是把看作有序數(shù)對對于平面上的點，可畫出平面區(qū)域解答。解：設(shè)事件為“方程有實根”當(dāng)，時，方程有實根的充要條件為（）基本事件共12個：其中第一個數(shù)表示的取值，第二個數(shù)表示的取值事件中包含9個基本事件，事件發(fā)生的概率為（）試驗的全部結(jié)束所構(gòu)成的區(qū)域為構(gòu)成事件的區(qū)域為所以所求的概率為評注：本題容納了古典概型和幾何概型的解法，要善于區(qū)分提煉，并進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把數(shù)組看成平面內(nèi)的點即可轉(zhuǎn)化為平面區(qū)域問題用面積解答。3互斥事件與相互獨立事件的概率例6設(shè)進(jìn)入某商場的每一位顧客購買甲種商品的概率為，購買乙種商品的概率為，且購買甲種商品與購買乙種商品相互獨立，各顧客之間購買商品也是相互獨立的。（）求進(jìn)入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；（）求進(jìn)入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種的概率；（）記表示進(jìn)入商場的3位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)，求的分布列及期望。分析：購買甲、乙兩種商品是相互獨立的，1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種有兩種情況，買甲不買乙或買乙不買甲，又是互斥事件，按互斥事件的概率進(jìn)行計算；進(jìn)入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種，對于至少問題，可以正面計算，也可以反面計算；進(jìn)入商場的3位顧客中至少購買甲、乙兩種商品中的一種的人數(shù)可以為0，1，2，3，應(yīng)該是（）的二項分布解：記表示事件：進(jìn)入商場的1位顧客購買甲種商品，記表示事件：進(jìn)入商場的1位顧客購買乙種商品，記表示事件：進(jìn)入商場的1位顧客購買甲、乙兩種商品中的一種，記表示事件：進(jìn)入商場的1位顧客至少購買甲、乙兩種商品中的一種，（），（），（），故的分布列，所以評注：此題重點考察相互獨立事件的概率計算，以及求隨機變量的概率分布列和數(shù)學(xué)期望；分清相互獨立事件的概率求法，對于“至少”常從反面入手常可起到簡化的作用。例7甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與，且乙投球2次均未命中的概率為（）求乙投球的命中率；（）求甲投球2次，至少命中1次的概率；（）若甲、乙兩人各投球2次，求兩人共命中2次的概率分析：乙投球2次均未命中的概率為，求乙投球的命中率，屬于逆向思維，列出方程解出即可。甲投球2次，至少命中1次，對于“至少”問題可以正面解答，也可以反面解答。甲、乙兩人各投球2次，求兩人共命中2次，應(yīng)該有多種情況，分類計算。（）解法一：設(shè)“甲投球一次命中”為事件A，“乙投球一次命中”為事件B由題意得解得或（舍去），所以乙投球的命中率為解法二：設(shè)設(shè)“甲投球一次命中”為事件A，“乙投球一次命中”為事件B由題意得，于是或（舍去），故所以乙投球的命中率為（）解法一：由題設(shè)和（）知故甲投球2次至少命中1次的概率為解法二：由題設(shè)和（）知故甲投球2次至少命中1次的概率為（）由題設(shè)和（）知，甲、乙兩人各投球2次，共命中2次有三種情況：甲、乙兩人各中一次；甲中兩次，乙兩次均不中；甲兩次均不中，乙中2次。概率分別為，所以甲、乙兩人各投兩次，共命中2次的概率為評注：本小題是概率部分的常規(guī)題目，主要考查隨機事件、互斥事件、相互獨立事件等概率的基礎(chǔ)知識，考查運用概率知識解決實際問題的能力，分類要做到不重不漏。例8某城市有甲、乙、丙、丁4個旅游景點，一位客人游覽這4個景點的概率都是0.6，且客人是否游覽哪個景點互不影響設(shè)表示客人離開該城市時游覽的景點數(shù)與沒有游覽的景點數(shù)之差的絕對值（）求的分布列及數(shù)學(xué)期望；()記“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”為事件A，求事件A的概率分析：“客人游覽甲景點”、“客人游覽乙景點”、“客人游覽丙景點”、“客人游覽丁景點”是相互獨立的，按相互獨立事件的概率計算，列出分布列，求出數(shù)學(xué)期望。“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增”，可以得到二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，從而得到的范圍。解：（1）分別設(shè)“客人游覽甲景點”、“客人游覽乙景點”、“客人游覽丙景點”、“客人游覽丁景點”為事件,由已知相互獨立，且客人游覽的景點數(shù)的可能取值為0，1，2，3，4;相應(yīng)的，客人沒有游覽的景點數(shù)的可能取值為4，3，2，1,0.所以的可能取值為0，2,4所以的分布列為024P0.34560.499201552（2）因為所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增要使在上單調(diào)遞增，當(dāng)且僅當(dāng)即從而評注：本題是相互獨立事件的概率的求法，注意隨機變量的取值要一一列出，并求出各種情況的概率，列出分布列。另外本題還與函數(shù)相結(jié)合計算概率。4兩點分布、二項分布、重復(fù)獨立試驗的概率例9為防止風(fēng)沙危害，某地決定建設(shè)防護(hù)綠化帶，種植楊樹、沙柳等植物。某人一次種植了株沙柳，各株沙柳成活與否是相互獨立的，成活率為，設(shè)為成活沙柳的株數(shù)，數(shù)學(xué)期望，標(biāo)準(zhǔn)差為。（）求的值并寫出的分布列；（）若有3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補種，求需要補種沙柳的概率分析：一株沙柳要么成活，要么不成活，屬于兩點分布，對于株沙柳來說就是二項分布，可用公式直接表示數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)差，求出的值并寫出的分布列，3株或3株以上的沙柳未成活，則需要補種，可以從正面解答，也可從反面解答，轉(zhuǎn)化為不需要補種的問題。解：(1)由得,從而，的分布列為0123456(2)記”需要補種沙柳”為事件A,則得或評注：本題為比較簡單的二項分布問題，直接運用公式進(jìn)行計算即可。要對二項分布列必須熟悉。例10甲、乙兩隊參加奧運知識競賽，每隊3人，每人回答一個問題，答對者對本隊贏得一分，答錯得零分假設(shè)甲隊中每人答對的概率均為，乙隊中3人答對的概率分別為，且各人回答正確與否相互之間沒有影響用表示甲隊的總得分（）求隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（）用表示“甲、乙兩個隊總得分之和等于3”這一事件，用表示“甲隊總得分大于乙隊總得分”這一事件，求分析：甲隊中每人答對的概率均為，表示甲隊的總得分，則隨機變量服從二項分布，乙隊中3人答對的概率都不同，各人回答正確與否相互之間沒有影響，事件為相互獨立事件，事件是甲、乙兩個隊總得分之和等于3，事件是甲隊總得分大于乙隊總得分，則就是甲、乙兩個隊總得分之和等于3且甲隊總得分大于乙隊總得分的事件，所以甲、乙兩隊的分?jǐn)?shù)之間有聯(lián)系，可以先確定一個，再確定另一個，從而分類求得。（）解法一：由題意知，的可能取值為0，1，2，3，且，所以的分布列為0123的數(shù)學(xué)期望為解法二：根據(jù)題設(shè)可知，因此的分布列為，因為，所以（）解法一：用表示“甲得2分乙得1分”這一事件，用表示“甲得3分乙得0分”這一事件，所以，且互斥，又，由互斥事件的概率公式得解法二：用表示“甲隊得分”這一事件，用表示“乙隊得分”這一事件，由于事件，為互斥事件，故有由題設(shè)可知，事件與獨立，事件與獨立，因此評注：本題中涉及到兩個隊，情況比較復(fù)雜，要學(xué)會透過現(xiàn)象看本質(zhì)，仔細(xì)分析題目，由淺入深，排除干擾，抓住問題的實質(zhì)解答問題。另外還要看到兩隊之間的聯(lián)系，從而找到解決問題的策略。分類討論做到不重不漏。例11購買某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費元，若投保人在購買保險的一年度內(nèi)出險，則可以獲得10000元的賠償金假定在一年度內(nèi)有10000人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立已知保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10000元的概率為（）求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率；（）設(shè)保險公司開辦該項險種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費（單位：元）分析：由一年度內(nèi)有10000人購買了這種保險，且各投保人是否出險相互獨立，可知這些保險是服從二項分布的；保險公司開辦該項險種業(yè)務(wù)除賠償金外的成本為50000元，盈利就是該險種總收入減去成本和賠償金總額，而賠償金總額與出險的人數(shù)為有關(guān)由（）知服從二項分布，從而計算出盈利的期望。解：各投保人是否出險互相獨立，且出險的概率都是，記投保的10000人中出險的人數(shù)為，則（）記表示事件：保險公司為該險種至少支付10000元賠償金，則發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)，又，故（）該險種總收入為元，支出是賠償金總額與成本的和支出，盈利，盈利的期望為，由知，（元）故每位投保人應(yīng)交納的最低保費為15元評注：本題中的數(shù)學(xué)環(huán)境是以保險為背景考查二項分布列，對于學(xué)生來說有些陌生，不易理解，而第二問又是間接地解答問題，所以本題難度較大。5超幾何分布例12從某批產(chǎn)品中，有放回地抽取產(chǎn)品二次，每次隨機抽取1件，假設(shè)事件：“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率（1）求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率；（2）若該批產(chǎn)品共100件，從中任意抽取2件，表示取出的2件產(chǎn)品中二等品的件數(shù)，求的分布列分析：本題已知“取出的2件產(chǎn)品中至多有1件是二等品”的概率，求從該批產(chǎn)品中任取1件是二等品的概率，可以用表示出至多有1件是二等品的概率，分兩種情況，取出的2件產(chǎn)品中無二等品，和取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品，利用互斥事件的概率公式求出。（2）中的所有取值列出，總體中有特殊，所以是超幾何分布類型，按照要求取出求出分布列。解：（1）記表示事件“取出的2件產(chǎn)品中無二等品”，表示事件“取出的2件產(chǎn)品中恰有1件二等品”則互斥，且，故，于是解得（舍去）（2）的可能取值為若該批產(chǎn)品共100件，由（1）知其二等品有件，故所以的分布列為012評注：本題為超幾何分布，是總體中有特殊，能否取到特殊元素，取幾個等問題按個數(shù)求的分布列，其實質(zhì)就是按要求取元素的過程。6一般的隨機事件的概率及其分布列例131231020304050參加人數(shù)活動次數(shù)某中學(xué)號召學(xué)生在今年春節(jié)期間至少參加一次社會公益活動（以下簡稱活動）該校合唱團(tuán)共有100名學(xué)生，他們參加活動的次數(shù)統(tǒng)計如圖所示（I）求合唱團(tuán)學(xué)生參加活動的人均次數(shù)；（II）從合唱團(tuán)中任意選兩名學(xué)生，求他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率（III）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，用表示這兩人參加活動次數(shù)之差的絕對值，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望分析：首先要把圖形語言轉(zhuǎn)化為文字語言，變?yōu)橐阎獥l件，轉(zhuǎn)化信息，他們參加活動次數(shù)恰好相等會分三種情況，即都參加1項，2項或3項公益活動，分別計算合并，（III）中注意隨機變量的含義為表示這兩人參加活動次數(shù)之差的絕對值，列出所有可能情況求出。解：由圖可知，參加活動1次、2次和3次的學(xué)生人數(shù)分別為10、50和40（I）該合唱團(tuán)學(xué)生參加活動的人均次數(shù)為（II）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，他們參加活動次數(shù)恰好相等的概率為（III）從合唱團(tuán)中任選兩名學(xué)生，記“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加2次活動”為事件，“這兩人中一人參加2次活動，另一人參加3次活動”為事件，“這兩人中一人參加1次活動，另一人參加3次活動”為事件易知；的分布列：012的數(shù)學(xué)期望：評注：解決本題的關(guān)鍵是要讀懂題意，注意圖形語言的轉(zhuǎn)化和題目所要求的要解決的問題。例14甲、乙、丙三人按下面的規(guī)則進(jìn)行乒乓球比賽：第一局由甲、乙參加而丙輪空，以后每一局由前一局的獲勝者與輪空者進(jìn)行比賽，而前一局的失敗者輪空.比賽按這種規(guī)則一直進(jìn)行到其中一人連勝兩局或打滿6局時停止.設(shè)在每局中參賽者勝負(fù)的概率均為，且各局勝負(fù)相互獨立.求：（）打滿3局比賽還未停止的概率；（）比賽停止時已打局?jǐn)?shù)的分別列與期望E.分析：打滿3局比賽還未停止，說明三人中沒有連續(xù)獲勝的，即第一局如果甲獲勝，則第二局丙獲勝，第三局乙獲勝，對應(yīng)一種情況；同理，第一局如果乙獲勝也對應(yīng)一種情況。比賽停止時已打局?jǐn)?shù)最少兩局，最多六局，可以分別按前面的做法交叉進(jìn)行下去，一一計算。解：令分別表示甲、乙、丙在第k局中獲勝.（）由獨立事件同時發(fā)生與互斥事件至少有一個發(fā)生的概率公式知，打滿3局比賽還未停止的概率為（）的所有可能值為2，3，4，5，6，且故有分布列23456P從而（局）.評注：本題中的隨機事件的概率，只能分別按實際情況分類計算。17預(yù)測題（1）矩形的任意一點落在由函數(shù)所圍成的一個封閉圖形內(nèi)的點所占的概率是（）ABCD分析：陰影部分的圖形不規(guī)則，其面積只能用定積分求出，概率為面積之比。解：由題意可知陰影部分的面積為，矩形的面積為，矩形的任意一點落在由函數(shù)的圖象所圍成的一個封閉圖形內(nèi)的點所占的概率是，故選評注：對于不規(guī)則圖形的面積要用定積分求出，再由幾何量之比求出概率。（2）（原創(chuàng)）在區(qū)間上任取兩個數(shù)，則方程沒有實根的概率為.例4圖分析：求出方程有實根的條件，可發(fā)現(xiàn)這是一個求幾何概型的概率問題，求出相關(guān)平面區(qū)域的面積，即可求概率.解：若使方程有實根，須滿足，即它表示的平面區(qū)域如圖陰影部分（包括邊界）所示，其面積為，又事件空間對應(yīng)的平面區(qū)域是一個邊長為1的正方形，其面積為1，故所求概率為.評注：本小題把二次方程、線性規(guī)劃、定積分、概率綜合為一體，綜合考查了數(shù)形結(jié)合的思想、轉(zhuǎn)化與化歸的思想和必然與或然的數(shù)學(xué)思想。（3）某網(wǎng)站有臺相同的網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器，每個網(wǎng)絡(luò)服務(wù)器都有個外網(wǎng)端口，據(jù)以往的安全監(jiān)控分析得知，這個網(wǎng)絡(luò)端口各自受黑客入侵的概率為，只要有兩個網(wǎng)絡(luò)端口被入侵就會導(dǎo)致該服務(wù)器癱瘓，從而導(dǎo)致該服務(wù)器中斷工作網(wǎng)站的各臺服務(wù)器互相獨立工作，網(wǎng)站至少有兩臺服務(wù)器能工作，該網(wǎng)站就能正常運營求每個服務(wù)器中斷工作的概率；求該網(wǎng)站能夠正常運營的概率；設(shè)網(wǎng)站能正常工作的服務(wù)器的臺數(shù)為隨機變量，求分析：每個服務(wù)器中斷工作的概率比較好求，正面求出或反面求出，網(wǎng)站至少有兩臺服務(wù)器能工作，該網(wǎng)站就能正常運營，情況就比較復(fù)雜，而反面只有兩種情況，就是網(wǎng)站不能運營，是指的這個網(wǎng)站至多只有一臺服務(wù)器能正常工作。網(wǎng)站能正常工作的服務(wù)器的臺數(shù)為隨機變量服從二項分布，可按公式計算。解：先求服務(wù)器能正常工作的概率每臺服務(wù)器能正常工作是指這臺服務(wù)器至少有兩個端口沒有受到黑客入侵，故這個概率是即每個服務(wù)器中斷工作的概率為先求該網(wǎng)站不能運營的概率該網(wǎng)站不能運營是指的這個網(wǎng)站至多只有一臺服務(wù)器能正常工作，故這個概率是，故這個網(wǎng)站能正常運營的概率是，故評注：本題中構(gòu)造了重復(fù)獨立試驗事件的概率，對于“至多”、“至少”問題可以正、反兩方面考慮，需要看怎么解答簡單。（4）（原創(chuàng)）（文科）甲、乙兩人玩數(shù)字游戲，各從1到9這九個數(shù)字中隨機抽取一個數(shù)字，甲抽取的數(shù)字為十位數(shù)字，乙抽取的數(shù)字為個位數(shù)字，構(gòu)成一個十位數(shù)事件“兩位上的數(shù)字相同的十位數(shù)”的概率事件“兩位上的數(shù)字之和小于9的十位數(shù)”的概率事件“兩位上的數(shù)字之和等于或大于11十位數(shù)”的概率.分析：甲抽取的數(shù)字為十位數(shù)字，乙抽取的數(shù)字為個位數(shù)字，構(gòu)成一個十位數(shù)，抽取的過程是隨機的等可能的，可以一一列出所以的基本事件，從中找出滿足要求的基本事件。解:甲、乙兩人都是從1到9這九個數(shù)字中隨機抽取數(shù)字，構(gòu)成十位數(shù)，所以是等可能事件，甲、乙兩人抽取的數(shù)字都有9種情況,構(gòu)成的十位數(shù)分別為11，12，13，14，19，21，22，23，24，29，31，32，33，34，39；91，92，93，94，99,所以基本事件總數(shù)為99=81個記“兩位上的數(shù)字相同的十位數(shù)”為事件,則事件有9個基本事件,即11，22，33，44，55，66，77，88，99記“兩位上的數(shù)字之和小于9的十位數(shù)”為事件,則事件所包含的基本事件有11，12，13，14，15，16，17；21，22，23，24，25，26；31，32，33，34，35；41，42，43，44；51，52，53；61，62；71共有7+6+5+4+3+2+1=28個基本事件,記“兩位上的數(shù)字之和等于或大于15的十位數(shù)”為事件,則事件所包含的基本事件有69；78，79；87，88，89；96，97，98，99有1+2+3+4=10個基本事件評注：對于文科的概率考題來說，基本上都是古典概型，并且是按列舉出所有基本事件，從中找出符合要求的基本事件的概率。（5）甲，乙兩人參加某電視臺舉辦的答題游戲，兩人分別各自從8道備選題中任抽取4道做答。已知8道題中甲答對每道題的概率都是，乙能答對其中的4道題。（1）求甲，乙兩人都答對其中3道的概率；（2）設(shè)甲答對題目的個數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望。分析：自從8道備選題中任抽取4道做答，答對其中3道，這就意味著有一道答不對，甲答對題目的個數(shù)為服從超幾何分布，從而列出分布列。甲，乙兩人都答對其中3道，為相互獨立事件同時發(fā)生。解：（1）設(shè)甲、乙兩人答對其中3道的事件分別為，則,所以甲、乙都答對其中3道的概率甲答對題目的個數(shù)的取值為0，1，2，3，4，的分布列為01234P所以評注：本題為超幾何分布列，解決概率問題一定要注意題目的類型，理解好題意解答問題。（6）.（原創(chuàng)）（理科）集市上有一種“彈珠子”的小游戲：游戲者交兩元錢給攤主，就可以彈珠子一局（一局為獨立彈珠子三次），珠子彈出后在盤中經(jīng)過一系列碰撞后等可能地隨機滾入編號為1、2、3的三個盒子中珠子如果滾入1號盒子中游戲者均積1分，如果滾入2號盒子中，游戲者積2分如果滾入3號盒子中游戲者均積分，游戲者可以根據(jù)不同積分領(lǐng)取獎品現(xiàn)甲、乙兩人進(jìn)行比賽游戲,用表示甲游戲者玩一局的總積分.（）求的分布列和數(shù)學(xué)期望（）用表示“甲、乙兩人總得分之和等于2”這一事件，用表示“甲總得分大于乙總得分”這一事件，求分析：本題中的隨機變量的取值需要按實際情況分別探討，分類完成，列出分布列。解：由題意知，x的取值為9，5，4，1，0，1，3，4，5，6珠子是等可能地隨機滾入三個盒子中，珠子滾入每個盒子的概率都是P（