山西省山大附中2013屆高三3月月考數(shù)學(xué)理試題.doc

山西大學(xué)附中2012-2013學(xué)年高三(3月)月考數(shù)學(xué)（理科）試卷(考試時(shí)間：120分鐘) 一、選擇題：（每小題5分，共60分）1. 若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的值為（ ）A B C D2對(duì)于集合，定義：且，設(shè)，則=（ ）A（，0 B ，0) C D 3右圖中，為某次考試三個(gè)評(píng)閱人對(duì)同一道題的獨(dú)立評(píng)分，為該題的最終得分，當(dāng)時(shí)，等于（ ）A11 B10 C8 D74設(shè)甲：函數(shù)的值域?yàn)?，乙：函?shù)有四個(gè)單調(diào)區(qū)間，那么甲是乙的（ ）A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充分必要條件 D既不充分也不必要條件5規(guī)定記號(hào)“”表示一種運(yùn)算，即：，設(shè)函數(shù)。且關(guān)于的方程為恰有四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根，則的值是（ ）A B C D6. 已知和分別是雙曲線（，）的兩個(gè)焦點(diǎn)，和是以為圓心，以為半徑的圓與該雙曲線左支的兩個(gè)交點(diǎn)，且是等邊三角形，則該雙曲線的離心率為（ ）A. B. C. 2 D. 7若當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則函數(shù)是（ ）A奇函數(shù)且圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B偶函數(shù)且圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 C奇函數(shù)且圖像關(guān)于直線對(duì)稱 D偶函數(shù)且圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱8過點(diǎn)作圓的弦，其中弦長(zhǎng)為整數(shù)的共有（）A.16條 B. 17條 C. 32條 D. 34條9在平面斜坐標(biāo)系中，點(diǎn)的斜坐標(biāo)定義為：“若（其中分別為與斜坐標(biāo)系的軸，軸同方向的單位向量），則點(diǎn)的坐標(biāo)為”若且動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)在斜坐標(biāo)系中的軌跡方程為（ ）A B C D10已知為上的可導(dǎo)函數(shù)，且，均有，則有（ ）A BCD11設(shè)是銳角三角形的外心，由向邊引垂線，垂足分別是,給出下列命題：；：=：;，使得.以上命題正確的個(gè)數(shù)是（ ）A1 B2 C3 D4；12在正方體中，是棱的中點(diǎn)，是側(cè)面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且平面，則與平面所成角的正切值構(gòu)成的集合是（ ）A B C D 二、填空題：（每小題5分，共20分）13已知不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?，直線與曲線所圍成的平面區(qū)域?yàn)?，現(xiàn)隨機(jī)向區(qū)域內(nèi)拋一粒豆子，則豆子落在區(qū)域內(nèi)的概率為 .14對(duì)大于或等于的自然數(shù)的次方冪有如下分解方式： 根據(jù)上述分解規(guī)律，則, 若的分解中最小的數(shù)是73，則的值為 .15拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線對(duì)稱軸上，過可作直線交拋物線于點(diǎn)、，使得，則的取值范圍是 16. 給出以下四個(gè)命題： 若，則； 已知直線與函數(shù)的圖像分別交于點(diǎn)，則的最大值為； 若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則取值范圍是； 已知數(shù)列的通項(xiàng)，前項(xiàng)和為，則使的的最小值為12 其中正確命題的序號(hào)為 三、解答題：17（本小題滿分12分）已知數(shù)列的相鄰兩項(xiàng)是關(guān)于的方程的兩根，且.（）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（）設(shè)函數(shù)若對(duì)任意的都成立，求的取值范圍。18（本小題滿分12分）2012年3月2日，國(guó)家環(huán)保部發(fā)布了新修訂的環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn).其中規(guī)定:居民區(qū)中的PM2.5（PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱可入肺顆粒物）年平均濃度不得超過35微克/立方米，PM2.5的24小時(shí)平均濃度不得超過75微克/立方米. 某城市環(huán)保部門隨機(jī)抽取了一居民區(qū)去年40天的PM2.5的24小時(shí)平均濃度的監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下：組別PM2.5（微克/立方米）頻數(shù)（天）頻率第一組(0,1540.1第二組(15,30120.3第三組(30,4580.2第四組(45,6080.2第三組(60,7540.1第四組(75,90)40.1（）寫出該樣本的眾數(shù)和中位數(shù)（不必寫出計(jì)算過程）；（）求該樣本的平均數(shù)，并根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，從PM2.5的年平均濃度考慮，判斷該居民區(qū)的環(huán)境是否需要改進(jìn)？說明理由；（）將頻率視為概率，對(duì)于去年的某2天，記這2天中該居民區(qū)PM2.5的24小時(shí)平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的天數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望19 （本小題滿分12分）如圖，四邊形中，為正三角形，與交于點(diǎn)將沿邊折起，使點(diǎn)至點(diǎn)，已知與平面所成的角為，且點(diǎn)在平面內(nèi)的射影落在內(nèi)（）求證：平面；（）若已知二面角的余弦值為，求的大小.20（本小題滿分12分）已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的橢圓，它的離心率為，一個(gè)焦點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)重合,過直線上一點(diǎn)引橢圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是.（）求橢圓的方程；（）若在橢圓上的點(diǎn)處的橢圓的切線方程是. 求證:直線恒過定點(diǎn)；并出求定點(diǎn)的坐標(biāo).（）是否存在實(shí)數(shù)，使得恒成立？(點(diǎn)為直線恒過的定點(diǎn))若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。21（本小題滿分12分）已知函數(shù),其中.（I）若函數(shù)在區(qū)間(1,2)上不是單調(diào)函數(shù),試求的取值范圍;（II）已知,如果存在,使得函數(shù)在處取得最小值,試求的最大值.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。若多做，則按所做的第一題計(jì)分。22在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（，為參數(shù)），在以為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線是圓心在極軸上，且經(jīng)過極點(diǎn)的圓已知曲線上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，射線與曲線交于點(diǎn)（I）求曲線，的方程；（II）若點(diǎn)，在曲線上，求的值23. 已知函數(shù)(I)求不等式的解集;(II)設(shè)，若關(guān)于的不等式的解集非空，求實(shí)數(shù)的取值范圍.2012-2013學(xué)年高三(3月)月考數(shù)學(xué)答案1. B 2C 3C 4B 5D 6. D 7C 8C9D 10D 11B 12D 13（文） 14 9 15 16.17【解】：（1），即 （3分）（2） （6分）（3） 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) （9分）當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)綜上所述，的取值范圍為 （12分）18【解】：（1）眾數(shù)為22.5微克/立方米, 中位數(shù)為37.5微克/立方米 4分（2）去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度為（微克/立方米）因?yàn)?，所以去年該居民區(qū)PM2.5年平均濃度不符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)，故該居民區(qū)的環(huán)境需要改進(jìn) 8分（3）記事件表示“一天PM2.5的24小時(shí)平均濃度符合環(huán)境空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)”，則. 隨機(jī)變量的可能取值為0,1,2.且.所以， 所以變量的分布列為012（天）,或（天） 12分（文）【解】（I）守成被調(diào)查人答卷情況統(tǒng)計(jì)表：同意不同意合計(jì)教師112女生246男生3255分（II）（人）8分（III）設(shè)“同意”的兩名學(xué)生編號(hào)為1，2，“不同意”的四名學(xué)生分別編號(hào)為3，4，5，6，選出兩人則有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15種方法；其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），8種滿足題意，則恰有一人“同意”一人“不同意”的概率為12分19【解析】：（1）證明：由面， 所以 又 所以-4分（2）取中點(diǎn)，連結(jié) 則，且，所以是平行四邊形， 所以， 且 所以面;-8分（3）過作，交于，由題得在中，所以，所以-12分（理）【解析】：()易知為的中點(diǎn)，則，又，又，平面，所以平面 （4分） ()方法一：以為軸，為軸，過垂直于平面向上的直線為軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則, （6分）易知平面的法向量為 （7分），設(shè)平面的法向量為則由得，解得，令，則 （9分）則解得，即，即，又， 故.（12分） 20【解】：（I）設(shè)橢圓方程為。拋物線的焦點(diǎn)是，故，又，所以，所以所求的橢圓方程為 3分（II）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為,直線上一點(diǎn)M的坐標(biāo)。則切線方程分別為，。又兩切線均過點(diǎn)M，即，即點(diǎn)A,B的坐標(biāo)都適合方程，而兩點(diǎn)之間確定唯一的一條直線，故直線AB的方程是，顯然對(duì)任意實(shí)數(shù)t，點(diǎn)（1,0）都適合這個(gè)方程，故直線AB恒過定點(diǎn)。6分（III）將直線AB的方程，代入橢圓方程，得，即所以.8分不妨設(shè)，同理10分所以即。故存在實(shí)數(shù)，使得。 12分21【解】：（I）由題意知,在區(qū)間(1,2)上有不重復(fù)的零點(diǎn),由,得,因?yàn)?所以3分令,則,故在區(qū)間(1,2)上是增函數(shù),所以其值域?yàn)?從而的取值范圍是ks5u5分（II）, 由題意知對(duì)恒成立,即對(duì)恒成立,即 對(duì)恒成立 7分當(dāng)時(shí),式顯然成立; 8分當(dāng)時(shí),式可化為 ,令,則其圖象是開口向下的拋物線,所以 9分 即,其等價(jià)于 , 因?yàn)樵跁r(shí)有解,所以,解得.從而的最大值為12分22【解】（I）將及對(duì)應(yīng)的參數(shù)，代入，得，即，k