高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 32利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì) 新人教B版.doc

3-2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)基礎(chǔ)鞏固強化1.(2012湖南衡陽模擬)函數(shù)f(x)xa在x1,4上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的最小值為()a1b2c4d5答案c解析當(dāng)x1,4時，f (x)10，a2恒成立，a4.2(文)(2012陜西理，7)設(shè)函數(shù)f(x)xex，則()ax1為f(x)的極大值點bx1為f(x)的極小值點cx1為f(x)的極大值點dx1為f(x)的極小值點答案d解析本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求函數(shù)的極值f (x)exxex，令f (x)0，exxex0，x1，當(dāng)x(，1)時，f (x)exxex0，x1為極小值點，故選d.點評求函數(shù)的極值要討論在各區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)值的符號，同時要注意函數(shù)的定義域(理)已知函數(shù)f(x)x3px2qx的圖象與x軸切于(1,0)點，則f(x)的極大值、極小值分別為()a.，0 b0，c，0 d0，答案a解析f (x)3x22pxq，由f (1)0，f(1)0得，解得f(x)x32x2x，由f (x)3x24x10得x或x1，易得當(dāng)x時f(x)取極大值，當(dāng)x1時f(x)取極小值0.3(文)函數(shù)f(x)的定義域為開區(qū)間(a，b)，導(dǎo)函數(shù)f (x)在(a，b)內(nèi)的圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)的極大值點有()a1個 b2個c3個 d4個答案b解析由導(dǎo)函數(shù)的圖象知，f(x)在(a，b)內(nèi)變化情況為增減增減，故有兩個極大值點(理)(2012重慶理，8)設(shè)函數(shù)f(x)在r上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f (x)，且函數(shù)y(1x)f (x)的圖象如下圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()a函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)b函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)c函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)d函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)答案d解析當(dāng)x3，則f (x)0；當(dāng)2x1時，01x3，則f (x)0；函數(shù)f(x)有極大值f(2)，當(dāng)1x2時，11x0，則f (x)2時，1x0，函數(shù)f(x)有極小值f(2)，故選d.4(文)(2011遼寧文，11)函數(shù)f(x)的定義域為r，f(1)2，對任意xr，f (x)2，則f(x)2x4的解集為()a(1,1) b(1，)c(，1) d(，)答案b解析由題意，令(x)f(x)2x4，則(x)f (x)20.(x)在r上是增函數(shù)又(1)f(1)2(1)40，當(dāng)x1時，(x)(1)0，f(x)2x40，f(x)2x4.故選b.(理)(2012河南省洛陽市高三年級統(tǒng)一考試)函數(shù)f(x)的定義域是r，f(0)2，對任意xr，f(x)f (x)1，則不等式exf(x)ex1的解集為()ax|x0 bx|x0cx|x1 dx|x1，或0xexex0，所以g(x)exf(x)ex為r上的增函數(shù)又g(0)e0f(0)e01，所以原不等式轉(zhuǎn)化為g(x)g(0)，解得x0.5(文)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)的圖象如圖所示，那么函數(shù)f(x)的圖象最有可能的是()答案a解析由圖可知，當(dāng)x0時，f (x)0，函數(shù)f(x)的圖象在(0，)上是單調(diào)遞減的；當(dāng)x2時，f (x)0，0,0)，其導(dǎo)函數(shù)f (x)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)f(x)的解析式為()af(x)4sinbf(x)2sincf(x)2sindf(x)4sin答案a解析f (x)acos(x)，由f (x)的圖象知，a2，設(shè)周期為t，則2，t4，a4，f (x)的圖象過點，2cos0，k，kz，即k，kz，0，.故選a.6若函數(shù)f(x)x312x在區(qū)間(k1，k1)上不是單調(diào)函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是()ak3或1k1或k3b3k1或1k3c2k0得函數(shù)的增區(qū)間是(，2)和(2，)，由y0，得函數(shù)的減區(qū)間是(2，2)，由于函數(shù)在(k1，k1)上不是單調(diào)函數(shù)，所以有k12k1或k12k1，解得3k1或1k3，故選b.點評已知函數(shù)f(x)，由f (x)的符號可得到函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間，而f(x)在區(qū)間(k1，k1)上不單調(diào)，因此，k1與k1應(yīng)分布在函數(shù)f(x)的兩個單調(diào)區(qū)間內(nèi)請再練習(xí)下題：已知函數(shù)f(x)x3kx在區(qū)間(3，1)上不單調(diào)，則實數(shù)k的取值范圍是_答案3k0，得x2，若k0，則f(x)顯然在(3，1)上單調(diào)遞增，k0，x或x.由3x2k0得x，f(x)在上單調(diào)遞增，在(，)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由題設(shè)條件知31，3k27.7(2011福州模擬)已知f(x)2x36x2m(m為常數(shù))在2,2上有最大值為3，那么此函數(shù)在2,2上的最小值為_答案37解析f (x)6x212x，由f (x)0得x0或x2，當(dāng)x2時，f (x)0，當(dāng)0x2時，f (x)0，f(x)在2,0上單調(diào)增，在0,2上單調(diào)減，由條件知f(0)m3，f(2)5，f(2)37，最小值為37.8(2011蘇北四市調(diào)研)已知函數(shù)f(x)mx3nx2的圖象在點(1,2)處的切線恰好與直線3xy0平行，若f(x)在區(qū)間t，t1上單調(diào)遞減，則實數(shù)t的取值范圍是_答案2，1解析由題意知，點(1,2)在函數(shù)f(x)的圖象上，故mn2又f (x)3mx22nx，由條件知f (1)3，故3m2n3聯(lián)立解得：m1，n3，即f(x)x33x2，令f (x)3x26x0，解得2x0，則t，t12,0，故t2且t10，所以t2，1點評f(x)在區(qū)間t，t1上單調(diào)遞減，故t，t1是f(x)的減區(qū)間的子集9(2012湖南長郡中學(xué)一模)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f (x)5cosx，x(1,1)，且f(0)0，如果f(1x)f(1x2)0，則實數(shù)x的取值范圍為_答案(1，)解析導(dǎo)函數(shù)是偶函數(shù)，原函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且定義域為(1,1)，又由導(dǎo)數(shù)值恒大于0，原函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所求不等式變形為f(1x)f(x21)，11xx211，解得1x0時，x(，0)0(0，)(，)y00y增函數(shù)極大值減函數(shù)極小值增函數(shù)所以當(dāng)x0時，y取得極大值b，當(dāng)x時，y取得極小值ba，同理當(dāng)a0時，f(x)在2,0)上單調(diào)遞增，在(0,1上單調(diào)遞減，所以f(x)maxf(0)b5.又f(2)b16af(1)ba，所以b16a11，a1.當(dāng)af(1)ba，所以b16a5，a1.綜上，f(x)x32x25或f(x)x32x211.能力拓展提升11.(文)(2011南開區(qū)質(zhì)檢)已知實數(shù)a、b、c、d成等比數(shù)列，且曲線y3xx3的極大值點坐標為(b，c)，則ad等于()a2 b1c1 d2答案a解析a、b、c、d成等比數(shù)列，adbc，又(b，c)為函數(shù)y3xx3的極大值點，c3bb3，且033b2，或ad2.(理)(2011陜西咸陽模擬)已知函數(shù)f(x)ax21的圖象在點a(1，f(1)處的切線l與直線8xy20平行，若數(shù)列的前n項和為sn，則s2010的值為()a. b.c. d.答案d解析f (x)2ax，f(x)在點a處的切線斜率為f (1)2a，由條件知2a8，a4，f(x)4x21，數(shù)列的前n項和sn，s2010.12(文)(2012淄博一檢)已知alnx對任意x，2恒成立，則a的最大值為()a0 b1 c2 d3答案a解析令f(x)lnx，則f (x)，當(dāng)x，1時，f (x)0，f(x)在，1上單調(diào)遞減，在1,2上單調(diào)遞增，f(x)minf(1)0，a0，故選a.(理)(2012濰坊模擬)已知非零向量a、b滿足|a|b|，若函數(shù)f(x)x3|a|x22abx1在r上有極值，則a，b的取值范圍是()a0， b(0，c(， d(，答案d解析據(jù)題意知，f (x)x22|a|x2ab，若函數(shù)存在極值，必有(2|a|)242ab0，整理可得|a|22ab，故cosa，b，解得a，b.13(2012深圳第一次調(diào)研)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f (x)ax2bxc的圖象如圖所示，則f(x)的圖象可能是()答案d解析當(dāng)x0時，由導(dǎo)函數(shù)f (x)ax2bxc0時，由導(dǎo)函數(shù)f (x)ax2bxc的圖象可知，導(dǎo)數(shù)在區(qū)間(0，x1)內(nèi)的值是大于0的，則在此區(qū)間內(nèi)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增只有d選項符合題意14(文)已知yf(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x(0,2)時，f(x)lnxax(a)，當(dāng)x(2,0)時，f(x)的最小值為1，則a的值為_答案1解析因為f(x)是奇函數(shù)，所以f(x)在(0,2)上的最大值為1，當(dāng)x(0,2)時，f (x)a，令f (x)0得x，又a，所以00得x，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；令f (x)，f(x)在(，2)上單調(diào)遞減；所以當(dāng)x(0,2)時，f(x)maxf()lna1，所以ln0，所以a1.(理)(2011安慶質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)x3ax24在x2處取得極值，若m、n1,1，則f(m)f (n)的最小值是_答案13解析求導(dǎo)得f (x)3x22ax，由函數(shù)f(x)在x2處取得極值知f (2)0，即342a20，a3.由此可得f(x)x33x24，f (x)3x26x，易知f(x)在(1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1)上單調(diào)遞增，當(dāng)m1,1時，f(m)minf(0)4.又f (x)3x26x的圖象開口向下，且對稱軸為x1，當(dāng)n1,1時，f (n)minf (1)9.故f(m)f (n)的最小值為13.15(文)設(shè)函數(shù)f(x)x33axb(a0)(1)若曲線yf(x)在點(2，f(2)處與直線y8相切，求a、b的值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值點解析(1)f (x)3x23a.因為曲線yf(x)在點(2，f(2)處與直線y8相切，所以即解得a4，b24.(2)f (x)3(x2a)(a0)當(dāng)a0，函數(shù)f(x)在(，)上單調(diào)遞增；此時函數(shù)f(x)沒有極值點當(dāng)a0時，由f (x)0得x.當(dāng)x(，)時，f (x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(，)時，f (x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(，)和(，)，單調(diào)減區(qū)間為(，)故x是f(x)的極大值點，x是f(x)的極小值點(理)(2012新課標全國文，21)設(shè)函數(shù)f(x)exax2.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若a1，k為整數(shù)，且當(dāng)x0時，(xk)f (x)x10，求k的最大值分析(1)先確定函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)函數(shù)f (x)，因不確定a的正負，故應(yīng)討論，結(jié)合a的正負分別得出在每一種情況下f (x)的正負，從而確立單調(diào)區(qū)間；(2)分離參數(shù)k，將不含有參數(shù)的式子看作一個新函數(shù)g(x)，將求k的最大值轉(zhuǎn)化為求g(x)的最值問題解析(1)f(x)的定義域為(，)，f (x)exa.若a0，則f (x)0，所以f(x)在(，)單調(diào)遞增若a0，則當(dāng)x(，lna)時，f (x)0，所以，f(x)在(，lna)單調(diào)遞減，在(lna，)單調(diào)遞增(2)由于a1，所以(xk)f (x)x1(xk)(ex1)x1.故當(dāng)x0時，(xk)f (x)x10等價于k0)令g(x)x，則g(x)1.由(1)知，函數(shù)h(x)exx2在(0，)上單調(diào)遞增而h(1)0，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零點故g(x)在(0，)上存在唯一的零點設(shè)此零點為，則(1,2)當(dāng)x(0，)時，g(x)0.所以g(x)在(0，)的最小值為g()又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于式等價于kg()，故整數(shù)k的最大值為2.16(文)(2013唐山一中第一學(xué)期第二次月考)已知函數(shù)f(x)alnxax3(ar)(1)若a1，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間并比較f(x)與f(1)的大小關(guān)系；(2)若函數(shù)yf(x)的圖象在點(2，f(2)處的切線的傾斜角為45，對于任意的t1,2，函數(shù)g(x)x3x2f (x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍；(3)求證：0)，由f (x)0得x1；由f (x)0得0x0)，tan451，f (2)1，得a2，f(x)2lnx2x3，g(x)x3(2)x22x，g (x)3x2(m4)x2.g(x)在區(qū)間(t,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，且g (0)2，由題意知：對于任意的t1,2，g(t)0恒成立，所以，mf(1)，即lnxx10，0lnxx1對一切x(1，)成立n2，nn*，則有0lnnn1，0，0，g(x)0單調(diào)遞增區(qū)間，f (x)0單調(diào)遞減區(qū)間(3)易得g(x)(1xxlnx)，直接對g(x)求導(dǎo)，研究其在(0，)上的單調(diào)性，進而求極值、最值，證g(x)max0(g(x)0)思路受阻受(2)的啟發(fā)，研究h(x)1xxlnx，利用x(0，)時0；當(dāng)x(1，)時，h(x)0，所以x(0,1)時，f (x)0；x(1，)時，f (x)0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x(e2，)時，h(x)0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減所以當(dāng)x(0，)時，h(x)h(e2)1e2.又當(dāng)x(0，)時，01，所以當(dāng)x(0，)時，h(x)1e2，即g(x)1e2.綜上所述結(jié)論成立點評本題考查了導(dǎo)數(shù)的運算、切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等1若函數(shù)f(x)x36bx3b在(0,1)內(nèi)有極小值，則實數(shù)b的取值范圍是()a(0,1) b(，1)c(0，) d.答案d解析f (x)3x26b，由題意知，函數(shù)f (x)圖象如右圖0b0，b0，且函數(shù)f(x)4x3ax22bx2在x1處有極值，則ab的最大值等于()a2 b3c6 d9答案d解析f (x)12x22ax2b0的一根為x1，即122a2b0.ab6，ab()29，當(dāng)且僅當(dāng)ab3時“”號成立3f(x)是定義在(0，)上的非負可導(dǎo)函數(shù)，且滿足xf (x)f(x)0.對任意正數(shù)a、b，若ab，則必有()aaf(b)bf(a) bbf(a)af(b)caf(a)f(b) dbf(b)f(a)答案a解析xf (x)f(x)0，又f(x)0，xf (x)f(x)0.設(shè)y，則y0，故y為減函數(shù)或為常數(shù)函數(shù)又a0，af(b)bf(a)點評觀察條件式xf (x)f(x)0的特點，可見不等式左邊是函數(shù)yxf(x)的導(dǎo)函數(shù)，故可構(gòu)造函數(shù)yxf(x)或y通過取導(dǎo)數(shù)利用條件式來得到函數(shù)的單調(diào)性推得結(jié)論，請再練習(xí)下題：已知a、b是實數(shù)，且eabababe時，f (x)0，f(x)在(e，)上單調(diào)遞減eaf(b)，即，blnaalnb，lnablnba，abba.4設(shè)函數(shù)f(x)是r上以5為周期的可導(dǎo)偶函數(shù)，則曲線yf(x)在x5處的切線的斜率為()