高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 5.2數(shù)列綜合應(yīng)用精品學(xué)案 新人教A版.doc

第五章 數(shù) 列5.2數(shù)列綜合應(yīng)用【高考新動向】一、數(shù)列求和1、考綱點擊（1）熟練掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式；（2）掌握非等差數(shù)列、等比數(shù)列求和的幾種常見方法。2、熱點提示（1）以考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式為主，同時考查轉(zhuǎn)化的思想；（2）對非等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和，主要考查學(xué)生的觀察能力、分析問題與解決問題的能力以及計算能力；（3）數(shù)列求和常與函數(shù)、方程、不等式等諸多知識聯(lián)系在一起，以它復(fù)雜多變、綜合性強、解法靈活等特征而成為高考的中檔題或壓軸題。二、數(shù)列的綜合應(yīng)用1、考綱點擊能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用相關(guān)知識解決相應(yīng)的問題；2、熱點提示（1）數(shù)列的綜合應(yīng)用常以遞推關(guān)系為背景,考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式；（2）常在與其他知識的交匯處命題，考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化、化歸能力，如與函數(shù)、不等式、解析幾何等交匯考查；（3）各種題型都有可能出現(xiàn)?！究季V全景透析】一、數(shù)列求和數(shù)列求和的常用方法1、公式法（1）直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項公式求和；等差數(shù)列的前n項和公式：等比數(shù)列的前n項和公式：（2）一些常見的數(shù)列的前n項和：；。2、倒序相加法如果一個數(shù)列，首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和即是用此法推導(dǎo)的。3、錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和就是用此法推導(dǎo)的；4、裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和；注：用裂項相消法求數(shù)列前n項和的前提是：數(shù)列中的每一項均能分裂成一正一負兩項，這是用裂項相消法的前提。5、分組求和法一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差或等比或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和而后相加減；6、并項求和法一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和。形如類型，可采用兩項合并求解。二、數(shù)列的綜合應(yīng)用1、解答數(shù)列應(yīng)用題的步驟：（1）審題仔細閱讀材料，認真理解題意；（2）建模將已知條件翻譯成數(shù)學(xué)（數(shù)列）語言，將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，弄清該數(shù)列的特征、要求是什么；（3）求解求出該問題的數(shù)學(xué)解；（4）還原將所求結(jié)果還原到實際問題中。具體解題步驟用框圖表示如下：2、數(shù)列應(yīng)用題常見模型（1）等差模型：如果增加（或減少）的量是一個固定量時，該模型是等差模型，增加（或減少）的量就是公差；（2）等比數(shù)列：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的數(shù)時，該模型是等比數(shù)列模型，這個固定的數(shù)就是公比。注：銀行儲蓄單利公式及復(fù)利公式所屬模型分別是：單利公式設(shè)本金為a元，每期利率為r，存期為n，則本利和，屬于等差模型；復(fù)利公式設(shè)本金為a元，每期利率為r，存期為n，則本利和，屬于等比模型。（3）遞推數(shù)列模型：如果題目中給出的前后兩項之間的關(guān)系不固定，隨項的變化而變化時，應(yīng)考慮是an與an+1的遞推關(guān)系，還是前n項和sn與前n+1項和sn+1之間的遞推關(guān)系?！緹狳c難點全析】一、數(shù)列求和（一）分組轉(zhuǎn)化求和相關(guān)鏈接1、數(shù)列求和應(yīng)從通項入手，若無通項，則先求通項，然后通過對通項變形，轉(zhuǎn)化為等差或等比或可求數(shù)列前n項和的數(shù)列來求之；2、常見類型及方法(1)anknb，利用等差數(shù)列前n項和公式直接求解；(2)anaqn1，利用等比數(shù)列前n項和公式直接求解；(3)anbncn或數(shù)列bn，cn是等比數(shù)列或等差數(shù)列，采用分組求和法求an的前n項和.注：應(yīng)用等比數(shù)列前n項和公式時，要注意公比q的取值。例題解析【例】(1)已知數(shù)列: 則其前n項和sn=_.(2)已知求數(shù)列an的前10項和s10;求數(shù)列an的前2k項和s2k.【方法詮釋】(1)先求數(shù)列的通項公式，再根據(jù)通項公式分組求和.(2)把奇數(shù)項和偶數(shù)項分開求和.解析：(1)答案: (2)s10=(6+16+26+36+46)+(2+22+23+24+25)由題意知,數(shù)列an的前2k項中,k個奇數(shù)項組成首項為6，公差為10的等差數(shù)列，k個偶數(shù)項組成首項為2,公比為2的等比數(shù)列.s2k=6+16+(10k-4)+(2+22+2k)（二）錯位相減法求和相關(guān)鏈接1、一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項和時，可采用錯位相減法；2、用錯位相減法求和時，應(yīng)注意（1）要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形；（2）在寫出“”與“”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出的-的表達式。3、利用錯位相減法求和時，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和，若公比是個參數(shù)（字母），則應(yīng)先對參數(shù)加以討論，一般情況下分等于1和不等于1兩種情況分別求和。例題解析例已知數(shù)列滿足是首項為1，公比為a的等比數(shù)列。（1）求；（2）如果a=2,，求數(shù)列的前n項和。思路解析：（1）根據(jù)題意得到表達式，再用累加法求通項；（2）利用錯位相減法求和。解答：（1）由，當(dāng)n2時，當(dāng)a=1時，;當(dāng)a1時，（2）則-，得（三）裂項相消求和相關(guān)鏈接1、利用裂項相消法求和時，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項和最后一項，也有可能前面剩兩項，后面也剩兩項，再就是將通項公式裂項后，有時候需要調(diào)整前面的系數(shù)，使裂開的兩項之差和系數(shù)之積與原通項公式相等；2、一般情況如下，若是等差數(shù)列，則，此外根式在分母上可考慮利用有理化因式相消求和。3、常見的拆項公式有：（1）（2）（3）（4）（5）例題解析【例】（2012大連模擬）已知數(shù)列an各項均為正數(shù)，其前n項和為sn,且滿足4sn=(an+1)2，(1)求an的通項公式;(2)設(shè)數(shù)列bn的前n項和為tn,求tn的最小值.【方法詮釋】(1)利用sn+1-sn=an+1尋找an+1與an的關(guān)系.(2)先用裂項法求tn,再根據(jù)數(shù)列tn的單調(diào)性求最小值.解析：(1)因為(an+1)2=4sn,所以所以即2(an+1+an)=(an+1+an)(an+1-an).因為an+1+an0，所以an+1-an=2，即an為公差等于2的等差數(shù)列.由(a1+1)2=4a1，解得a1=1,所以an=2n-1.(2)由(1)知tn=b1+b2+bntn+1tn，數(shù)列tn為遞增數(shù)列,tn的最小值為（四）數(shù)列求和的綜合應(yīng)用例設(shè)數(shù)列滿足，（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和；（3）若思路解析：（1）通過已知條件遞推變形，構(gòu)造等比數(shù)列或用迭代法求解；（2）利用錯位相減法求；（3）利用反證法證明。解答：（1）方法一：由題意，當(dāng)a1時，當(dāng)a=1時，仍滿足上式。數(shù)列的通項公式為。方法二：（2）（3）由（1）知。若，則。，。由對任意成立，知c0.下證c1.用反證法。方法一：假設(shè)c1.由函數(shù)f(x)=的函數(shù)圖象知，當(dāng)n趨于無窮大時，趨于無窮大。不能對恒成立，導(dǎo)致矛盾。c1, o0),因此，歷年所交納的儲備金數(shù)目是一個公差為d 的等差數(shù)列。與此同時，國家給予優(yōu)惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復(fù)利。這就是說，如果固定利率為r(r0),那么，在第n年末，第一年所交納的儲備金就變?yōu)?，第二年所交納的儲備金就變?yōu)橐员硎镜降趎年所累計的儲備金總額。（1）寫出與（n2）的遞推關(guān)系式；（2）求證：，其中是一個等比數(shù)列，是一個等差數(shù)列。思路解析：（1）中關(guān)系式容易列出；（2）中利用與，與的關(guān)系以此類推，逐步得的表達式，再利用錯位相減法求得，即不難得出與解答：（1）由題意可得： （2）反復(fù)使用上述關(guān)系式，得在式兩端同乘1+r，得（四）數(shù)列與解析幾何、不等式的綜合應(yīng)用例1知曲線從點向曲線引斜率為的切線，切點為（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：.解答：（1）設(shè)直線：，聯(lián)立得，則，（舍去），即，（2）證明：由于，可令函數(shù)，則，令，得，給定區(qū)間，則有，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即在恒成立，又，則有，即.注：數(shù)列、解析幾何、不等式是高考的重點內(nèi)容，將三者綜合在一起，強強聯(lián)合命題大型綜合題是歷年高考的熱點和重點。數(shù)列是特殊的函數(shù)，以數(shù)列為背景的不等式證明問題及以函數(shù)作為背景的數(shù)列的綜合問題體現(xiàn)了在知識交匯點上命題的特點，該類綜合題的知識綜合性強，能很好地考查邏輯推理能力和運算求解能力，而一直成為高考命題者的首選。方法提示：數(shù)列的滲透力很強，它和函數(shù)、方程、三角、不等式等知識相互聯(lián)系，優(yōu)化組合，無形中加大了綜合力度.所以，解決此類題目僅靠掌握單一知識點，無異于杯水車薪，必須對蘊藏在數(shù)列概念和方法中的數(shù)學(xué)思想有所了解，深刻領(lǐng)悟它在解題中的重要作用，常用的數(shù)學(xué)思想方法主要有：“函數(shù)與方程”、“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”、“等價轉(zhuǎn)化”等.例2已知點（1，）是函數(shù)且）的圖象上一點，等比數(shù)列的前項和為,數(shù)列的首項為，且前項和滿足=+（）.（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若數(shù)列前項和為，問的最小正整數(shù)是多少？解答：（1）, , .又數(shù)列成等比數(shù)列， ，所以 ；又公比，所以 ； 又, ；數(shù)列構(gòu)成一個首相為1公差為1的等差數(shù)列， ， 當(dāng)， ；()；（2） ； 由得，滿足的最小正整數(shù)為112.注：數(shù)列與函數(shù)的綜合問題主要有以下兩類：已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題。此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題；已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題。解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、公式、求和方法對式子化簡變形?！靖呖剂憔嚯x】1. （2012新課標(biāo)全國高考文科12）數(shù)列an滿足an+1(1)n an 2n1，則an的前60項和為（）3690 （b）3660 （c）1845 （d）1830【解題指南】依次寫出數(shù)列的項，直至發(fā)現(xiàn)規(guī)律，一般這類數(shù)列具有周期性或者能直接求出通項公式，找到規(guī)律后，可直接求和?！窘馕觥窟xd ，.2. （2012山東高考文科20）已知等差數(shù)列的前5項和為105，且.()求數(shù)列的通項公式；()對任意，將數(shù)列中不大于的項的個數(shù)記為.求數(shù)列的前m項和.【解題指南】 （1）可利用等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式列出方程組求出首項和公差；進而求得通項公式.（2）利用數(shù)列的中不大于內(nèi)的項的個數(shù).可求得數(shù)列為等比數(shù)列.利用等比數(shù)列的前n項公式求得.【解析】(i)由已知得：解得,所以通項公式為.(ii)由，得，即.，是公比為49的等比數(shù)列，.3. （2012廣東高考文科19）設(shè)數(shù)列前項和為，數(shù)列前項和為，滿足，.(1)求的值；（2）求數(shù)列的通項公式.【解題指南】 (1)根據(jù)，利用,可建立關(guān)于的方程，即可求出.(2)解本題的關(guān)鍵是,因為當(dāng)n=1時，也滿足上式，所以然后轉(zhuǎn)化為常規(guī)題型來做即可?！窘馕觥浚?）令n=1時，(2) 因為當(dāng)n=1時，也滿足上式，所以當(dāng)兩式相減得所以所以因為,所以數(shù)列是以3為首項，公比為2的等比數(shù)列，所以所以。4. （2012江蘇高考數(shù)學(xué)科20）（本小題滿分16分） 已知各項均為正數(shù)的兩個數(shù)列和滿足：（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，且是等比數(shù)列，求和的值【解題指南】（1）根據(jù)題設(shè)和，求出，從而證明而得證。（2）根據(jù)基本不等式得到，用反證法證明等比數(shù)列的公比。從而得到的結(jié)論，再由知是公比是的等比數(shù)列。最后用反證法求出?！窘馕觥浚?），。 。 。 數(shù)列是以1 為公差的等差數(shù)列。（2），。（）設(shè)等比數(shù)列的公比為，由知，下面用反證法證明若則，當(dāng)時，與（）矛盾。 若則，當(dāng)時，與（）矛盾。 綜上所述，。，。又，是公比是的等比數(shù)列。若，則，于是。又由即，得。中至少有兩項相同，與矛盾。 。5 （2011浙江高考文科17）若數(shù)列中的最大項是第項，則=_.【思路點撥】可由不等式組解得.【精講精析】答案：4設(shè)最大項為第項，則由不等式組得,即,解得,故.6. （2011安徽高考理科18）在數(shù)1和100之間插入個實數(shù)，使得這+2個數(shù)構(gòu)成遞增的等比數(shù)列，將這+2個數(shù)的乘積記作，再令，（）求數(shù)列的通項公式；（）設(shè)求數(shù)列的前項和.【思路點撥】本題將數(shù)列問題和三角問題結(jié)合在一起，解決此題需利用等比數(shù)列通項公式，等差數(shù)列前n項和公式，及兩角差的正切公式等基本知識.【精講精析】（）設(shè)這+2個數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列為，則，則，又所以 （）由題意和（）中計算結(jié)果，知另一方面，利用得 所以【考點提升訓(xùn)練】1.（2012沈陽模擬）設(shè)數(shù)列(-1)n的前n項和為sn，則對任意正整數(shù)n，sn=( )()(b)(c)(d)2數(shù)列an、bn都是等差數(shù)列，a15，b17，且a20b2060，則anbn的前20項和為( )()700(b)710(c)720(d)7303.(易錯題)已知數(shù)列an的通項公式(nn*)，設(shè)an的前n項和為sn,則使sn-5成立的自然數(shù)n( )（）有最大值63（b）有最小值63（c）有最大值31（d）有最小值314.已知實數(shù)等比數(shù)列an中，sn是它的前n項和.若a2a3=2a1,且a4與2a7的等差中項為，則s5等于( )（）35（b）33（c）31（d）295.已知數(shù)列an、bn都是公差為1的等差數(shù)列，其首項分別為a1、b1，且a1+b1=5，a1b1，a1、b1n*(nn*)，則數(shù)列的前10項的和等于( )（）65（b）75（c）85（d）956.（2012合肥模擬）已知數(shù)列an為等差數(shù)列，若-1，且它們的前n項和sn有最大值，則使得sn0的n的最小值為( )()11(b)19(c)20(d)21二、填空題（每小題6分，共18分）7.設(shè)若則n的值為_.8.設(shè)sn是數(shù)列an的前n項和,若(nn*)是非零常數(shù)，則稱數(shù)列an為“和等比數(shù)列”.若數(shù)列是首項為2,公比為4的等比數(shù)列，則數(shù)列bn_（填“是”或“不是”）“和等比數(shù)列”.9.某科研單位欲拿出一定的經(jīng)費獎勵科研人員，第1名得全部資金的一半多一萬元，第2名得剩下的一半多一萬元，以名次類推都得到剩下的一半多一萬元，到第10名恰好資金分完，則此科研單位共拿出_萬元資金進行獎勵三、解答題（每小題15分，共30分）10.（預(yù)測題）已知各項都不相等的等差數(shù)列an的前6項和為60,且a6為a1和a21的等比中項.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)若數(shù)列bn滿足bn+1-bn=an(nn*)，且b1=3，求數(shù)列的前n項和tn.11.（預(yù)測題）設(shè)數(shù)列an(n=1,2,)是等差數(shù)列，且公差為d,若數(shù)列an中任意（不同）兩項之和仍是該數(shù)列中的一項，則稱該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.(1)若a1=4,d=2，求證：該數(shù)列是“封閉數(shù)列”.（2）若an=2n-7(nn*),試判斷數(shù)列an是否是“封閉數(shù)列”，為什么？（3）設(shè)sn是數(shù)列an的前n項和，若公差d=1,a10，試問：是否存在這樣的“封閉數(shù)列”，使若存在，求an的通項公式；若不存在，說明理由.【探究創(chuàng)新】（16分）已知數(shù)列an的前n項和為sn，對一切正整數(shù)n,點pn(n,sn)都在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，且在點pn(n,sn)處的切線的斜率為kn.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)若,求數(shù)列bn的前n項和tn.答案解析1.【解析】選d.數(shù)列(-1)n是首項與公比均為-1的等比數(shù)列,.2【解題指南】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知，仍然是等差數(shù)列，所以利用等差數(shù)列的求和公式求解即可.【解析】選c.由題意知也為等差數(shù)列，所以anbn的前20項和為：3【解析】選b. =n+226,n62.又nn*，n有最小值63.4.【解析】選c.由a2a3=a1a4=2a1得a4=2,又a4+2a7=,a7=,設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則a7=,q=,a1=16,.5.【解析】選c.應(yīng)用等差數(shù)列的通項公式得an=a1+n-1,bn=b1+n-1,數(shù)列也是等差數(shù)列，且前10項和為.【方法技巧】構(gòu)造等差數(shù)列求解在等差數(shù)列相關(guān)問題中，有些數(shù)列不能直接利用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，但是通過對數(shù)列變形可以構(gòu)造成等差數(shù)列.（1）由遞推公式構(gòu)造等差數(shù)列一般是從研究遞推公式的特點入手，如遞推公式an+1=2an+32n+1的特點是除以2n+1就可以得到下標(biāo)和指數(shù)相同了，從而構(gòu)造成等差數(shù)列.（2）由前n項和sn構(gòu)造等差數(shù)列.（3）由并項、拆項構(gòu)造等差數(shù)列.6.【解題指南】解答本題首先要搞清條件“”及“sn有最大值”如何使用，從而列出關(guān)于a1,d的不等式組，求出的取值范圍，進而求出使得sn0的n的最小值.【解析】選c.方法一：由題意知d0,a100,a110,a10+a110,由得.由sn=0得n=0或sn0的解集為nn*|故使得sn0的n的最小值為20.方法二：由題意知d0,a100,a110,a10+a110,由a100知s190,由a110知s210,由a10+a110知s200,故選c.7.【解析】,解得n=6.答案：68.【解題指南】解決本題的關(guān)鍵是正確理解“和等比數(shù)列”的定義，然后求解.【解析】數(shù)列是首項為2,公比為4的等比數(shù)列，所以設(shè)數(shù)列bn的前n項和為tn,則tn=n2,t2n=4n2,所以=4,因此數(shù)列bn是“和等比數(shù)列”.答案：是9.【解析】設(shè)第10名到第1名得到的獎金數(shù)分別是a1,a2,a10,則則即an=2an-1,因此每人得的獎金額組成以2為首項，以2為公比的等比數(shù)列，所以答案：2 04610.【解析】(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d0),則解得an=2n+3.(2)由bn+1-bn=an,bn-bn-1=an-1(n2,nn*)，bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+a1+b1=n(n+2)當(dāng)n=1時，b1=3也適合上式,bn=n(n+2)(nn*).11.【解析】(1)an=4+(n-1)2=2n+2,對任意的m,nn*,有am+an=(2m+2)+(2n+2)=2(m+n+1)+2,m+n+1n*于是，令p=m+n+1,則有ap=2p+2an.(2)a1=-5,a2=-3,a1+a2=-8,令an=a1+a2=-8,即2n-7=-8解