高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)及經(jīng)典例題.doc

1,題目 高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座對集合的理解及集合思想應(yīng)用的問題高考要求 集合是高中數(shù)學(xué)的基本知識，為歷年必考內(nèi)容之一，主要考查對集合基本概念的認(rèn)識和理解，以及作為工具，考查集合語言和集合思想的運(yùn)用 本節(jié)主要是幫助考生運(yùn)用集合的觀點(diǎn)，不斷加深對集合概念、集合語言、集合思想的理解與應(yīng)用 重難點(diǎn)歸納 1 解答集合問題，首先要正確理解集合有關(guān)概念，特別是集合中元素的三要素；對于用描述法給出的集合x|xP,要緊緊抓住豎線前面的代表元素x以及它所具有的性質(zhì)P；要重視發(fā)揮圖示法的作用，通過數(shù)形結(jié)合直觀地解決問題 2 注意空集的特殊性，在解題中，若未能指明集合非空時，要考慮到空集的可能性，如AB,則有A=或A兩種可能，此時應(yīng)分類討論典型題例示范講解 例1設(shè)A=(x,y)|y2x1=0,B=(x,y)|4x2+2x2y+5=0,C=(x,y)|y=kx+b,是否存在k、bN,使得(AB)C=，證明此結(jié)論 命題意圖 本題主要考查考生對集合及其符號的分析轉(zhuǎn)化能力，即能從集合符號上分辨出所考查的知識點(diǎn)，進(jìn)而解決問題 知識依托 解決此題的閃光點(diǎn)是將條件(AB)C=轉(zhuǎn)化為AC=且BC=，這樣難度就降低了 錯解分析 此題難點(diǎn)在于考生對符號的不理解，對題目所給出的條件不能認(rèn)清其實(shí)質(zhì)內(nèi)涵，因而可能感覺無從下手 技巧與方法 由集合A與集合B中的方程聯(lián)立構(gòu)成方程組，用判別式對根的情況進(jìn)行限制，可得到b、k的范圍，又因b、kN,進(jìn)而可得值 解 (AB)C=，AC=且BC= k2x2+(2bk1)x+b21=0 AC=1=(2bk1)24k2(b21)0 4k24bk+10, 即 b21 4x2+(22k)x+(5+2b)=0BC=,2=(1k)24(52b)0k22k+8b190, 從而8b20,即 b2 5 由及bN,得b=2代入由10和20知，方程只有負(fù)根，不符合要求 當(dāng)m1時，由x1+x2=(m1)0及x1x2=10知，方程只有正根，且必有一根在區(qū)間(0，1內(nèi)，從而方程至少有一個根在區(qū)間0，2內(nèi) 故所求m的取值范圍是m1 2,題目 高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座充要條件的理解及判定方法高考要求 充分條件、必要條件和充要條件是重要的數(shù)學(xué)概念，主要用來區(qū)分命題的條件p和結(jié)論q之間的關(guān)系本節(jié)主要是通過不同的知識點(diǎn)來剖析充分必要條件的意義，讓考生能準(zhǔn)確判定給定的兩個命題的充要關(guān)系重難點(diǎn)歸納 (1)要理解“充分條件”“必要條件”的概念當(dāng)“若p則q”形式的命題為真時，就記作pq，稱p是q的充分條件，同時稱q是p的必要條件，因此判斷充分條件或必要條件就歸結(jié)為判斷命題的真假(2)要理解“充要條件”的概念，對于符號“”要熟悉它的各種同義詞語“等價于”，“當(dāng)且僅當(dāng)”，“必須并且只需”，“，反之也真”等(3)數(shù)學(xué)概念的定義具有相稱性，即數(shù)學(xué)概念的定義都可以看成是充要條件，既是概念的判斷依據(jù)，又是概念所具有的性質(zhì)(4)從集合觀點(diǎn)看，若AB，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若A=B，則A、B互為充要條件(5)證明命題條件的充要性時，既要證明原命題成立(即條件的充分性)，又要證明它的逆命題成立(即條件的必要性)典型題例示范講解 例1已知p|1|2,q:x22x+1m20(m0),若p是q的必要而不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍命題意圖 本題以含絕對值的不等式及一元二次不等式的解法為考查對象，同時考查了充分必要條件及四種命題中等價命題的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)了知識點(diǎn)的靈活性知識依托 本題解題的閃光點(diǎn)是利用等價命題對題目的文字表述方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使考生對充要條件的難理解變得簡單明了錯解分析 對四種命題以及充要條件的定義實(shí)質(zhì)理解不清晰是解此題的難點(diǎn)，對否命題，學(xué)生本身存在著語言理解上的困難技巧與方法 利用等價命題先進(jìn)行命題的等價轉(zhuǎn)化，搞清晰命題中條件與結(jié)論的關(guān)系，再去解不等式，找解集間的包含關(guān)系，進(jìn)而使問題解決解由題意知命題若p是q的必要而不充分條件的等價命題即逆否命題為p是q的充分不必要條件p:|1|2212132x10q:x22x+1m20x(1m)x(1+m)0 *p是q的充分不必要條件，不等式|1|2的解集是x22x+1m20(m0)解集的子集又m0不等式*的解集為1mx1+m ，m9，實(shí)數(shù)m的取值范圍是9，+例2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)Sn=pn+q(p0,p1),求數(shù)列an是等比數(shù)列的充要條件命題意圖 本題重點(diǎn)考查充要條件的概念及考生解答充要條件命題時的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性知識依托 以等比數(shù)列的判定為主線，使本題的閃光點(diǎn)在于抓住數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，嚴(yán)格利用定義去判定錯解分析 因?yàn)轭}目是求的充要條件，即有充分性和必要性兩層含義，考生很容易忽視充分性的證明技巧與方法 由an=關(guān)系式去尋找an與an+1的比值，但同時要注意充分性的證明解a1=S1=p+q當(dāng)n2時，an=SnSn1=pn1(p1) p0,p1,=p若an為等比數(shù)列，則=p =p,p0，p1=p+q，q=1這是an為等比數(shù)列的必要條件下面證明q=1是an為等比數(shù)列的充分條件當(dāng)q=1時，Sn=pn1(p0,p1)，a1=S1=p1當(dāng)n2時，an=SnSn1=pnpn1=pn1(p1)an=(p1)pn1 (p0,p1) =p為常數(shù)q=1時，數(shù)列an為等比數(shù)列即數(shù)列an是等比數(shù)列的充要條件為q=1例3已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x2+ax+b=0有兩個實(shí)數(shù)根、，證明|2且|2是2|a|4+b且|b|0即有4+b2a(4+b) 又|b|44+b02|a|4+b(2)必要性由2|a|4+bf(2)0且f(x)的圖象是開口向上的拋物線方程f(x)=0的兩根，同在(2，2）內(nèi)或無實(shí)根，是方程f(x)=0的實(shí)根， ，同在(2，2）內(nèi)，即|2且|2例4 寫出下列各命題的否定及其否命題，并判斷它們的真假.（1）若x、y都是奇數(shù)，則x+y是偶數(shù)；（2）若xy=0，則x=0或y=0；（3）若一個數(shù)是質(zhì)數(shù)，則這個數(shù)是奇數(shù).解：（1）命題的否定：x、y都是奇數(shù)，則x+y不是偶數(shù)，為假命題.原命題的否命題：若x、y不都是奇數(shù)，則x+y不是偶數(shù)，是假命題.（2）命題的否定：xy=0則x0且y0，為假命題.原命題的否命題：若xy0，則x0且y0，是真命題.（3）命題的否定：一個數(shù)是質(zhì)數(shù)，則這個數(shù)不是奇數(shù)，是假命題.原命題的否命題：若一個數(shù)不是質(zhì)數(shù)，則這個數(shù)不是奇數(shù)，為假命題.例5 有A、B、C三個盒子，其中一個內(nèi)放有一個蘋果，在三個盒子上各有一張紙條.A盒子上的紙條寫的是“蘋果在此盒內(nèi)”，B盒子上的紙條寫的是“蘋果不在此盒內(nèi)”，C盒子上的紙條寫的是“蘋果不在A盒內(nèi)”.如果三張紙條中只有一張寫的是真的，請問蘋果究竟在哪個盒子里？解：若蘋果在A盒內(nèi)，則A、B兩個盒子上的紙條寫的為真，不合題意.若蘋果在B盒內(nèi)，則A、B兩個盒子上的紙條寫的為假，C盒子上的紙條寫的為真，符合題意，即蘋果在B盒內(nèi).同樣，若蘋果在C盒內(nèi)，則B、C兩盒子上的紙條寫的為真，不合題意.綜上，蘋果在B盒內(nèi).3,題目 高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座運(yùn)用向量法解題高考要求 平面向量是新教材改革增加的內(nèi)容之一，近幾年的全國使用新教材的高考試題逐漸加大了對這部分內(nèi)容的考查力度，本節(jié)內(nèi)容主要是幫助考生運(yùn)用向量法來分析，解決一些相關(guān)問題重難點(diǎn)歸納 1 解決關(guān)于向量問題時，一要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，加深對向量的本質(zhì)的認(rèn)識二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想2 向量的數(shù)量積常用于有關(guān)向量相等，兩向量垂直、射影、夾角等問題中常用向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算來證明向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點(diǎn)間距離的問題3 用空間向量解決立體幾何問題一般可按以下過程進(jìn)行思考 (1)要解決的問題可用什么向量知識來解決？需要用到哪些向量？(2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？(3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？(4)怎樣對已經(jīng)表示出來的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到需要的結(jié)論？典型題例示范講解 例1如圖，已知平行六面體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且C1CB=C1CD=BCD(1)求證 C1CBD(2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，能使A1C平面C1BD？請給出證明 命題意圖 本題主要考查考生應(yīng)用向量法解決向量垂直，夾角等問題以及對立體幾何圖形的解讀能力知識依托 解答本題的閃光點(diǎn)是以向量來論證立體幾何中的垂直問題，這就使幾何問題代數(shù)化，使繁瑣的論證變得簡單錯解分析 本題難點(diǎn)是考生理不清題目中的線面位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，再就是要清楚已知條件中提供的角與向量夾角的區(qū)別與聯(lián)系技巧與方法 利用=0來證明兩直線垂直，只要證明兩直線對應(yīng)的向量的數(shù)量積為零即可(1)證明 設(shè)=, =,依題意，|=|，、中兩兩所成夾角為，于是=，=()=|cos|cos=0,C1CBD(2)解 若使A1C平面C1BD，只須證A1CBD，A1CDC1，由=(+)()=|2+|2=|2|2+|cos|cos=0,得當(dāng)|=|時，A1CDC1，同理可證當(dāng)|=|時，A1CBD，=1時，A1C平面C1BD例2如圖，直三棱柱ABCA1B1C1，底面ABC中，CA=CB=1，BCA=90，AA1=2，M、N分別是A1B1、A1A的中點(diǎn)(1)求的長；(2)求cos的值；(3)求證 A1BC1M命題意圖 本題主要考查考生運(yùn)用向量法中的坐標(biāo)運(yùn)算的方法來解決立體幾何問題知識依托 解答本題的閃光點(diǎn)是建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系Oxyz,進(jìn)而找到點(diǎn)的坐標(biāo)和求出向量的坐標(biāo)錯解分析 本題的難點(diǎn)是建系后，考生不能正確找到點(diǎn)的坐標(biāo)技巧與方法 可以先找到底面坐標(biāo)面xOy內(nèi)的A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用向量的模及方向來找出其他的點(diǎn)的坐標(biāo)(1)解 如圖，以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz依題意得 B(0，1，0)，N(1，0，1)|=(2)解 依題意得 A1(1，0，2)，C(0，0，0)，B1(0，1，2)=(0，1，2)=10+(1)1+22=3|=(3)證明 依題意得 C1(0，0，2)，M()A1BC1M例3三角形ABC中，A(5，1)、B(1，7)、C(1，2)，求 (1)BC邊上的中線AM的長；(2)CAB的平分線AD的長；(3)cosABC的值解 (1)點(diǎn)M的坐標(biāo)為xM=D點(diǎn)分的比為2 xD=(3)ABC是與的夾角，而=(6，8），=(2，5）4,題目 高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座二次函數(shù)、二次方程及二次不等式的關(guān)系高考要求三個“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系，同時也是研究包含二次曲線在內(nèi)的許多內(nèi)容的工具高考試題中近一半的試題與這三個“二次”問題有關(guān)本節(jié)主要是幫助考生理解三者之間的區(qū)別及聯(lián)系，掌握函數(shù)、方程及不等式的思想和方法重難點(diǎn)歸納 1 二次函數(shù)的基本性質(zhì)(1)二次函數(shù)的三種表示法y=ax2+bx+c;y=a(xx1)(xx2);y=a(xx0)2+n(2)當(dāng)a0,f(x)在區(qū)間p,q上的最大值M，最小值m,令x0= (p+q)若p,則f(p)=m,f(q)=M; 若px0,則f()=m,f(q)=M;若x0q,則f(p)=M,f()=m; 若q,則f(p)=M,f(q)=m2 二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的實(shí)根分布及條件(1)方程f(x)=0的兩根中一根比r大，另一根比r小af(r)0;(2)二次方程f(x)=0的兩根都大于r (3)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)有兩根(4)二次方程f(x)=0在區(qū)間(p,q)內(nèi)只有一根f(p)f(q)0,或f(p)=0(檢驗(yàn))或f(q)=0(檢驗(yàn))檢驗(yàn)另一根若在(p,q)內(nèi)成立(5)方程f(x)=0兩根的一根大于p,另一根小于q(pq)3 二次不等式轉(zhuǎn)化策略(1)二次不等式f(x)=ax2+bx+c0的解集是(,),+a0時，f()f() |+|+|,當(dāng)a0時，f()|+|;(3)當(dāng)a0時，二次不等式f(x)0在p,q恒成立或(4)f(x)0恒成立典型題例示范講解 例1已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c和一次函數(shù)g(x)=bx，其中a、b、c滿足abc,a+b+c=0,(a,b,cR)(1)求證兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)A、B；(2)求線段AB在x軸上的射影A1B1的長的取值范圍命題意圖 本題主要考查考生對函數(shù)中函數(shù)與方程思想的運(yùn)用能力知識依托 解答本題的閃光點(diǎn)是熟練應(yīng)用方程的知識來解決問題及數(shù)與形的完美結(jié)合錯解分析 由于此題表面上重在“形”，因而本題難點(diǎn)就是一些考生可能走入誤區(qū)，老是想在“形”上找解問題的突破口，而忽略了“數(shù)”技巧與方法 利用方程思想巧妙轉(zhuǎn)化(1)證明由消去y得ax2+2bx+c=0=4b24ac=4(ac)24ac=4(a2+ac+c2)=4(a+c2a+b+c=0,abc,a0,c0,0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn)(2)解設(shè)方程ax2+bx+c=0的兩根為x1和x2,則x1+x2=,x1x2=|A1B1|2=(x1x2)2=(x1+x2)24x1x2abc,a+b+c=0,a0,cacc,解得(2,)的對稱軸方程是(2,)時，為減函數(shù)|A1B1|2(3,12),故|A1B1|()例2已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍 命題意圖 本題重點(diǎn)考查方程的根的分布問題知識依托 解答本題的閃光點(diǎn)是熟知方程的根對于二次函數(shù)性質(zhì)所具有的意義錯解分析用二次函數(shù)的性質(zhì)對方程的根進(jìn)行限制時，條件不嚴(yán)謹(jǐn)是解答本題的難點(diǎn)技巧與方法 設(shè)出二次方程對應(yīng)的函數(shù)，可畫出相應(yīng)的示意圖，然后用函數(shù)性質(zhì)加以限制解 (1)條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(1，0)和(1，2)內(nèi)，畫出示意圖，得 (2)據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)落在區(qū)間(0，1)內(nèi)，列不等式組(這里0m0,a1,x0),求f(x)的表達(dá)式 (2)已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c滿足|f(1)|=|f(1)|=|f(0)|=1,求f(x)的表達(dá)式 命題意圖 本題主要考查函數(shù)概念中的三要素 定義域、值域和對應(yīng)法則，以及計算能力和綜合運(yùn)用知識的能力 知識依托 利用函數(shù)基礎(chǔ)知識，特別是對“f”的理解，用好等價轉(zhuǎn)化，注意定義域 錯解分析 本題對思維能力要求較高，對定義域的考查、等價轉(zhuǎn)化易出錯 技巧與方法 (1)用換元法；(2)用待定系數(shù)法 解 (1)令t=logax(a1,t0;0a1,t1,x0;0a1,x0)(2)由f(1)=a+b+c,f(1)=ab+c,f(0)=c得并且f(1)、f(1)、f(0)不能同時等于1或1，所以所求函數(shù)為 f(x)=2x21 或f(x)=2x2+1 或f(x)=x2x+1或f(x)=x2x1 或f(x)=x2+x+1 或f(x)=x2+x1 例2設(shè)f(x)為定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x1時，y=f(x)的圖象是經(jīng)過點(diǎn)(2，0)，斜率為1的射線，又在y=f(x)的圖象中有一部分是頂點(diǎn)在(0，2)，且過點(diǎn)(1，1)的一段拋物線，試寫出函數(shù)f(x)的表達(dá)式，并在圖中作出其圖象 命題意圖 本題主要考查函數(shù)基本知識、拋物線、射線的基本概念及其圖象的作法，對分段函數(shù)的分析需要較強(qiáng)的思維能力 因此，分段函數(shù)是今后高考的熱點(diǎn)題型 知識依托 函數(shù)的奇偶性是橋梁，分類討論是關(guān)鍵，待定系數(shù)求出曲線方程是主線 錯解分析 本題對思維能力要求很高，分類討論、綜合運(yùn)用知識易發(fā)生混亂 技巧與方法 合理進(jìn)行分類，并運(yùn)用待定系數(shù)法求函數(shù)表達(dá)式 解 (1)當(dāng)x1時，設(shè)f(x)=x+b射線過點(diǎn)(2，0) 0=2+b即b=2，f(x)=x+2 (2)當(dāng)1x1時，設(shè)f(x)=ax2+2 拋物線過點(diǎn)(1，1)，1=a(1)2+2,即a=1f(x)=x2+2 (3)當(dāng)x1時，f(x)=x+2綜上可知 f(x)=作圖由讀者來完成 例3已知f(2cosx)=cos2x+cosx,求f(x1) 解法一 (換元法）f(2cosx)=cos2xcosx=2cos2xcosx1令u=2cosx(1u3),則cosx=2uf(2cosx)=f(u)=2(2u)2(2u)1=2u27u+5(1u3)f(x1)=2(x1)27(x1)+5=2x211x+4(2x4)解法二 (配湊法）f(2cosx)=2cos2xcosx1=2(2cosx)27(2cosx）+5f(x)=2x27x5(1x3),即f(x1)=2(x1)27(x1)+5=2x211x+14(2x4) 6,題目 高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座求函數(shù)值域的常用方法及值域的應(yīng)用高考要求 函數(shù)的值域及其求法是近幾年高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一 本節(jié)主要幫助考生靈活掌握求值域的各種方法，并會用函數(shù)的值域解決實(shí)際應(yīng)用問題 重難點(diǎn)歸納 (1)求函數(shù)的值域此類問題主要利用求函數(shù)值域的常用方法 配方法、分離變量法、單調(diào)性法、圖象法、換元法、不等式法等 無論用什么方法求函數(shù)的值域，都必須考慮函數(shù)的定義域 (2)函數(shù)的綜合性題目此類問題主要考查函數(shù)值域、單調(diào)性、奇偶性、反函數(shù)等一些基本知識相結(jié)合的題目 此類問題要求考生具備較高的數(shù)學(xué)思維能力和綜合分析能力以及較強(qiáng)的運(yùn)算能力 在今后的命題趨勢中綜合性題型仍會成為熱點(diǎn)和重點(diǎn)，并可以逐漸加強(qiáng) (3)運(yùn)用函數(shù)的值域解決實(shí)際問題此類問題關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，從而利用所學(xué)知識去解決此類題要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和數(shù)學(xué)建模能力 典型題例示范講解 例1設(shè)計一幅宣傳畫，要求畫面面積為4840 cm2,畫面的寬與高的比為(1),畫面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白，怎樣確定畫面的高與寬尺寸，才能使宣傳畫所用紙張面積最小？如果要求，那么為何值時，能使宣傳畫所用紙張面積最?。棵}意圖 本題主要考查建立函數(shù)關(guān)系式和求函數(shù)最小值問題，同時考查運(yùn)用所學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力 知識依托 主要依據(jù)函數(shù)概念、奇偶性和最小值等基礎(chǔ)知識 錯解分析 證明S()在區(qū)間上的單調(diào)性容易出錯，其次不易把應(yīng)用問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決 技巧與方法 本題屬于應(yīng)用問題，關(guān)鍵是建立數(shù)學(xué)模型，并把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決 解 設(shè)畫面高為x cm,寬為x cm,則x2=4840,設(shè)紙張面積為S cm2,則S=(x+16)(x+10)=x2+(16+10)x+160,將x=代入上式得 S=5000+44 (8+),當(dāng)8=,即=1)時S取得最小值 此時高 x=88 cm,寬 x=88=55 cm 如果，可設(shè)10,S(1)S(2)0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍 命題意圖 本題主要考查函數(shù)的最小值以及單調(diào)性問題，著重于學(xué)生的綜合分析能力以及運(yùn)算能力 知識依托 本題主要通過求f(x)的最值問題來求a的取值范圍，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想與分類討論的思想 錯解分析 考生不易考慮把求a的取值范圍的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解決 技巧與方法 解法一運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想把f(x)0轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次不等式；解法二運(yùn)用分類討論思想解得 (1)解 當(dāng)a=時，f(x)=x+2f(x)在區(qū)間1，+上為增函數(shù)，f(x)在區(qū)間1，+上的最小值為f(1)= (2)解法一 在區(qū)間1，+上，f(x)= 0恒成立x2+2x+a0恒成立 設(shè)y=x2+2x+a,x1,+y=x2+2x+a=(x+1)2+a1遞增，當(dāng)x=1時，ymin=3+a,當(dāng)且僅當(dāng)ymin=3+a0時，函數(shù)f(x)0恒成立，故a3 解法二 f(x)=x+2,x1,+當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)的值恒為正；當(dāng)a0時，函數(shù)f(x)0恒成立，故a3 例3設(shè)m是實(shí)數(shù)，記M=m|m1,f(x)=log3(x24mx+4m2+m+) (1)證明 當(dāng)mM時，f(x)對所有實(shí)數(shù)都有意義；反之，若f(x)對所有實(shí)數(shù)x都有意義，則mM (2)當(dāng)mM時，求函數(shù)f(x)的最小值 (3)求證 對每個mM,函數(shù)f(x)的最小值都不小于1 (1)證明 先將f(x)變形 f(x)=log3(x2m)2+m+,當(dāng)mM時，m1,(xm)2+m+0恒成立，故f(x)的定義域?yàn)镽 反之，若f(x)對所有實(shí)數(shù)x都有意義，則只須x24mx+4m2+m+0,令0,即16m24(4m2+m+)0,解得m1,故mM (2)解析 設(shè)u=x24mx+4m2+m+,y=log3u是增函數(shù)，當(dāng)u最小時，f(x)最小 而u=(x2m)2+m+,顯然，當(dāng)x=m時，u取最小值為m+,此時f(2m)=log3(m+)為最小值 (3)證明 當(dāng)mM時，m+=(m1)+ +13,當(dāng)且僅當(dāng)m=2時等號成立 log3(m+)log33=1 7,題目 高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座處理具有單調(diào)性、奇偶性函數(shù)問題的方法（1）高考要求 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣 特別是兩性質(zhì)的應(yīng)用更加突出 本節(jié)主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調(diào)性的定義，掌握判定方法，正確認(rèn)識單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象 幫助考生學(xué)會怎樣利用兩性質(zhì)解題，掌握基本方法，形成應(yīng)用意識 重難點(diǎn)歸納 (1)判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性若為具體函數(shù)，嚴(yán)格按照定義判斷，注意變換中的等價性 若為抽象函數(shù)，在依托定義的基礎(chǔ)上，用好賦值法，注意賦值的科學(xué)性、合理性 同時，注意判斷與證明、討論三者的區(qū)別，針對所列的訓(xùn)練認(rèn)真體會，用好數(shù)與形的統(tǒng)一 復(fù)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性 問題的解決關(guān)鍵在于 既把握復(fù)合過程，又掌握基本函數(shù) (2)加強(qiáng)逆向思維、數(shù)形統(tǒng)一 正反結(jié)合解決基本應(yīng)用題目 (3)運(yùn)用奇偶性和單調(diào)性去解決有關(guān)函數(shù)的綜合性題目 此類題目要求考生必須具有駕馭知識的能力，并具有綜合分析問題和解決問題的能力 (4)應(yīng)用問題 在利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解決實(shí)際問題的過程中，往往還要用到等價轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想方法，把問題中較復(fù)雜、抽象的式子轉(zhuǎn)化為基本的簡單的式子去解決 特別是 往往利用函數(shù)的單調(diào)性求實(shí)際應(yīng)用題中的最值問題 典型題例示范講解 例1已知奇函數(shù)f(x)是定義在(3，3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x3)+f(x23)0,設(shè)不等式解集為A，B=Ax|1x,求函數(shù)g(x)=3x2+3x4(xB)的最大值 命題意圖 本題屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合性題目，考生必須具有綜合運(yùn)用知識分析和解決問題的能力 知識依托 主要依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)去解決問題 錯解分析 題目不等式中的“f”號如何去掉是難點(diǎn)，在求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題時，學(xué)生容易漏掉定義域 技巧與方法 借助奇偶性脫去“f”號，轉(zhuǎn)化為x的不等式，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行集合運(yùn)算和求最值 解 由且x0,故0x,又f(x)是奇函數(shù)，f(x3)3x2,即x2+x60,解得x2或x3,綜上得2x,即A=x|2x,B=Ax|1x=x|1xf(0)對所有0,都成立？若存在，求出符合條件的所有實(shí)數(shù)m的范圍，若不存在，說明理由 命題意圖 本題屬于探索性問題，主要考查考生的綜合分析能力和邏輯思維能力以及運(yùn)算能力 知識依托 主要依據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，利用等價轉(zhuǎn)化的思想方法把問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題 錯解分析 考生不易運(yùn)用函數(shù)的綜合性質(zhì)去解決問題，特別不易考慮運(yùn)用等價轉(zhuǎn)化的思想方法 技巧與方法 主要運(yùn)用等價轉(zhuǎn)化的思想和分類討論的思想來解決問題 解 f(x)是R上的奇函數(shù)，且在0，+)上是增函數(shù)，f(x)是R上的增函數(shù) 于是不等式可等價地轉(zhuǎn)化為f(cos23)f(2mcos4m),即cos232mcos4m,即cos2mcos+2m20 設(shè)t=cos,則問題等價地轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)=t2mt+2m2=(t)2+2m2在0，1上的值恒為正，又轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(t)在0，1上的最小值為正 當(dāng)0,即m0m1與m042m4+2,421,即m2時，g(1)=m10m1 m2綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m42 另法(僅限當(dāng)m能夠解出的情況) cos2mcos+2m20對于0,恒成立，等價于m(2cos2)/(2cos) 對于0,恒成立當(dāng)0,時，(2cos2)/(2cos) 42，m42 例3已知偶函數(shù)f(x)在(0，+)上為增函數(shù)，且f(2)=0,解不等式flog2(x2+5x+4)0 解 f(2)=0,原不等式可化為flog2(x2+5x+4)f(2) 又f(x)為偶函數(shù)，且f(x)在(0，+)上為增函數(shù)，f(x)在(,0）上為減函數(shù)且f(2)=f(2)=0不等式可化為log2(x2+5x+4)2或log2(x2+5x+4)2由得x2+5x+44，x5或x0由得0x2+5x+4得x4或1x由得原不等式的解集為x|x5或x4或1x或x0 8,題目 高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座處理具有單調(diào)性、奇偶性函數(shù)問題的方法（2）高考要求 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣 特別是兩性質(zhì)的應(yīng)用更加突出 本節(jié)主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調(diào)性的定義，掌握判定方法，正確認(rèn)識單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象 幫助考生學(xué)會怎樣利用兩性質(zhì)解題，掌握基本方法，形成應(yīng)用意識 重難點(diǎn)歸納 (1)判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性若為具體函數(shù)，嚴(yán)格按照定義判斷，注意變換中的等價性 若為抽象函數(shù)，在依托定義的基礎(chǔ)上，用好賦值法，注意賦值的科學(xué)性、合理性 同時，注意判斷與證明、討論三者的區(qū)別，針對所列的訓(xùn)練認(rèn)真體會，用好數(shù)與形的統(tǒng)一 復(fù)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性 問題的解決關(guān)鍵在于 既把握復(fù)合過程，又掌握基本函數(shù) (2)加強(qiáng)逆向思維、數(shù)形統(tǒng)一 正反結(jié)合解決基本應(yīng)用題目 (3)運(yùn)用奇偶性和單調(diào)性去解決有關(guān)函數(shù)的綜合性題目 此類題目要求考生必須具有駕馭知識的能力，并具有綜合分析問題和解決問題的能力 (4)應(yīng)用問題 在利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解決實(shí)際問題的過程中，往往還要用到等價轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想方法，把問題中較復(fù)雜、抽象的式子轉(zhuǎn)化為基本的簡單的式子去解決 特別是 往往利用函數(shù)的單調(diào)性求實(shí)際應(yīng)用題中的最值問題 典型題例示范講解 例1已知函數(shù)f(x)在(1，1)上有定義，f()=1,當(dāng)且僅當(dāng)0x1時f(x)0,且對任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),試證明 (1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(1，1)上單調(diào)遞減 命題意圖 本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判定以及運(yùn)算能力和邏輯推理能力 知識依托 奇偶性及單調(diào)性定義及判定、賦值法及轉(zhuǎn)化思想 錯解分析 本題對思維能力要求較高，如果“賦值”不夠準(zhǔn)確，運(yùn)算技能不過關(guān)，結(jié)果很難獲得 技巧與方法 對于(1)，獲得f(0)的值進(jìn)而取x=y是解題關(guān)鍵；對于(2)，判定的范圍是焦點(diǎn) 證明 (1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0 f(x)=f(x) f(x)為奇函數(shù) (2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減 令0x1x21,則f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()0x1x20,1x1x20，0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)0x2x11x2x1,01,由題意知f()0，即f(x2)f(x1) f(x)在(0，1)上為減函數(shù)，又f(x)為奇函數(shù)且f(0)=0 f(x)在(1，1)上為減函數(shù) 例2設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，并在區(qū)間(,0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(2a2+a+1)f(3a22a+1) 求a的取值范圍，并在該范圍內(nèi)求函數(shù)y=()的單調(diào)遞減區(qū)間 命題意圖 本題主要考查函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的基本應(yīng)用以及對復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法 知識依托 逆向認(rèn)識奇偶性、單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的值域問題 錯解分析 逆向思維受阻、條件認(rèn)識不清晰、復(fù)合函數(shù)判定程序紊亂 技巧與方法 本題屬于知識組合題類，關(guān)鍵在于讀題過程中對條件的思考與認(rèn)識，通過本題會解組合題類，掌握審題的一般技巧與方法 解 設(shè)0x1x2,則x2x10，f(x)在區(qū)間(,0)內(nèi)單調(diào)遞增，f(x2)f(x1),f(x)為偶函數(shù)，f(x2)=f(x2),f(x1)=f(x1),f(x2)f(x1) f(x)在(0，+)內(nèi)單調(diào)遞減 由f(2a2+a+1)3a22a+1 解之，得0a3 又a23a+1=(a)2 函數(shù)y=()的單調(diào)減區(qū)間是，+結(jié)合0a0,f(x)=是R上的偶函數(shù)，(1)求a的值；(2)證明 f(x)在(0，+)上是增函數(shù) (1)解 依題意，對一切xR,有f(x)=f(x),即+aex 整理，得(a)(ex)=0 因此，有a=0,即a2=1,又a0,a=1 (2)證法一（定義法） 設(shè)0x1x2,則f(x1)f(x2)=由x10,x20,x2x1,0,1e0,f(x1)f(x2)0,即f(x1)f(x2)f(x)在(0,+)上是增函數(shù) 證法二（導(dǎo)數(shù)法） 由f(x)=ex+ex，得f(x)=exex=ex(e2x1) 當(dāng)x(0,+)時，ex0,e2x10 此時f(x)0,所以f(x)在0，+)上是增函數(shù) 9,題目 高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專題講座指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)問題高考要求 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生掌握兩種函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)并會用它們?nèi)ソ鉀Q某些簡單的實(shí)際問題 重難點(diǎn)歸納 (1)運(yùn)用兩種函數(shù)的圖象和性質(zhì)去解決基本問題 此類題目要求考生熟練掌握函數(shù)的圖象和性質(zhì)并能靈活應(yīng)用 (2)綜合性題目 此類題目要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和邏輯思維能力 (3)應(yīng)用題目 此類題目要求考生具有較強(qiáng)的建模能力 典型題例示范講解 例1已知過原點(diǎn)O的一條直線與函數(shù)y=log8x的圖象交于A、B兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)A、B作y軸的平行線與函數(shù)y=log2x的圖象交于C、D兩點(diǎn) (1)證明 點(diǎn)C、D和原點(diǎn)O在同一條直線上；(2)當(dāng)BC平行于x軸時，求點(diǎn)A的坐標(biāo) 命題意圖 本題主要考查對數(shù)函數(shù)圖象、對數(shù)換底公式、對數(shù)方程、指數(shù)方程等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生的分析能力和運(yùn)算能力 知識依托 (1)證明三點(diǎn)共線的方法 kOC=kOD (2)第(2)問的解答中蘊(yùn)涵著方程思想，只要得到方程(1)，即可求得A點(diǎn)坐標(biāo) 錯解分析 不易考慮運(yùn)用方程思想去解決實(shí)際問題 技巧與方法 本題第一問運(yùn)用斜率相等去證明三點(diǎn)共線；第二問運(yùn)用方程思想去求得點(diǎn)A的坐標(biāo) (1)證明 設(shè)點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)分別為x1、x2,由題意知 x11,x21,則A、B縱坐標(biāo)分別為log8x1,log8x2 因?yàn)锳、B在過點(diǎn)O的直線上，所以,點(diǎn)C、D坐標(biāo)分別為(x1,log2x1),(x2,log2x2),由于log2x1=3log8x2,所以O(shè)C的斜率 k1=,OD的斜率 k2=，由此可知 k1=k2,即O、C、D在同一條直線上 (2)解 由BC平行于x軸知 log2x1=log8x2 即 log2x1=log2x2,代入x2log8x1=x1log8x2得x13log8x1=3x1log8x1,由于x11知log8x10,x13=3x1 又x11,x1=,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，log8) 例2在xOy平面上有一點(diǎn)列P1(a1,b1),P2(a2,b2),Pn(an,bn),對每個自然數(shù)n點(diǎn)Pn位于函數(shù)y=2000()x(0a1)的圖象上，且點(diǎn)Pn,點(diǎn)(n,0)與點(diǎn)(n+1,0)構(gòu)成一個以Pn為頂點(diǎn)的等腰三角形 (1)求點(diǎn)Pn的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式；(2)若對于每個自然數(shù)n,以bn,bn+1,bn+2為邊長能構(gòu)成一個三角形，求a的取值范圍；(3)設(shè)Cn=lg(bn)(nN*),若a取(2)中確定的范圍內(nèi)的最小整數(shù)，問數(shù)列Cn前多少項(xiàng)的和最大？試說明理由 命題意圖 本題把平面點(diǎn)列，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)、最值等知識點(diǎn)揉合在一起，構(gòu)成一個思維難度較大的綜合題目，本題主要考查考生對綜合知識分析和運(yùn)用的能力 知識依托 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)及數(shù)列、最值等知識 錯解分析 考生對綜合知識不易駕馭，思維難度較大，找不到解題的突破口 技巧與方法 本題屬于知識綜合題，關(guān)鍵在于讀題過程中對條件的思考與認(rèn)識，并會運(yùn)用相關(guān)的知識點(diǎn)去解決問題 解 (1)由題意知 an=n+,bn=2000() (2)函數(shù)y=2000()x(0abn+1bn+2 則以bn,bn+1,bn+2為邊長能構(gòu)成一個三角形的充要條件是bn+2+bn+1bn,即()2+()10,解得a5(1) 5(1)a10 (3)5(1)a10,a=7bn=2000() 數(shù)列bn是一個遞減的正數(shù)數(shù)列，對每個自然數(shù)n2,Bn=bnBn1 于是當(dāng)bn1時，BnBn1,當(dāng)bn1時，BnBn1,因此數(shù)列Bn的最大項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)n滿足不等式bn1且bn+1;(3)若F(x)的反函數(shù)F1(x