2測量誤差與數(shù)據處理.doc

課程檢測技術專業(yè)自動化章第二章 測量誤差與數(shù)據處理年級三年級下節(jié)計劃學時教材開課時間測量的目的是獲取被測量的真實量值，但由于受到種種因素的影響，測量結果總是與被測量的真實量值不一致，即任何測量都不可避免地存在著測量誤差。為了減小和消除測量誤差對測量結果的影響，需要研究和了解測量誤差及測量不確定度。本章包括三個部分的內容。第一部分是測量誤差，包括測量誤差的基本概念、各類測量誤差的處理方法、誤差的傳遞、誤差的合成與分配等；第二部分是測量不確定度，包括測量不確定度的概念和表示方法、測量不確定度的評定等；第三部分是數(shù)據處理。2.1 測量誤差的基本概念2.1.1 測量誤差存在的必然性和普遍性在測量過程中，由于實驗原理和實驗方法的不完善，所采用的測量裝置性能指標的局限，在環(huán)境中存在著各種干擾因素，以及操作人員技術水平的限制，必然使測量值與被測量的真實量值之間存在著差異。測量結果與被測量的真實量值之間的差異，稱為測量誤差，簡稱誤差。誤差公理認為：在測量過程中各種各樣的測量誤差的產生是不可避免的，測量誤差自始至終存在于測量過程中，一切測量結果都存在誤差。因此，誤差的存在具有必然性和普遍性。隨著科學技術的發(fā)展和我們認識水平的不斷提高，可以將測量誤差控制得越來越小，但是測量誤差的存在仍是不可避免的。2.1.2 有關量值的幾個基本概念1真值真值是指在一定的時間和空間條件下，能夠準確反映某一被測量真實狀態(tài)和屬性的量值，也就是某一被測量客觀存在的、實際具有的量值。2理論真值和約定真值真值有理論真值和約定真值兩種。理論真值是在理想情況下表征某一被測量真實狀態(tài)和屬性的量值。理論真值是客觀存在的，或者是根據一定的理論所定義的。例如，三角形三內角之和為180。由于測量誤差的普遍存在，一般情況下被測量的理論真值是不可能通過測量得到的，但卻是實際存在的。由于被測量的理論真值不能通過測量得到，為解決測量中的真值問題，只能用約定的辦法來確定真值。約定真值就是指人們?yōu)榱诉_到某種目的，按照約定的辦法所確定的量值。約定真值是人們定義的，得到國際上公認的某個物理量的標準量值。例如：光速被約定為3108ms；以高精度等級儀器的測量值約定為低精度等級儀器測量值的約定真值。3實際值在滿足實際需要的前提下，相對于實際測量所考慮的精確程度，其測量誤差可以忽略的測量結果，稱為實際值。實際值在滿足規(guī)定的精確程度時用以代替被測量的真值。例如在標定測量裝置時，把高精度等級的標準器所測得的量值作為實際值。4測量值和指示值通過測量所得到的量值稱為測量值。測量值一般是被測量真值的近似值。由測量裝置的顯示部件直接給出來的測量值，稱為指示值，簡稱示值。5標稱值測量裝置的顯示部件上標注的量值稱為標稱值。因受制造、測量條件或環(huán)境變化的影響，標稱值并不一定等于被測量的實際值，通常在給出標稱值的同時，也給出它的誤差范圍或精度等級。2.1.3 測量誤差的定義測量誤差，簡稱誤差，它的定義為被測量的測量值與真值之差，即 誤差測量值真值2.1.4 誤差的表示方法誤差常用的表示方法有三種：絕對誤差、相對誤差和引用誤差。1絕對誤差絕對誤差的定義為被測量的測量值x與真值L之差，即 （2-1）絕對誤差具有與被測量相同的單位。其值可為正，亦可為負。由于被測量的真值L往往無法得到，因此常用實際值A來代替真值，因此有 （2-2）在用于校準儀表和對測量結果進行修正時，常常使用的是修正值。修正值用來對測量值進行修正。修正值C定義為 （2-3）修正值的值為絕對誤差的負值。測量值加上修正值等于實際值，即xCA。通過修正使測量結果得到更準確的數(shù)值。采用絕對誤差來表示測量誤差往往不能很確切地表明測量質量的好壞。例如，溫度測量的絕對誤差=1，如果用于人的體溫測量，這是不允許的；但如果用于煉鋼爐的鋼水溫度測量，就是非常理想的情況了。2相對誤差相對誤差的定義為絕對誤差與真值L的比值，用百分數(shù)來表示，即 （2-4）由于實際測量中真值無法得到，因此可用實際值A或測得值x代替真值L來計算相對誤差。用實際值A代替真值L來計算的相對誤差稱為實際相對誤差，用A來表示，即 （2-5）用測得值x代替真值L來計算的相對誤差稱為示值相對誤差，用x來表示，即 （2-6）在實際應用中，因測得值與實際值相差很小，即Ax，故Ax，一般A與x不加以區(qū)別。采用相對誤差來表示測量誤差能夠較確切地表明測量的精確程度。3引用誤差絕對誤差和相對誤差僅能表明某個測量點的誤差。實際的測量裝置往往可以在一個測量范圍內使用，為了表明測量裝置的精確程度而引入了引用誤差。引用誤差定義為絕對誤差與測量裝置的量程B的比值，用百分數(shù)來表示，即 （2-7）測量裝置的量程B是指測量裝置測量范圍上限xmax與測量范圍下限xmin之差，即 引用誤差實際上是采用相對誤差形式來表示測量裝置所具有的測量精確程度。測量裝置在測量范圍內的最大引用誤差，稱為引用誤差限m，它等于測量裝置測量范圍內最大的絕對誤差max與量程B之比的絕對值，即 （2-8）測量裝置應保證在規(guī)定的使用條件下其引用誤差限不超過某個規(guī)定值，這個規(guī)定值稱為儀表的允許誤差。允許誤差能夠很好地表征測量裝置的測量精確程度，它是測量裝置最主要的質量指標之一。2.1.5 測量誤差的來源測量誤差的來源很多。根據測量誤差的來源，測量誤差歸納起來有如下幾個方面：1測量環(huán)境誤差任何測量都有一定環(huán)境條件，如溫度、濕度、大氣壓、機械振動、電源波動、電磁干擾等等。測量時，由于實際的環(huán)境條件與所使用的測量裝置要求的環(huán)境條件不一致，就會產生測量誤差，這種測量誤差就是測量環(huán)境誤差。2測量裝置誤差對測量中所使用的測量裝置的性能指標有一定的要求。由于實際測量所使用的測量裝置的性能指標達不到要求，或安裝、調整、接線不符合要求，或使用不當，或因內部噪聲、元器件老化等使測量裝置的性能劣化等等，都會引起測量誤差，這種測量誤差就是測量裝置誤差。3測量方法誤差由于測量方法的不合理或不完善，測量所依據的理論不嚴密等等，也會產生測量誤差，這種測量誤差就是測量方法誤差。例如，用電壓表測量電壓時，由于沒有正確地估計電壓表的內阻而引起的誤差；用近似公式、經驗公式或簡化的電路模型作為測量依據而引起的誤差；通過測量圓的半徑來計算其周長，因所用圓周率為近似值而引起的誤差，都是測量方法誤差。4測量人員誤差由于測量操作人員的操作經驗、知識水平、素質條件的差異，操作人員的責任感不強、操作不規(guī)范和疏忽大意等等原因，也會產生測量誤差，這種測量誤差就是測量人員誤差。2.1.6 測量誤差的類型很多原因可以產生測量誤差，根據研究目的的不同，通常將測量誤差可按不同的角度進行分類。1系統(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差根據測量誤差的性質和表現(xiàn)形式，可將誤差分為系統(tǒng)誤差、隨機誤差和粗大誤差。（1）系統(tǒng)誤差 在相同的條件下，對同一被測量進行多次重復測量時，所出現(xiàn)的數(shù)值大小和符號都保持不變的誤差，或者在條件改變時，按某一確定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差的主要特性是規(guī)律性。（2）隨機誤差 在相同的條件下，對同一被測量進行多次重復測量時，所出現(xiàn)的數(shù)值大小和符號都以不可預知的方式變化的誤差，稱為隨機誤差。隨機誤差的主要特性是隨機性。（3）粗大誤差 明顯地偏離被測量真值的測量值所對應的誤差，稱為粗大誤差。在實際測量中，系統(tǒng)誤差和隨機誤差之間不存在明顯的界限，兩者在一定條件下可以相互轉化。對某項具體誤差，在一定條件下為隨機誤差，而在另一條件下可為系統(tǒng)誤差，反之亦然。2基本誤差和附加誤差任何測量裝置都有一個正常的使用環(huán)境要求，這就是測量裝置的規(guī)定使用條件。根據測量裝置實際工作的條件，可將測量所產生的誤差分為基本誤差和附加誤差。（1）基本誤差 測量裝置在規(guī)定使用條件下工作時所產生的誤差，稱為基本誤差。（2）附加誤差 在實際工作中，由于外界條件變動，使測量裝置不在規(guī)定使用條件下工作，這將產生額外的誤差，這個額外的誤差稱為附加誤差。3靜態(tài)誤差和動態(tài)誤差根據被測量隨時間變化的速度，可將誤差分為靜態(tài)誤差和動態(tài)誤差。（1）靜態(tài)誤差 在測量過程中，被測量穩(wěn)定不變，所產生的誤差稱為靜態(tài)誤差。（2）動態(tài)誤差 在測量過程中，被測量隨時間發(fā)生變化，所產生的誤差稱為動態(tài)誤差。在實際的測量過程中，被測量往往是在不斷地變化的。當被測量隨時間的變化很緩慢時，這時所產生的誤差也可認為是靜態(tài)誤差。2.1.7 測量的精度為了定性地描述測量結果與真值的接近程度和各個測量值分布的密集程度，引入了測量的精度。測量的精度包含了準確度、精密度和精確度這三個概念。1測量的準確度測量的準確度表征了測量值和被測量真值的接近程度。準確度越高則表征測量值越接近真值。準確度反映了測量結果中系統(tǒng)誤差的大小程度，準確度越高，則表示系統(tǒng)誤差越小。2測量的精密度測量的精密度表征了多次重復對同一被測量進行測量時，各個測量值分布的密集程度。精密度越高則表征各測量值彼此越接近，即越密集。精密度反映了測量結果中隨機誤差的大小程度，精密度越高，則表示隨機誤差越小。3測量的精確度測量的精確度是準確度和精密度的綜合，精確度高則表征了準確度和精密度都高。精確度反映了系統(tǒng)誤差和隨機誤差對測量結果的綜合影響，精確度高，則反映了測量結果中系統(tǒng)誤差和隨機誤差都小。對于具體的測量，精密度高的準確度不一定高；準確度高的，精密度也不一定高；但是精確度高的，精密度和準確度都高。圖2-1下面以圖2-1所示的射擊打靶的結果作為例子來加深對準確度、精密度和精確度的理解。在圖2-1中每個點代表彈著點，相當于測量值；圓心位置代表靶心，相當于被測量真值。圖（a）的彈著點分散，但比較接近靶心，相當于測量值分散性大，但比較接近被測量真值，表明隨機誤差大，精密度低；系統(tǒng)誤差小，準確度高。圖（b）的彈著點密集，但偏離靶心較大，相當于測量值密集，但偏離被測量真值較大，表明隨機誤差小，測量精密度高；系統(tǒng)誤差大，準確度低。圖（c）的彈著點密集且比較接近靶心，相當于測量值密集且比較接近被測量真值，表明系統(tǒng)誤差和隨機誤差都小，精確度高。在應用準確度、精密度和精確度時，應注意：它們都是定性的概念，不能用數(shù)值作定量表示。2.2 隨機誤差的處理2.2.1 隨機誤差的產生和處理原則隨機誤差是在測量過程中，因存在許多獨立的、微小的隨機影響因素對測量造成干擾而引起的綜合結果。這些微小的隨機影響因素既有測量裝置方面的因素，也有環(huán)境方面的因素和人員方面的因素。由于人們對這些微小的隨機影響因素很難把握，一般也無法進行控制，因而對隨機誤差不能用簡單的修正值來校正，也不能用實驗的方法來消除。單個隨機誤差的出現(xiàn)具有隨機性，即它的大小和符號都不可預知，但是，當重復測量次數(shù)足夠多時，隨機誤差的出現(xiàn)遵循統(tǒng)計規(guī)律。由此可見，隨機誤差是隨機變量，測量值也是隨機變量，因此可借助概率論和數(shù)理統(tǒng)計的原理對隨機誤差進行處理，做出恰當?shù)脑u價，并設法減小隨機誤差對測量結果的影響。2.2.2 隨機誤差的統(tǒng)計特征和正態(tài)分布1隨機誤差的統(tǒng)計特征對同一個被測量進行多次等精度的重復測量時，可得到一系列不同的測量值，通常把進行多次測量得到的一組數(shù)據稱為測量列。若測量列不包含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，則該測量列及其隨機誤差具有一定的統(tǒng)計特征。下面先看一個測量的實例。等精度測量某工件直徑n150次，測量值范圍在6.316.41mm。將測量值范圍分成11個等間隔區(qū)間。若被測量的真值為L6.36mm，誤差值ixiL。區(qū)間間隔x0.0 1mm。測量值落在（xix2）范圍內，或誤差值出現(xiàn)在（i2）范圍內的次數(shù)為ni。將測量結果統(tǒng)計并列成表2-1。表2-1 測量實例的數(shù)據表區(qū)間號i測 量 值xi誤 差 值i出現(xiàn)次數(shù)ni頻 率fi頻率密度pi16.310.0510.0070.726.320.0430.0202.036.330.0380.0585.846.340.02180.12012.056.350.01280.18718.766.360340.22722.776.370.01290.19319.386.380.02170.11311.396.390.0390.0606.0106.400.0420.0131.3116.410.0510.0070.7誤差在（i2）范圍內出現(xiàn)的次數(shù)ni與總次數(shù)n的比值finin稱為頻率。今在以頻率（fi）為縱坐標，以誤差（）為橫坐標的直角坐標圖上，以區(qū)間間隔為寬度，各頻率fi值為高度畫出長方形，得到如圖2-2所示的頻率直方圖。圖2-2對于同一組測量數(shù)據，取不同的區(qū)間間隔值，所得的頻率值fi是不同的，間隔值越大，頻率值fi也越大，因而所得的頻率直方圖也不相同。為避免間隔值的影響，常取pini（n）作為縱坐標，pi稱為頻率密度。以為橫坐標，頻率密度pi為縱坐標所得的圖仍稱為頻率直方圖，其圖形與圖2-2類似。當測量次數(shù)n時，且令d， nidn（d，dn均為無窮小量），則折線趨于平滑曲線，頻率密度也就趨于概率密度。根據概率論，隨機誤差的概率密度函數(shù)定義為 （2-9）式中 n測量總次數(shù)； ni誤差在（i2）范圍內出現(xiàn)的次數(shù)。圖2-3概率密度函數(shù)f（）對應的曲線稱為概率密度分布曲線，如圖2-3所示。圖中 就是曲線下面的右陰影部分的面積，稱之為概率元。概率元實質上就是隨機誤差出現(xiàn)在區(qū)間（，d）的概率，可表示為 （2-10）隨機誤差出現(xiàn)在區(qū)間（,）的概率，即曲線下面的左陰影部分的面積，可表示為 （2-11）F（）稱之為隨機誤差的分布函數(shù)。隨機誤差的概率密度函數(shù)f（）與其分布函數(shù)F（）互為微積分關系，即 （2-12）若測量列不包含系統(tǒng)誤差和粗大誤差，則該測量列中的隨機誤差具有以下四個統(tǒng)計特征： 對稱性：隨機誤差可正可負，絕對值相等的正、負誤差出現(xiàn)的概率相等，其概率密度分布曲線以縱軸為對稱； 單峰性：絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的概率要大，誤差值越小出現(xiàn)的概率越大，其概率密度分布曲線在0處有一峰值； 有界性：當誤差，則誤差出現(xiàn)的概率趨于零?？梢娫谝欢ǖ臏y量條件下，誤差的絕對值一般不會超過一定的界限； 抵償性：正誤差和負誤差可相互抵消，隨著測量次數(shù)n，隨機誤差的代數(shù)和趨于零，即 （2-13）應該指出，隨機誤差的上述統(tǒng)計特征是在造成隨機誤差的隨機影響因素很多，且測量次數(shù)足夠多的情況下歸納出來的，但并不是所有的隨機誤差都具有上述特征。當造成隨機誤差的隨機影響因素不多，或某種隨機影響因素的影響特別顯著時，隨機誤差可能不呈現(xiàn)上述特征。2隨機誤差的正態(tài)分布由以上四個統(tǒng)計特征出發(fā)，可導出隨機誤差的概率密度函數(shù)為 （2-14）圖2-4式中，稱為標準差，它的意義在后面再作詳細闡述。概率密度函數(shù)f（）為式（2-14）的隨機變量所服從的分布稱為正態(tài)分布。絕大多數(shù)隨機誤差服從正態(tài)分布。按正態(tài)分布概率密度函數(shù)所得的曲線稱為正態(tài)分布曲線。隨機誤差的正態(tài)分布曲線如圖2-4所示。正態(tài)分布隨機誤差的分布函數(shù)為： （2-15）服從正態(tài)分布的測量值x，其概率密度函數(shù)為 （2-16）測量值的正態(tài)分布曲線如圖2-5所示，它具有以下特點：曲線關于xL對稱；圖2-5是單峰曲線，在xL處有最大值；曲線以橫軸為漸進線，x離L越遠，f（x）的值就越小，當x時將趨近于橫軸；L決定了曲線的中心位置。若固定的值而改變L的值，則圖形沿著橫軸水平移動，而不會改變圖形的形狀，如圖2-6所示。圖2-6在誤差理論中，正態(tài)分布占有重要的地位。實踐表明，在絕大多數(shù)情況下，測量值及隨機誤差是服從正態(tài)分布的。當然，并不是所有的測量值和隨機誤差都是服從正態(tài)分布的，也有一些誤差服從均勻分布、泊松分布等非正態(tài)分布。概率論中的中心極限定理指出：對于服從任何分布的獨立的隨機變量，當其數(shù)量足夠多時，這些隨機變量的總和近似地服從正態(tài)分布，隨機變量的數(shù)量越多則越近似。也就是說，相互獨立的隨機變量，其總和的分布是以正態(tài)分布為其極限分布。根據中心極限定理，盡管某些隨機影響因素造成的隨機誤差不服從正態(tài)分布，但只要這些造成隨機誤差的影響因素足夠多，而個別因素造成的影響在總的影響中所起的作用又很小，則由這些影響因素產生的隨機誤差就應該是服從或近似服從正態(tài)分布的?；谝陨显?，正態(tài)分布是研究和分析隨機誤差的基礎。在滿足一定要求的前提下，把隨機誤差看成是服從正態(tài)分布的，具有普遍性和實用性。2.2.3 測量值和隨機誤差的數(shù)字特征測量值和隨機誤差都是隨機變量，有關隨機變量的一些概念和處理方法可直接用于對測量值和隨機誤差的分析和處理。1測量值和隨機誤差的數(shù)學期望與算術平均值（1）測量值和隨機誤差的數(shù)學期望根據概率論與數(shù)理統(tǒng)計，連續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望定義為： （2-17）它是隨機變量的一階原點矩，表征了隨機變量的中心位置。數(shù)學期望是隨機變量的一個數(shù)字特征值。設隨機誤差服從正態(tài)分布，將其概率密度函數(shù)表達式（2-14）代入式（2-17），可求得 （2-18）式（2-18）表明：服從正態(tài)分布的隨機誤差的數(shù)學期望等于零。這說明，服從正態(tài)分布的隨機誤差總體分布的中心為0，意味著隨機誤差圍繞著0出現(xiàn)，且在0處有最大的概率值。設測量值x服從正態(tài)分布，將其概率密度函數(shù)表達式（2-15）代入式（2-17），求得 （2-19）式（2-19）表明：服從正態(tài)分布的測量值x的數(shù)學期望等于被測量的真值L。這說明，服從正態(tài)分布的測量值x總體分布的中心為真值L，意味著測量值x圍繞著真值L取值，且在真值L處有最大的概率值。測量的目的是得到被測量的真值，而測量值的數(shù)學期望等于真值，我們只要求得測量值的數(shù)學期望，即可得到被測量的真值。我們對某個被測量進行等精度測量，只要測量裝置有足夠高的靈敏度和分辨力，則可進行無限多次測量，所有可能的測量值就構成一個無限總體，這個無限總體的數(shù)學期望即為被測量的真值。這就意味著，我們想要通過測量得到被測量的真值，就必須作無限次等精度測量，以得到測量值的無限總體，這在實際上是無法做到的。在實際測量中我們只能做有限次等精度測量，取得有限個測量值，也就是說，只能得到測量值的一個容量有限的樣本。由于測量值的無限總體無法得到，因此我們只能根據所得到的樣本對測量值的數(shù)學期望真值進行估計。（2）測量值的算術平均值n次等精度測量測量值的算術平均值定義為 （2-20）設被測量的真值為L，各測量值與真值的誤差為1、2、n，則有 （2-21）式（2-21）兩邊求和，得 （2-22）由式（2-22）可得 （2-23）由隨機誤差的抵償性，當測量次數(shù)n時，有 故有 （2-24）式（2-24）表明，當測量次數(shù)n時，測量值的算術平均值會收斂于被測量的真值。但在實際測量中，進行無限次測量是不可能的，只能進行有限次測量。當測量次數(shù)為有限次時，只要測量次數(shù)足夠多，測量值的算術平均值處于真值的附近，隨著測量次數(shù)的增加而趨于真值，因此我們可以認為測量值的算術平均值是最接近于真值的近似值。進一步分析還可證明，測量值的算術平均值的數(shù)學期望等于真值L，即。這意味著，當測量次數(shù)n時，全體測量值的算術平均值等于真值。而在有限次等精度測量中，可用有限次測量值的算術平均值作為被測量真值的最佳估計值。在實際的等精度測量中，由于隨機誤差的存在而無法得到被測量的真值，但我們可用測量值的算術平均值代替真值作為測量結果。（3）殘余誤差測量值與算術平均值的差稱為殘余誤差，簡稱殘差。用vi表示殘差，則有 （2-25）殘余誤差有兩個重要的性質：一組測量值的殘余誤差的代數(shù)和等于零，即 （2-26）一組測量值的殘余誤差的平方和為最小，即 （2-27）這個性質是最小二乘法的理論基礎。2測量列的方差、標準差和精密度參數(shù)（1）測量列的方差和標準差根據概率論，連續(xù)型隨機變量的方差定義為 （2-28）它是隨機變量的二階中心矩，表征了隨機變量相對于其數(shù)學期望E（）的分散程度。對于離散型隨機變量，其方差則可定義為 （2-29）由于方差的物理意義不夠明顯，在實際工作中，常采用標準差來表征隨機變量的分散程度。標準差定義為方差的正平方根值，即 （2-30）方差或標準差是隨機變量的又一個數(shù)字特征值。各次測量的測量值可視作離散型隨機變量。對一被測量進行無限多次等精度測量，各次測量的測量值組成無限測量列。根據式（2-29）和式（2-30），無限測量列中各測量值xi的真誤差（xiL）的平方和的算術平均值，再開方所得的數(shù)值，即為測量列的標準差。故可得測量列標準差的定義式 （2-31）標準差也稱為方均根偏差。圖2-7正態(tài)分布的測量值與相應的隨機誤差有同一形狀的正態(tài)分布曲線，只是坐標原點沿著橫坐標平移了L，因此測量值與相應的隨機誤差有同樣的標準差值。測量列的標準差表征了測量值和隨機誤差的分散程度，它決定了測量值和隨機誤差概率密度分布曲線的形狀。如圖2-7所示，標準差的數(shù)值愈小，概率密度分布曲線形狀愈陡峭，說明測量值和隨機誤差的分散性小，測量的精密度高；反之，的數(shù)值愈大，概率密度分布曲線形狀愈平坦，說明測量值和隨機誤差的分散性大，測量的精密度低。將正態(tài)分布隨機誤差的概率密度函數(shù)f（）的表達式（2-14）對求二階導數(shù)，并令二階導數(shù)，可得。由此可得標準差的幾何意義：標準差就是概率密度分布曲線拐點的橫坐標。標準差的值決定于測量條件，測量條件一旦確定后，的值也就唯一地確定了。在一定測量條件下所進行的等精度測量，其中任一次測量所得的測量值及相應的隨機誤差不可預知，但它們都有同一個標準差的值。在不同的測量條件下對同一被測量所進行的兩組等精度測量，其標準差的值往往是不相同的。應該指出，標準差不是誤差的一個具體值，而是表征測量值和隨機誤差分散性的一個特征參數(shù)。（2）測量列的精密度參數(shù)測量的精密度是一個定性的概念，它定性地反映了在一定測量條件下進行等精度測量所得測量值和隨機誤差的分散程度。為了能夠定量地評定測量值和隨機誤差的分散程度，引入測量列的精密度參數(shù)。能夠用來評定測量列精密度的參數(shù)有多個，目前最常用的測量列精密度參數(shù)是測量列標準差。對于服從正態(tài)分布的測量值和隨機誤差，測量列標準差一定，它們的正態(tài)分布曲線的形狀就完全被確定了，測量的精密度也就確定了。（3）測量列標準差的估計式（2-31）給出了測量列標準差的定義式，但要按式（2-31）來求出測量列標準差必須滿足兩個條件：一是測量次數(shù)n，即必須得到測量值的無限總體；二是要求得到各測量值的真誤差，也即必須得到被測量的真值。在實際測量中，這兩個條件往往是無法滿足的，我們只能進行有限次測量，也不可能得到被測量的真值，因此不能按式（2-31）來求出測量列的標準差。對于有限次等精度測量，由于被測量的真值L無法得到，也就得不到各測量值的真誤差i，但可用算術平均值來代替真值求得各測量值的殘余誤差vi，因而可利用殘余誤差vi來代替真誤差i對標準差做出估計。通過推導，可以得到如下的貝塞爾公式： （2-32）貝塞爾公式用算術平均值代替真值，用殘余誤差vi代替真誤差i?？紤]到測量次數(shù)n為有限次，是根據所得到的測量值樣本來對無限總體的標準差做出估計，因而所求得的是標準差的估計值。也可記作s。3測量列算術平均值的標準差（1）測量列算術平均值的精密度參數(shù)有限次等精度測量以測量列算術平均值作為真值的最佳估計值，也就是以測量列算術平均值作為測量結果。我們對某一個量作n次重復測量，可以得到一個測量列，求出一個算術平均值。如果我們重復上述過程m次，就可以得到m個測量列，求出m個算術平均值。由于隨機誤差的存在，這m個算術平均值都不可能完全相同。它們圍繞著被測量的真值有一定的分散性，因此有必要考慮算術平均值的精密度。測量列算術平均值可視為隨機變量，因而可用測量列算術平均值的標準差作為測量列算術平均值的精密度參數(shù)。（2）測量列算術平均值標準差的估計可以證明，測量列算術平均值標準差為測量列標準差的，即 （2-33）在實際測量中往往只能得到的估計值s，因此只能用s代替來計算，因而只能得到的估計值，即 （2-34）（3）等精度測量的測量次數(shù)由上式可知，隨著測量次數(shù)的增多，算術平均值的標準差減小，亦即作為測量結果的算術平均值的精密度提高。因此，在等精度測量中，為了提高測量結果的精密度，應進行多次重復測量。圖2-8由于算術平均值的標準差與測量次數(shù)n的平方根成反比，因此隨著n增大而減小的速度越來越小，如圖2-8所示。當n10后，n再增加時，的減小效果已不明顯。同時，當測量次數(shù)過多時也不能保證測量條件不改變；另外，測量次數(shù)增加以后，計算量和時間也增加了。鑒于以上原因，一般等精度測量的測量次數(shù)取n10即可。例2-1 對某工件的尺寸進行了10次等精度測量，測得值為：10.0040，10.0057，10.0045，10.0065，10.0051，10.0053，10.0055，10.0050，10.0062，10.0054mm。試計算測量列的算術平均值、標準差和算術平均值標準差。解：為計算方便，免出差錯，可采用表格形式運算，見表2-2。表2-2 例2-1數(shù)據運算表ixiviviVi2110.00400.001320.001320.0000017424210.00570.000380.000380.0000001444310.00450.000820.000820.0000006724410.00650.001180.001180.0000013924510.00510.000220.000220.0000000484610.00530.000020.000020.0000000004710.00550.000180.000180.0000000324810.00500.000320.000320.0000001024910.00620.000880.000880.00000077441010.00540.000080.000080.0000000064計算測量列的算術平均值 計算各測量值的殘余誤差。將測量列算術平均值和殘余誤差的計算結果填入表2-2中。計算各測量值殘余誤差的平方值及平方和，并將計算結果填入表2-2中。應用貝塞爾公式估算測量列的標準差 估算例2-1的測量列算術平均值標準差 2.2.4 隨機誤差的概率計算1隨機誤差的概率積分若隨機誤差的概率密度函數(shù)為f（），則隨機誤差出現(xiàn)在區(qū)間a，b的概率為 （2-35）在實際應用中，通?？紤]隨機誤差出現(xiàn)在對稱區(qū)間a，a的概率，則有 （2-36）若隨機誤差服從正態(tài)分布，將正態(tài)分布的概率密度函數(shù)代入上式，并考慮到概率密度函數(shù)具有對稱性，有 （2-37）上式稱為正態(tài)分布隨機誤差的概率積分。令at，有 （2-38）令，作變量置換，有 （2-39）式中 為拉普拉斯函數(shù)；，稱為誤差函數(shù)。因為（t）的被積函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)，所以無法用牛頓-萊布尼茲公式來計算這個積分。但是，當積分的上限（即t）給定了以后，我們可以用矩形法、梯形法或拋物線法等數(shù)值積分方法近似計算這個積分的值。為方便計算，將拉普拉斯函數(shù)的數(shù)值列成表格，稱拉普拉斯函數(shù)表，如表2-3所示。應用拉普拉斯函數(shù)表，可大大簡化隨機誤差概率積分的計算。2隨機誤差的置信度對于服從正態(tài)分布的隨機誤差，當概率密度函數(shù)確定后，其概率密度分布曲線也就確定了。若給定一個概率值p（0p1），則能確定一個對稱的誤差區(qū)間a，a，滿足Paap。誤差區(qū)問a，a稱為置信區(qū)間，所對應的概率值p稱為置信概率。置信區(qū)間表征隨機誤差的變化范圍，置信概率表征隨機誤差出現(xiàn)的可能程度。置信區(qū)間越寬，相應的置信概率就越大。置信區(qū)間和置信概率共同表明了隨機誤差的可信賴程度。把置信區(qū)間和置信概率兩者結合起來，統(tǒng)稱為置信度。a為置信區(qū)間的界限值，稱為置信限。往往將置信限a表示為標準差的倍數(shù)，即at，t稱為置信因子。令1p，稱為顯著水平或顯著度，它表示隨機誤差在置信區(qū)間以外出現(xiàn)的概率。當t1，置信區(qū)間為，相應的置信概率p2（1）20.34130.6826，置信水平1p0.317413，這意味著大約每3次測量中有一次測得值的誤差落在置信區(qū)間，之外。當t2，置信區(qū)間為2，2，相應的置信概率p2（2）20.47720.9544，置信水平1p0.0456122，這意味著大約每22次測量中有一次測得值的誤差落在置信區(qū)間2，2之外。圖2-9當t3，置信區(qū)間為3，3，相應的置信概率p2（3）20.49865=0.9973，置信水平1p0.00271370，這意味著大約每370次測量中有一次測得值的誤差落在置信區(qū)間3，3之外。置信區(qū)間與相應的置信概率的關系，如圖2-9所示。常用在一定置信概率下的置信區(qū)間的大小來表示測量列的精密程度，置信區(qū)間愈小，則測量列的精密程度就愈高。表2-3 拉普拉斯函數(shù)表t（t）t（t）t（t）t（t）0.000.00000.750.27341.500.43322.500.49380.050.01990.800.28811.550.43942.600.49530.100.03980.850.30231.600.44522.700.49650.150.05960.900.31591.650.45052.800.49740.200.07930.950.32891.700.45542.900.49810.250.09871.000.34131.750.45993.000.498650.300.11791.050.35311.800.46413.200.499310.350.13681.100.36431.850.46783.400.499660.400.15541.150.37401.900.47133.600.4998410.450.17361.200.38491.950.47443.800.4999280.500.19151.250.39442.000.47724.000.4999680.550.20881.300.40322.100.48214.500.4999970.600.22571.350.41152.200.48615.000.499999970.650.24221.400.41922.300.48930.700.25801.450.42652.400.49182.2.5 等精度測量的極限誤差和測量結果的表示1測量的極限誤差測量的極限誤差定義為在給定的置信概率條件下，誤差出現(xiàn)的極限范圍。測量的極限誤差是一個極端誤差值，當給定置信概率p，測量結果的誤差的絕對值超過該極端誤差的概率為（1p）。根據上面的計算，測量值的誤差的絕對值超過2的概率為0.0456，即在22次測量中有一次測量值的誤差的絕對值超過2；測量值的誤差的絕對值超過3的概率為0.0456，即在370次測量中有一次測量值的誤差的絕對值超過3。由于在一般測量中，測量次數(shù)極少是超過幾十次的，因此可以認為絕對值大于2或3的誤差是不可能出現(xiàn)的，通常取定置信概率p0.9544或p0.9973，即取定置信因子t2或t3來確定極限誤差。2單次測量的極限誤差和測量結果的表示對于大多數(shù)工程測量，由于對測量沒有要求給出誤差的確切值，往往所采用的測量裝置的精確度較低，很難反映出測量誤差的變化，因此一般只進行單次測量。對于部分精密測量，根據實際需要對測量結果的精確度要求不是很高，且對一定的測量條件下的標準差已知，往往也只進行單次測量。對于單次測量，就用單次測量的測量值xm作為測量結果。單次測量的極限誤差用lim來表示，則。為測量結果的精密度參數(shù)，t為置信因子。若事先通過測定已知一定測量條件下的標準差，則即可作為單次測量結果的精密度參數(shù)。若事先未知標準差，則可根據單次測量的測量值來估計標準差，用標準差的估計值s作為單次測量結果的精密度參數(shù)。顯然，這時不能采用貝塞爾公式來進行估計，而是取s1.25作為標準差的估計值。在這里，xmA，實際值A可用足夠精確的方法通過測定來確定。置信因子t，可取定置信概率p，按正態(tài)分布來確定。通常取定p0.95，t1.960；p0.9545，t2；p0.99，t2.576；p0.9973，t3。單次測量的測量結果表示為： （p） （2-40）因在不同的置信概率p下有不同的極限誤差lim，因此一般應在測量結果后標注所取的置信概率p。例2-2 用百分表測量某工件的厚度。已知測量的標準偏差為0.0023mm。一次測量的測得值為xm2.352mm。試寫出測量結果。解：取定置信概率p0.9973，按正態(tài)分布可得置信因子t3，測量的極限誤差為 limt30.00230.00690.007則測量結果可表示為 xxmlim 2.3520.007mm （p0.9973）3多次重復測量的極限誤差和測量結果的表示多次重復測量以算術平均值作為測量結果。多次重復測量的極限誤差用來表示，則。為測量結果的精密度參數(shù)，t為置信因子。多次重復測量以算術平均值的標準差作為測量結果的精密度參數(shù)。即 （2-41）若事先通過測定已知一定測量條件下的標準差，則將已知的值代入上式進行計算；若事先未知標準差，則可根據多次測量的測得值估計標準差，用標準差的估計值s代入上式進行計算。 置信因子t可分兩種情況來確定：若標準差已知，則可取定置信概率p，按正態(tài)分布來確定置信因子t；若標準差未知，須根據多次測量的測得值來估計標準差，但不能按正態(tài)分布來確定置信因子t。下面對后一種情況做進一步的討論。在有限次測量中，算術平均值不再服從正態(tài)分布，而是服從自由度n1的t分布。t分布又稱學生分布，它是一種連續(xù)型隨機變量的概率分布。服從自由度為的t分布的隨機變量t，它的概率密度函數(shù)為 （2-42）式中，（m）為伽瑪函數(shù)，其表達式為 給定置信區(qū)間，隨機變量t落入該區(qū)間的概率p即為相應的置信概率。根據概率積分，置信概率 （2-43）為顯著性水平。p及的值與、有關。給定置信概率p或顯著性水平，根據自由度n1，可由式（2-42）和式（2-43）計算相應的值。為便于應用，將計算所得數(shù)值列成數(shù)值表，稱t分布表，見表2-4。表2-4 t分布表 0.050.01 0.050.01112.70663.657182.10092.878424.30279.9248192.09302.860933.18255.8409202.08602.845342.77644.6041212.0812.83452.57064.0321222.0742.82262.44693.7074232.0692.81072.36463.4995242.0642.79882.30603.3554252.0602.78792.26223.2498262.0562.780102.22813.1693272.0522.772112.20103.1058282.0482.764122.17883.0545292.0442.757132.16043.0123302.0402.750142.14482.9763402.0212.704152.13152.9467602.0032.660162.11992.92081201.9802.617172.10982.89821.9602.576在確定極限誤差時，置