高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第11講 函數(shù)與方程優(yōu)選課件.ppt

函數(shù) 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第二章 第11講函數(shù)與方程 欄目導(dǎo)航 1 函數(shù)的零點 1 函數(shù)零點的定義對于函數(shù)y f x 我們把使 成立的實數(shù)x叫做函數(shù)y f x 的零點 2 三個等價關(guān)系方程f x 0有實數(shù)根 函數(shù)y f x 的圖象與 有交點 函數(shù)y f x 有 f x 0 x軸 零點 3 函數(shù)零點的判定 零點存在性定理 如果函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線 并且有 那么函數(shù)y f x 在區(qū)間 內(nèi)有零點 即存在c a b 使得 這個 也就是f x 0的根 f a f b 0 a b f c 0 c 2 二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 的零點 兩個 一個 3 二分法 1 二分法的定義對于在區(qū)間 a b 上連續(xù)不斷且 的函數(shù)y f x 通過不斷地把函數(shù)f x 的零點所在的區(qū)間 使區(qū)間的兩個端點逐步逼近 進(jìn)而得到零點近似值的方法叫做二分法 f a f b 0 一分為二 零點 2 用二分法求函數(shù)f x 零點近似值的步驟第一步 確定區(qū)間 a b 驗證 給定精確度 第二步 求區(qū)間 a b 的中點x1 第三步 計算f x1 若 則x1就是函數(shù)的零點 若 則令b x1 此時零點x0 a x1 若 則令a x1 此時零點x0 x1 b 第四步 判斷是否達(dá)到精確度 即若 a b 則得到零點近似值a 或b 否則重復(fù)第二 第三 第四步 f a f b 0 f x1 0 f a f x1 0 f x1 f b 0 4 有關(guān)函數(shù)零點的結(jié)論 1 若連續(xù)不斷的函數(shù)f x 在定義域上是單調(diào)函數(shù) 則f x 至多有一個零點 2 連續(xù)不斷的函數(shù) 其相鄰兩個零點之間的所有函數(shù)值保持同號 3 連續(xù)不斷的函數(shù)圖象通過零點時 函數(shù)值可能變號 也可能不變號 1 思維辨析 在括號內(nèi)打 或 1 函數(shù)f x x2 1的零點是 1 0 和 1 0 2 函數(shù)y f x 在區(qū)間 a b 內(nèi)有零點 函數(shù)圖象連續(xù)不斷 則一定有f a f b 0 3 二次函數(shù)y ax2 bx c a 0 在b2 4ac 0時沒有零點 4 若函數(shù)f x 在 a b 上單調(diào)且f a f b 0 則函數(shù)f x 在 a b 上有且只有一個零點 解析 1 錯誤 函數(shù)f x x2 1的零點為 1和1 而并非其與x軸的交點 1 0 與 1 0 2 錯誤 函數(shù)f x x2 x在 1 2 上有兩個零點 但f 1 f 2 0 3 正確 當(dāng)b2 4ac 0時 二次函數(shù)圖象與x軸無交點 從而二次函數(shù)沒有零點 4 正確 由已知條件 數(shù)形結(jié)合得f x 與x軸在區(qū)間 a b 上有且僅有一個交點 故正確 c 3 函數(shù)f x 2x x3 2在區(qū)間 0 1 內(nèi)的零點個數(shù)是 a 0b 1c 2d 3解析函數(shù)f x 2x x3 2顯然是一個單調(diào)遞增且是連續(xù)的函數(shù) 同時f 0 f 1 1 1 1 0 由函數(shù)零點存在性定理可知 函數(shù)在 0 1 內(nèi)必存在唯一一個零點 故選b b 4 根據(jù)表格中的數(shù)據(jù) 可以判定方程ex x 2 0的一個根所在的區(qū)間為 c a 1 0 b 0 1 c 1 2 d 2 3 解析設(shè)函數(shù)f x ex x 2 從表中可以看出f 1 f 2 0 因此方程ex x 2 0的一個根所在的區(qū)間為 1 2 解析由f 2 f 3 0 可知x0 2 3 2 3 判斷函數(shù)零點所在區(qū)間的方法 1 當(dāng)能直接求出零點時 就直接求出進(jìn)行判斷 2 當(dāng)不能直接求出時 可根據(jù)零點存在性定理判斷 3 當(dāng)用零點存在性定理也無法判斷時可畫出圖象判斷 一函數(shù)零點所在區(qū)間的判斷 c a 二函數(shù)零點個數(shù)的判斷 函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法 1 解方程法 令f x 0 如果能求出解 則有幾個解就有幾個零點 2 零點存在性定理法 利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間 a b 上是連續(xù)不斷的曲線 且f a f b 0 還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì) 如單調(diào)性 奇偶性 周期性 對稱性 才能確定函數(shù)有多少個零點或零點值所具有的性質(zhì) 3 數(shù)形結(jié)合法 轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點個數(shù)問題 先畫出兩個函數(shù)的圖象 看其交點的個數(shù) 其中交點的橫坐標(biāo)有幾個不同的值 就有幾個不同的零點 例2 1 若定義在r上的偶函數(shù)f x 滿足f x 2 f x 且x 0 1 時 f x x 則方程f x log3 x 的零點個數(shù)是 a 2b 3c 4d 多于4 2 2018 江蘇鎮(zhèn)江月考 方程ex lnx 1 其中e為自然對數(shù)的底數(shù) 解的個數(shù)為 c 1 解析 1 由f x 2 f x 知函數(shù)f x 是周期為2的周期函數(shù) 且是偶函數(shù) 在同一坐標(biāo)系中畫出y log3 x 和y f x x 3 3 的圖象 如圖所示 由圖可知零點個數(shù)為4 三函數(shù)零點的應(yīng)用 函數(shù)零點應(yīng)用問題的常見類型及解題策略 1 已知函數(shù)零點求參數(shù) 根據(jù)函數(shù)零點或方程的根求解參數(shù)應(yīng)分三步 判斷函數(shù)的單調(diào)性 利用零點存在性定理 得到參數(shù)所滿足的不等式 解不等式 即得參數(shù)的取值范圍 2 已知函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù) 解答此類問題常利用數(shù)形結(jié)合法 3 借助函數(shù)零點比較大小 要比較f a 與f b 的大小 通常先比較f a f b 與0的大小 b a 解析因為f 1 ln2 20 所以f x 在 1 2 上必存在零點 故選b b 2 函數(shù)f x 2x log0 5x 1的零點個數(shù)為 a 1b 2c 3d 4 b a 4 若直線y 2a與函數(shù)y ax 1 a 0 且a 1 的圖象有兩個公共點 則實數(shù)a的取值范圍是 解析當(dāng)a 1時 作出函數(shù)y ax 1 的圖象如圖 1 此時y 2a 2 只有一個交點 不成立 當(dāng)0 a 1時 函數(shù)y ax 1 的圖象如圖 2 錯因分析 涉及方程根的有關(guān)問題時不能熟練應(yīng)用函數(shù)圖象來解決問題 易錯點不會借助圖象解決方程根的范圍或根的個數(shù)問題 解析令f x t 則方程為t2 bt c 0 設(shè)t1 t2為它的兩個根 則f x t1和f x t2共有5個不同實