有限單元法部分課后題答案.doc

1.1 有限單元法中“離散”的含義是什么？有限單元法是如何將具有無(wú)限自由度的連續(xù)介質(zhì)問(wèn)題轉(zhuǎn)變成有限自由度問(wèn)題的？位移有限元法的標(biāo)準(zhǔn)化程式是怎樣的？ （1）離散的含義即將結(jié)構(gòu)離散化，即用假想的線或面將連續(xù)體分割成數(shù)目有限的單元，并在其上設(shè)定有限個(gè)節(jié)點(diǎn)；用這些單元組成的單元集合體代替原來(lái)的連續(xù)體，而場(chǎng)函 數(shù)的節(jié)點(diǎn)值將成為問(wèn)題的基本未知量。（2）給每個(gè)單元選擇合適的位移函數(shù)或稱(chēng)位移模式來(lái)近似地表示單元內(nèi)位移分布規(guī)律，即通過(guò)插值以單元節(jié)點(diǎn)位移表示單元內(nèi)任意點(diǎn)的位移。因節(jié)點(diǎn)位移個(gè)數(shù)是有限的，故 無(wú)限自由度問(wèn)題被轉(zhuǎn)變成了有限自由度問(wèn)題。 （3）有限元法的標(biāo)準(zhǔn)化程式：結(jié)構(gòu)或區(qū)域離散，單元分析，整體分析，數(shù)值求解。 1.3 單元?jiǎng)偠染仃嚭驼w剛度矩陣各有哪些性質(zhì)？各自的物理意義是什么?兩者有何區(qū)別? 單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)：對(duì)稱(chēng)性、奇異性（單元?jiǎng)偠染仃嚨男辛惺綖榱悖?整體剛度矩陣的性質(zhì)：對(duì)稱(chēng)性、奇異性、稀疏性。 單元 Kij 物理意義 Kij 即單元節(jié)點(diǎn)位移向量中第 j 個(gè)自由度發(fā)生單位位移而其他位移分量為零時(shí)，在第 j 個(gè)自由度方向引起的節(jié)點(diǎn)力。 整體剛度矩陣 K 中每一列元素的物理意義是：要迫使結(jié)構(gòu)的某節(jié)點(diǎn)位移自由度發(fā)生單位位移，而其他節(jié)點(diǎn)位移都保持為零的變形狀態(tài)，在所有個(gè)節(jié)點(diǎn)上需要施加的節(jié)點(diǎn)荷載。2.2 什么叫應(yīng)變能？什么叫外力勢(shì)能？試敘述勢(shì)能變分原理和最小勢(shì)能原理，并回答下述問(wèn)題：勢(shì)能變分原理代表什么控制方程和邊界條件？其中附加了哪些條件？(1)在外力作用下，物體內(nèi)部將產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變，外力所做的功將以變形能的形式儲(chǔ)存起來(lái)，這種能量稱(chēng)為應(yīng)變能。 (2)外力勢(shì)能就是外力功的負(fù)值。 (3)勢(shì)能變分原理可敘述如下：在所有滿足邊界條件的協(xié)調(diào)位移中，那些滿足靜力平衡條件的位移使物體勢(shì)能泛函取駐值，即勢(shì)能的變分為零p= U+V=0 此即變分方程。對(duì)于線性彈性體，勢(shì)能取最小值，即2P=2U+2V0此時(shí)的勢(shì)能變分原理就是著名的最小勢(shì)能原理。 勢(shì)能變分原理代表平衡方程、本構(gòu)方程和應(yīng)力邊界條件，其中附加了幾何方程和位移邊界條件。 2.3 什么是強(qiáng)形式？什么是弱形式？?jī)烧哂泻螀^(qū)別？建立弱形式的關(guān)鍵步驟是什么？ 等效積分形式通過(guò)分部積分，稱(chēng)式 CT(v)D(u)d+ET(v)F(u)d為微分方程的弱形式，相對(duì)而言，定解問(wèn)題的微分方程稱(chēng)為強(qiáng)形式。 區(qū)別：弱形式得不到解析解。 建立弱形式的關(guān)鍵步驟：對(duì)場(chǎng)函數(shù)要求較低階的連續(xù)性。2.4 為了使計(jì)算結(jié)果能夠收斂于精確解，位移函數(shù)需要滿足哪些條件？為什么？ 只要位移函數(shù)滿足兩個(gè)基本要求，即完備性和協(xié)調(diào)性，計(jì)算結(jié)果便收斂于精確解。 2.6 為什么采用變分法求解通常只能得到近似解？變分法的應(yīng)用常遇到什么困難？Ritz 法收斂的條件是什么？ （1）在 Ritz 法中，N 決定了試探函數(shù)的基本形態(tài)，待定參數(shù)使得場(chǎng)函數(shù)具有一定的任意性。如果真實(shí)場(chǎng)函數(shù)包含在試探函數(shù)之內(nèi)，則變分法得到的解答是精確的；如果試 探函數(shù)取自完全的函數(shù)序列，則當(dāng)項(xiàng)數(shù)不斷增加時(shí)，近似解將趨近于精確解。然而，通常情況下試探函數(shù)不會(huì)將真實(shí)場(chǎng)函數(shù)完全包含在內(nèi)，實(shí)際計(jì)算時(shí)也不可能取無(wú)窮多項(xiàng)。 因此，試探函數(shù)只能是真實(shí)場(chǎng)函數(shù)的近似?？梢?jiàn)，變分法就是在某個(gè)假定的范圍內(nèi)找出最佳解答，近似性就源于此。 （2）采用變分法近似求解，要求在整個(gè)求解區(qū)域內(nèi)預(yù)先給出滿足邊界條件的場(chǎng)函數(shù)。通常情況下這是不可能的，因而變分法的應(yīng)用受到了限制。 （3）Ritz 法的收斂條件是要求試探函數(shù)具有完備性和連續(xù)性，也就是說(shuō)，如果試探函數(shù)滿足完備性和連續(xù)性的要求，當(dāng)試探函數(shù)的項(xiàng)數(shù)趨近于無(wú)窮時(shí)，則 Ritz 法的近似解將 趨近于數(shù)學(xué)微分方程的精確解。 3.1 構(gòu)造單元形函數(shù)有哪些基本原則？形函數(shù)是定義于單元內(nèi)坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)。單元位移函數(shù)通常采用多項(xiàng)式，其中的待定常數(shù)應(yīng)該與單元節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)相等。為滿足完備性 要求，位移函數(shù)中必須包括常函數(shù)和一次式，即完全一次多項(xiàng)式。多項(xiàng)式的選取應(yīng)由低階到高階，盡量選擇完全多項(xiàng)式以提高單元的精度。若由于項(xiàng)數(shù)限制而不能選取完全多 項(xiàng)式時(shí)，也應(yīng)使完全多項(xiàng)式具有坐標(biāo)的對(duì)稱(chēng)性，并且一個(gè)坐標(biāo)方向的次數(shù)不應(yīng)超過(guò)完全多項(xiàng)式的次數(shù)。有時(shí)為了使位移函數(shù)保持一定階次的完全多項(xiàng)式，可在單元內(nèi)部配置節(jié) 點(diǎn)。然而，這種節(jié)點(diǎn)的存在將增加有限元格式和計(jì)算上的復(fù)雜性，除非不得已才加以采用。形函數(shù)應(yīng)保證用它定義的位移函數(shù)滿足收斂要求，即滿足完備性要求和協(xié)調(diào)性條件。 3.1 構(gòu)造單元形函數(shù)有哪些基本原則？試采用構(gòu)造單元的幾何方法，構(gòu)造 T10 單元的形函數(shù)，并對(duì)其收斂性進(jìn)行討論。 通常單元位移函數(shù)采用多項(xiàng)式，其中的待定常數(shù)由節(jié)點(diǎn)位移參數(shù)確定，因此其個(gè)數(shù)應(yīng)與單元節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)相等。根據(jù)實(shí)體結(jié)構(gòu)的幾何方程，單元的應(yīng)變是位移的一次導(dǎo)數(shù)。為 了反映單元?jiǎng)傮w位移和常應(yīng)變即滿足完備性要求，位移函數(shù)中必須包含常數(shù)項(xiàng)和一次項(xiàng)，即完全一次多項(xiàng)式。 3.3 何謂面積坐標(biāo)？其特點(diǎn)是什么？為什么稱(chēng)其為自然坐標(biāo)或局部坐標(biāo)？ （1）三角形單元中，任一點(diǎn) P(x,y)與其 3 個(gè)角點(diǎn)相連形成 3 個(gè)子三角形,其位置可以用下述稱(chēng)為面積坐標(biāo)的三個(gè)比值來(lái)確定： L1=A1/A L2=A2/A L3=A3/A其中 A1,A2,A3 分別為 P23,P31,P12 的面積。 （2） 面積坐標(biāo)的特點(diǎn)： a T3 單元的形函數(shù) Ni 就是面積坐標(biāo) Li b 面積坐標(biāo)與三角形在整體坐標(biāo)系中的位置無(wú)關(guān)。 c 三個(gè)節(jié)點(diǎn)的面積坐標(biāo)分別為節(jié)點(diǎn) 1（1, 0, 0） 、節(jié)點(diǎn) 2（0, 1, 0） 、節(jié)點(diǎn) 3（0, 0, 1），形心的面積坐標(biāo)為（1/3, 1/3, 1/3）。 d 單元邊界方程為 Li=0(i=1,2,3) e 在平行于 23 邊的一條直線上，所有點(diǎn)都有相同的面積坐標(biāo) L1（L1 對(duì)應(yīng)的三角形具有相同的高和底邊），而且 L1 就等于此直線至 23 邊的距離與節(jié)點(diǎn) 1 至 23 邊的距離 之比值。 f 面積坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互為線性關(guān)系。 （3）面積坐標(biāo)與三角形在整體坐標(biāo)系中的位置無(wú)關(guān)，故稱(chēng)為局部坐標(biāo)或自然坐標(biāo)。 4.1 與平面問(wèn)題相比，軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題有何特點(diǎn)？在有限元表達(dá)格式上有何區(qū)別？ 軸對(duì)稱(chēng)問(wèn)題是空間問(wèn)題的一種特殊情況，結(jié)構(gòu)的幾何形狀、約束條件及荷載分布都對(duì)稱(chēng)于某個(gè)軸，其位移、應(yīng)變、應(yīng)力等也對(duì)稱(chēng)于此軸，而與環(huán)向坐標(biāo)無(wú)關(guān)。 4.2 試用體積坐標(biāo)構(gòu)造 10 節(jié)點(diǎn)四面體單元的形函數(shù)并討論收斂性。 5.1 何謂等參單元？等參單元具有哪些優(yōu)越性？在等參單元計(jì)算中，數(shù)值積分的階次是否越高越好？為什么？ 等參單元（簡(jiǎn)稱(chēng)等參元）就是坐標(biāo)變換和單元內(nèi)的等變量（通常是位移函數(shù)）采用相同的節(jié)點(diǎn)參數(shù)和相同的插值函數(shù)進(jìn)行變換而設(shè)計(jì)出的一種單元。 優(yōu)越性：一，有些工程結(jié)構(gòu)的形狀比較復(fù)雜，如果用直邊單元離散這些結(jié)構(gòu)將需要大量的單元才能得到較好的近似，而曲邊的等參單元可非常方便的離散復(fù)雜結(jié)構(gòu)。二，如果 在單元內(nèi)多取些節(jié)點(diǎn)，單元便具有較多的位移自由度，從而就能夠插值表示較復(fù)雜的單元內(nèi)部位移場(chǎng)，這樣也就提高了單元本身的精度。三，等參單元?jiǎng)偠染仃?、荷載矩陣的 計(jì)算是在規(guī)則單元域內(nèi)進(jìn)行的，因此不管被積函數(shù)多么復(fù)雜都可方便的采用標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)值分析。 在等參單元計(jì)算中，數(shù)值積分的階次并不是越高越好，5.6 何謂位移的零能模式？在什么條件下會(huì)發(fā)生零能模式？ 對(duì)應(yīng)于某種非剛體位移模式，減縮積分時(shí)高斯點(diǎn)上的應(yīng)變正好等于零，此時(shí)的應(yīng)變能當(dāng)然也為零，這種非剛體位移模式稱(chēng)為零能模式。 采用減縮積分時(shí)會(huì)發(fā)生零能模式。 6.1 對(duì)于桿系結(jié)構(gòu)單元，為什么要在局部坐標(biāo)系內(nèi)建立單元?jiǎng)偠染仃?？為什么還要坐標(biāo)變換？ （1）在局部坐標(biāo)系內(nèi)可以更方便的建立單元?jiǎng)偠染仃嚒?（2）在整體分析中，對(duì)所有單元都應(yīng)采用同一個(gè)坐標(biāo)系即整體坐標(biāo)系 X Y，否則圍繞同一節(jié)點(diǎn)的不同單元對(duì)節(jié)點(diǎn)施加的節(jié)點(diǎn)力不能直接相加。因此，在進(jìn)行整體分析之前， 還需要進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換工作，把局部坐標(biāo)系中得出的單元?jiǎng)偠确匠剔D(zhuǎn)換成整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠确匠?，從而得出整體坐標(biāo)系中的單元?jiǎng)偠染仃嚒?6.2 有哪幾種梁彎曲理論？如何用中性軸位移確定梁內(nèi)任一點(diǎn)的位移？ 工程梁理論、剪切梁理論、通用梁理論、空間梁理論。 梁彎曲理論（包括工程梁理論和剪切梁理論）在彈性力學(xué)基本假定的基礎(chǔ)上引入了某些附加假定，將問(wèn)題歸結(jié)為求解中性軸位移，而梁內(nèi)任一點(diǎn)的位移都可以通過(guò)中性軸位移 來(lái)表示。 7.1 在薄板彎曲理論中做了哪些假設(shè)？如何用中面位移確定板內(nèi)任一點(diǎn)的位移？ 假設(shè)：（1）板厚度方向的擠壓變形可忽略不計(jì)，即 Z=0。 （2）在板彎曲變形中，中面法線保持為直線，且仍為彈性曲面（撓度曲面）的法線，即直法線假設(shè)。 （3）薄板中面只發(fā)生彎曲變形，沒(méi)有面內(nèi)的伸縮變形，即中面水平位移。 (u)z=0 =(v)z=0 =0 薄板的全部位移、應(yīng)力和應(yīng)變分量都可以用板的撓度 來(lái)表示，而薄板小撓度彎曲被簡(jiǎn)化為中面的彎曲問(wèn)題，只要中面撓度確定，任何點(diǎn)的位移都可確定。薄板內(nèi)不等 于零的應(yīng)變分量有如下三個(gè)： x=u/x=-z 2/x2 y=v/y=-2 見(jiàn)P116,式(7.3a)rxy=u/y+v/x=-2z 2/xy 7.2 薄板單元和厚板單元的基本假設(shè)有什么不同？各自是怎樣選擇節(jié)點(diǎn)位移參數(shù)的？ 不同點(diǎn)：薄板單元假設(shè)橫向纖維無(wú)擠壓，板的中面法線變形后仍保持為直線，該直線垂直于變形后的中面，但是厚板單元的假設(shè)考慮橫向變形的影響，板的中面法線變形后仍 基本保持為直線，但該直線不再垂直于變形后的中面，法線繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)角不再是撓度的導(dǎo)數(shù)，而是獨(dú)立的變量。 7.3 在薄板單元中，節(jié)點(diǎn)力矩與薄板內(nèi)力有何區(qū)別？ 節(jié)點(diǎn)力矩 Mxi， Myi 是集中力矩，而板內(nèi)力矩 Mx， My 是分布力矩，此外，兩者的正負(fù)號(hào)規(guī)定也不相同，因?yàn)?Mx， My 與應(yīng)力正負(fù)號(hào)的規(guī)定相應(yīng)。 8.1 薄殼理論有哪些假設(shè)？與薄板理論的假設(shè)有何異同？厚殼分析中引入了何種假設(shè)？與厚板理論的假定有何異同？ 薄殼理論的假設(shè)：薄殼發(fā)生微笑變形時(shí)，忽略沿殼體厚度方向的擠壓變形；且認(rèn)為直法線假設(shè)成立，即變形后中面法線保持為直線且仍為中面的法線；殼體變形時(shí)中面不但發(fā) 生彎曲，而且面內(nèi)也將產(chǎn)生面內(nèi)伸縮變形；折板假設(shè)；非耦合假設(shè)。 與薄板理論的假設(shè)的相同點(diǎn)：直法線假設(shè)和法向（板厚度方向）的纖維無(wú)擠壓假設(shè)均成立。 不同點(diǎn)：薄板中面只發(fā)生彎曲變形，沒(méi)有面內(nèi)的伸縮變形，即中面水平位移為零，而殼體變形時(shí)中面不但發(fā)生彎曲，而且也將產(chǎn)生面內(nèi)伸縮變形。 厚殼分析的假設(shè)：變形前后的中曲面法線變形后仍基本保持為直線，但因橫向剪切變形的緣故，該直線不再垂直于變形后的中曲面，此外，殼體厚度方向的擠壓變形可以忽略。 與厚板理論的假設(shè)的相同點(diǎn)：中面法線變形后仍基本保持為直線，但因橫向剪切變形的緣故，該直線不在垂直于變形后的中面。厚度方向的擠壓變形忽略不計(jì)。 不同點(diǎn)：厚板理論的假設(shè)中，中面內(nèi)的線位移可以忽略，而厚殼理論的假設(shè)中，中面內(nèi)的位移不可忽略，并且厚殼的位移場(chǎng)可用中面位移表示。 8.2 何謂平板型殼單元？在分析這種單元時(shí)都做了哪些假設(shè)？應(yīng)用平板型殼單元可能會(huì)出現(xiàn)什么問(wèn)題，如何解決？簡(jiǎn)述形成平板型殼單元?jiǎng)偠染仃嚨幕舅悸贰?將殼體劃分為有限個(gè)單元，它們都是曲面單元。但是，當(dāng)網(wǎng)格足夠小時(shí)，殼塊將足夠扁平，可近似地視為平板單元，它們拼成的折板體系可近似代替原來(lái)的光滑殼體結(jié)構(gòu)，每 一個(gè)足夠小的網(wǎng)格就稱(chēng)為平板型殼單元。 假設(shè)：（1）理論假設(shè)：薄殼發(fā)生微笑變形時(shí)，忽略沿殼體厚度方向的擠壓變形，且認(rèn)為直法線假設(shè)成立，即變形后中面法線保持為直線且仍為中面的法線。 （2）折板假設(shè)（3） 非耦合假設(shè)。 出現(xiàn)的問(wèn)題：1.單元共面問(wèn)題 整體剛度矩陣k=0. （交于某節(jié)點(diǎn)的所有單元都位于同一平面內(nèi)）的平衡方程，并刪去 Qz 方向的平衡 2.虛擬旋轉(zhuǎn)剛度 為排除k=0.而無(wú)法求解的困難，可在局部坐標(biāo)系內(nèi)建立上述特殊節(jié)點(diǎn)， 方程 0=0，另采用在這些特殊節(jié)點(diǎn)上給以任意的虛擬剛度系數(shù) KQ2Qz=0。經(jīng)坐標(biāo)變換，整體坐標(biāo)于該節(jié)點(diǎn)平衡方程條件有唯一解。 3新型平面膜單元 采用虛擬旋轉(zhuǎn)剛度零判斷是否單元共面，故增加編程復(fù)雜性，在平面膜元角上增加旋轉(zhuǎn)自由度 Qz 使其有對(duì)應(yīng)的剛度。 8.3 面內(nèi)變形與彎曲變形之間非耦合的假設(shè)是針對(duì)什么提出的？試說(shuō)明單元組裝時(shí)，面內(nèi)效應(yīng)與彎曲效應(yīng)兩者的耦合將會(huì)出現(xiàn)。 面內(nèi)變形與彎曲變形之間非耦合的假設(shè)是針對(duì)局部坐標(biāo)系下的單元提出的。 9.1 減少問(wèn)題自由度的措施有哪些？各自的基本概念如何？ 恰當(dāng)?shù)睦媒Y(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性、采用子結(jié)構(gòu)技術(shù)等，可以使求解方程組上的自由度數(shù)大為降低。 結(jié)構(gòu)的對(duì)稱(chēng)性：假想地將結(jié)構(gòu)沿其中的某平面對(duì)折，若兩部分的形狀、材料性質(zhì)和約束條件完全重合，則稱(chēng)該平面為對(duì)稱(chēng)面，稱(chēng)該結(jié)構(gòu)為對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)。若荷載隨結(jié)構(gòu)對(duì)折后相互 重合，則稱(chēng)為對(duì)稱(chēng)荷載；若須將對(duì)稱(chēng)面某一邊的荷載改變正負(fù)號(hào)后才與另一邊的荷載重合，則稱(chēng)為反對(duì)稱(chēng)荷載。 子結(jié)構(gòu)技術(shù)：在大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)的有限元分析中，可將原結(jié)構(gòu)分成若干區(qū)域，每個(gè)區(qū)域作為一個(gè)子結(jié)構(gòu)，這些子結(jié)構(gòu)在其公共邊界上互相連接起來(lái)。結(jié)構(gòu)計(jì)算可分幾步進(jìn)行：首 先逐個(gè)分析各子結(jié)構(gòu)，并凝聚掉各自的內(nèi)部自由度；然后把全部子結(jié)構(gòu)組合起來(lái)進(jìn)行整體分析，從而得到總體求解方程。采用子結(jié)構(gòu)法的關(guān)鍵之處在于，內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的自由度在 子結(jié)構(gòu)的剛度矩陣形成以后可以凝聚掉，因此子結(jié)構(gòu)實(shí)質(zhì)上是具有內(nèi)部自由度的超單元。 9.3 為什么說(shuō)位移法中應(yīng)力解的精度低于位移解？如何改善等參單元的應(yīng)力結(jié)果？如何改善常應(yīng)變?nèi)切螁卧膽?yīng)力結(jié)果？ 在位移有限單元法中，位移沿單元邊界是連續(xù)的，而位移的導(dǎo)數(shù)通常是不連續(xù)的，因此在單元邊界上應(yīng)力是不連續(xù)的；基本未知量是位移，而單元應(yīng)變和應(yīng)力是由位移求導(dǎo)得 到的，因此應(yīng)力的精度要比位移的精度低。 對(duì)于等參單元的應(yīng)力，采用單元內(nèi)應(yīng)力修勻或分片應(yīng)力修勻。 對(duì)于三角形常應(yīng)變單元，通常采用應(yīng)力平均的方法處理計(jì)算結(jié)果。 9.4 在無(wú)法獲得精確解的條件下，如何進(jìn)行誤差估計(jì)？試說(shuō)明這樣做的合理性？ 由于無(wú)法獲得精確解，故一般是以修勻后的改進(jìn)值 作為“精確解”來(lái)進(jìn)行誤差估計(jì)。通過(guò)與精確值誤差范數(shù)對(duì)比，發(fā)現(xiàn)這樣做是非常有效的。 9.6 什么是階譜單元？ 階譜單元（hierarchical element）就是在低階單元形函數(shù)不變的情況下，構(gòu)造新增