高中數(shù)學(xué) 第二章 平面向量 2.4.1 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義（一）課件 新人教A版必修4.ppt

2 4 1平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義 一 第二章 2 4平面向量的數(shù)量積 學(xué)習(xí)目標(biāo)1 了解平面向量數(shù)量積的物理背景 即物體在力f的作用下產(chǎn)生位移s所做的功 2 掌握平面向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律 理解其幾何意義 3 會(huì)用兩個(gè)向量的數(shù)量積求兩個(gè)向量的夾角以及判斷兩個(gè)向量是否垂直 題型探究 問題導(dǎo)學(xué) 內(nèi)容索引 當(dāng)堂訓(xùn)練 問題導(dǎo)學(xué) 思考1 知識(shí)點(diǎn)一平面向量數(shù)量積的物理背景及其定義 如何計(jì)算這個(gè)力所做的功 答案 答案w f s cos 一個(gè)物體在力f的作用下產(chǎn)生位移s 如圖 思考2 力做功的大小與哪些量有關(guān) 答案與力的大小 位移的大小及它們之間的夾角有關(guān) 梳理 a b cos a b a b a b cos 思考1 知識(shí)點(diǎn)二平面向量數(shù)量積的幾何意義 什么叫做向量b在向量a上的投影 什么叫做向量a在向量b上的投影 答案 答案如圖所示 過b作bb1垂直于直線oa 垂足為b1 則ob1 b cos b cos 叫做向量b在a方向上的投影 a cos 叫做向量a在b方向上的投影 思考2 向量b在向量a上的投影與向量a在向量b上的投影相同嗎 答案 答案由投影的定義知 二者不一定相同 梳理 1 條件 向量a與b的夾角為 2 投影 3 a b的幾何意義 數(shù)量積a b等于a的長(zhǎng)度 a 與的乘積 b在a的方向上的投影 b cos 思考1 知識(shí)點(diǎn)三平面向量數(shù)量積的性質(zhì) 向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)果和向量的線性運(yùn)算的結(jié)果有什么區(qū)別 答案 答案向量的線性運(yùn)算結(jié)果是向量 而向量的數(shù)量積是數(shù)量 思考2 非零向量的數(shù)量積是否可為正數(shù) 負(fù)數(shù)和零 其數(shù)量積的符號(hào)由什么來決定 答案由兩個(gè)非零向量的夾角決定 當(dāng)0 90 時(shí) 非零向量的數(shù)量積為正數(shù) 當(dāng) 90 時(shí) 非零向量的數(shù)量積為零 當(dāng)90 180 時(shí) 非零向量的數(shù)量積為負(fù)數(shù) 答案 梳理 設(shè)向量a與b都是非零向量 它們的夾角為 1 a b a b 0 a b a b 3 a a 或 a 4 cos 5 a b a b a 2 題型探究 解答 類型一求兩向量的數(shù)量積 例1已知 a 4 b 5 當(dāng) 1 a b 2 a b 3 a與b的夾角為30 時(shí) 分別求a與b的數(shù)量積 解 1 a b 若a與b同向 則 0 a b a b cos0 4 5 20 若a與b反向 則 180 a b a b cos180 4 5 1 20 2 當(dāng)a b時(shí) 90 a b a b cos90 0 3 當(dāng)a與b的夾角為30 時(shí) a b a b cos30 反思與感悟 求平面向量數(shù)量積的步驟是 1 求a與b的夾角 0 180 2 分別求 a 和 b 3 求數(shù)量積 即a b a b cos 要特別注意書寫時(shí)a與b之間用實(shí)心圓點(diǎn) 連接 而不能用 連接 也不能省去 答案 解析 解析如圖所示 由題意 得bc a cd a bcd 120 例2已知 a b 5 向量a與b的夾角為 求 a b a b 類型二求向量的模 解答 解答 引申探究若本例中條件不變 求 2a b a 2b 反思與感悟 此類求解向量模的問題就是要靈活應(yīng)用a2 a 2 即 a 勿忘記開方 解答 跟蹤訓(xùn)練2已知 a b 5 且 3a 2b 5 求 3a b 的值 解 3a 2b 2 9 a 2 12a b 4 b 2 9 25 12a b 4 25 325 12a b 3a 2b 5 325 12a b 25 a b 25 3a b 2 3a b 2 9a2 6a b b2 9 25 6 25 25 400 故 3a b 20 類型三求向量的夾角 解答 例3設(shè)n和m是兩個(gè)單位向量 其夾角是60 求向量a 2m n與b 2n 3m的夾角 解 n m 1且m與n夾角是60 a b 2m n 2n 3m m n 6m2 2n2 設(shè)a與b的夾角為 反思與感悟 求向量夾角時(shí) 應(yīng)先根據(jù)公式把涉及到的量先計(jì)算出來再代入公式求角 注意向量夾角的范圍是 0 解答 跟蹤訓(xùn)練3已知a b 9 a在b方向上的投影為 3 b在a方向上的投影為 求a與b的夾角 又 0 180 120 當(dāng)堂訓(xùn)練 1 已知 a 8 b 4 a b 120 則向量b在a方向上的投影為a 4b 4c 2d 2 答案 2 3 4 5 1 解析 解析向量b在a方向上的投影為 b cos a b 4 cos120 2 答案 2 3 4 5 1 解析 a 1b 2c 3d 5 解析 a b 2 a b 2 a2 2a b b2 10 a b 2 a b 2 a2 2a b b2 6 由 得4a b 4 a b 1 3 若a b c與a及與b的夾角均為60 a 1 b 2 c 3 則 a 2b c 2 答案 2 3 4 5 1 解析 11 解析 a 2b c 2 a2 4b2 c2 4a b 2a c 4b c 12 4 22 32 4 0 2 1 3 cos60 4 2 3 cos60 11 25 答案 解析 2 3 4 5 1 5 已知正三角形abc的邊長(zhǎng)為1 求 解答 2 3 4 5 1 解答 2 3 4 5 1 規(guī)律與方法 1 兩向量a與b的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù) 不是一個(gè)向量 其值可以為正 當(dāng)a 0 b 0 0 90 時(shí) 也可以為負(fù) 當(dāng)a 0 b 0 90 180 時(shí) 還可以為0 當(dāng)a 0或b 0或 90 時(shí) 2 兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的一種運(yùn)算 與實(shí)數(shù)乘實(shí)數(shù) 實(shí)數(shù)乘向量的乘法運(yùn)算是有區(qū)別的 在書寫時(shí)一定要把它們嚴(yán)格區(qū)分開來 絕不可混淆 3 a b a b cos 中 b cos 和 a cos 分別叫做b在a方向