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具有圓形流動(dòng)通道的平板熱交換器中的共軛傳熱及其最佳結(jié)構(gòu)的分析H. M. Soliman M. M. Rahman摘要 本文建立了一種對(duì)于具有循環(huán)嵌入式通道的平板熱交換器的共軛熱傳導(dǎo)的分析方法，該法是在設(shè)定的圓管和不均勻的管邊界熱流的條件下完成的，其結(jié)果適用于直徑為50m或者直徑大于50m的具有大的長(zhǎng)徑比的冷凝管。這種熱交換器的熱力學(xué)特性已經(jīng)經(jīng)過了大范圍的相關(guān)獨(dú)立參數(shù)的驗(yàn)證，并提出了對(duì)三組結(jié)束條件的優(yōu)化設(shè)計(jì)，結(jié)果發(fā)現(xiàn)：隨著管與加熱表面以及管與管之間距離的增大，其熱阻也逐漸增強(qiáng)。在已知管長(zhǎng)度和管與管之間的距離的情況下，我們可以計(jì)算出一個(gè)確定的管直徑，在這個(gè)直徑下，其熱阻值是最小的。符號(hào)列表An, Bn, Cn, Dn 級(jí)數(shù)解系數(shù)，n = 0,1, 2, 3,., NB0, C0 級(jí)數(shù)解系數(shù)Cp 比熱，J/kg KF 摩擦系數(shù)H 管離上表面的深度，mH* 無尺寸的管深度k 導(dǎo)熱系數(shù)，W/m KL 板厚度，m 板長(zhǎng)度，mM 管子數(shù)mT 總質(zhì)量流率,kg/sN 系列中的條款數(shù)P 壓力，PaPT 泵功率，Wq 上表面的輸入熱通量，W/m2qi 固-熱界面的熱通量，W/m2R 無量綱的縱向坐標(biāo)r 徑向坐標(biāo)，mr0 管的半徑，mr*0 無量綱的管半徑Re 雷諾數(shù)T 溫度，KU 液體的無量綱軸向速度u 液體的軸向速度，m/sum 液體的平均軸向速度，m/sW 管與管之間中心距離的一半，mW* 管與管之間的無量綱距離WT 板的總寬度，mX,Y,Z 無量綱（笛卡爾）坐標(biāo)x,y,z 笛卡爾坐標(biāo)，m希臘字母 總的熱阻，K/W 依賴于幾何的熱阻部分，K/W* 無量綱熱阻 無量綱溫度 動(dòng)態(tài)粘滯度，N s/m2 流體密度，kg/m3 角坐標(biāo)，rad下標(biāo)1 區(qū)域12 區(qū)域23 區(qū)域3ave 平均值b 體積f 流體i 固-液界面in 熱交換器的輸入量out 熱交換器的輸出量s 固體引言 為了滿足電子設(shè)備中集成電路的快速發(fā)展，我們需要不斷地研究熱量排出的方法，然而，更快的電路循環(huán)和容量的增加必然導(dǎo)致每條電路功率損耗的增加和單位體積電路數(shù)量的增加，其結(jié)果就是增加了組裝時(shí)芯片，組件和系統(tǒng)的功率密度。因?yàn)楣虘B(tài)組件的預(yù)期壽命和可靠性在很大程度上依賴于它的運(yùn)行溫度，因此就需要一個(gè)有效的制冷系統(tǒng)維持其在限制溫度范圍之內(nèi)，雖然很多技術(shù)都可以提供充分的降溫，但是鑲嵌在固體底板中的微孔道或微管由于其簡(jiǎn)便和相對(duì)更低的熱阻而具有很好的應(yīng)用前景。由Tuckerman 和 Pease首先提出的硅襯底的主要部分是一個(gè)小型的水冷式的散熱器，Philips用磷化銦作為基底用同樣的散熱器報(bào)道了更多實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，許多其他研究也證實(shí)了微孔散熱器的應(yīng)用。Wang和Peng報(bào)道了在長(zhǎng)方形的微孔道中進(jìn)行水或甲醇的單向強(qiáng)制對(duì)流的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，這些孔道的水力直徑在311747m之間，當(dāng)雷諾數(shù)在10001500之間時(shí)，其間發(fā)生的是湍流對(duì)流，這種對(duì)流主要取決于液體溫度，流速和孔道大小。在后面的兩項(xiàng)研究中，Peng和Peterson做了進(jìn)一步的測(cè)定來描述熱物理學(xué)特性和幾何參數(shù)對(duì)它的影響。Tso和Makulikar研究了微孔道熱傳導(dǎo)對(duì)流中的層流-湍流過度，并用布林克曼數(shù)和雷諾數(shù)描述了得到的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。Browers和Mudawar的研究表明，在微孔道中用相變的方法可以得到很高的傳熱速率。然而，該系統(tǒng)在運(yùn)行的時(shí)候接近其臨界熱通量，這就導(dǎo)致其具有不穩(wěn)定性，因?yàn)椴荒苡糜诠こ讨?。除了?shí)驗(yàn)測(cè)定以外，還做了許多理論研究以供我們了解微孔道長(zhǎng)方形橫截面的共軛熱傳導(dǎo)的基本原理，Weisberg et al.研究了整合在硅基板中的冷凝管的熱阻，為了保證管道尺寸的選擇與運(yùn)行條件相一致，他們?cè)O(shè)計(jì)了一種平板熱交換器，該交換器包括一個(gè)組裝有硅片并由硼硅酸玻璃包裹著的長(zhǎng)方形微孔道。Ambantipudi和Rahman提出了一種應(yīng)用于長(zhǎng)方形微孔道共軛熱傳導(dǎo)中的三維數(shù)值模擬模型，并做了準(zhǔn)數(shù)變化趨勢(shì)和雷諾數(shù)，比表面積以及鄰近管道之間距離的研究。Fisser和Torrance用數(shù)字研究了具有凸橫截面和普通制冷通道的實(shí)體中的共軛熱傳導(dǎo)，對(duì)通道邊界曲率對(duì)總熱傳導(dǎo)的影響進(jìn)行了量化，并且確定了在給定的壓力差和泵條件下的最優(yōu)通道結(jié)構(gòu)。Fedorov和Viskanta在數(shù)學(xué)上解決了傳統(tǒng)的長(zhǎng)方形微孔道散熱器固壁上共軛熱傳導(dǎo)的斯托克斯能量方程，并證實(shí)了他們的理論結(jié)果和Kawano et al.對(duì)于水力直徑大約為87m的具有長(zhǎng)方形橫截面的硅底板微孔道熱交換器的壓力差和傳熱的實(shí)驗(yàn)結(jié)果能夠很好地吻合。關(guān)于圓形微管中液體流動(dòng)和熱交換的研究也有很多報(bào)導(dǎo)，Yu et al. 為了確定雷諾數(shù)大于2500，直徑分別為19,52和102m的微孔的對(duì)流熱傳導(dǎo)特性而做了一項(xiàng)試驗(yàn)研究 ，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，在低值情況下，準(zhǔn)數(shù)跟大管的相關(guān)系數(shù)比較吻合，但是準(zhǔn)數(shù)和雷諾數(shù)的增長(zhǎng)速率比相關(guān)系數(shù)預(yù)測(cè)的更大。Adams et al.對(duì)直徑為760m和1090m的微管中湍流對(duì)流熱傳導(dǎo)進(jìn)行了試驗(yàn)研究，該研究用水作為測(cè)試液體，基于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，在微管熱傳導(dǎo)中提出了一種新的相關(guān)系數(shù)。Adams et al.又將該研究擴(kuò)展到非圓形管中，結(jié)果發(fā)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)的湍流單相準(zhǔn)數(shù)相關(guān)性只適用于水力直徑大于1020m的管道。Mala和Li報(bào)道了直徑在50254m之間的微管中水層流時(shí)的壓力差的數(shù)據(jù)結(jié)果，在試驗(yàn)中，他們用的是石英玻璃和不銹鋼管。就石英玻璃而言，在管徑為101m或更大直至其雷諾數(shù)達(dá)到2000的時(shí)候，測(cè)定的壓力梯度跟泊肅葉流理論相一致；不銹鋼管的直徑為152m或更大直至其雷諾數(shù)達(dá)到2000時(shí)，其壓力梯度和標(biāo)準(zhǔn)理論很相符。本研究主要集中于對(duì)具有圓形流動(dòng)通道的平板熱交換器中共軛熱傳導(dǎo)的分析，這種熱交換器在電子產(chǎn)品的制冷和道路融雪系統(tǒng)方面都有很廣泛的應(yīng)用。以前對(duì)平板散熱器的研究絕大多數(shù)主要集中在長(zhǎng)方形通道上面，只有有限的一部分研究是針對(duì)于圓形通道的，因此，對(duì)具有圓形通道的平板散熱器的詳細(xì)的理論研究對(duì)于我們理解其傳熱特性，驗(yàn)證其幾何和性能參數(shù)對(duì)其運(yùn)作的影響以及在不同條件下確定其最佳的幾何形狀是必要的。由文獻(xiàn)中的信息可知，傳統(tǒng)的動(dòng)量和能量方程適用于直徑在50m或50m以上的管道，但是，如果我們限定其流動(dòng)方式為層流，該方程將適用于任意尺寸的管道，那這個(gè)方程也就會(huì)有更為廣泛的應(yīng)用，但是在該假設(shè)條件下，需要流動(dòng)管道具有較大的長(zhǎng)徑比。2 分析假設(shè)平板熱交換器具有圓形的長(zhǎng)的液體流動(dòng)管道，如圖1所示，在板的上表面有均衡的熱通量，而其下表面是隔熱的，板的寬度為WT,厚度為L(zhǎng),長(zhǎng)度（在液體流動(dòng)方向）為,一塊板中有M個(gè)尺寸相同的管道，管道半徑為r0。圖1 熱轉(zhuǎn)換器的示意圖由于其對(duì)稱性，我們只分析熱交換器的一個(gè)截面，如圖2所示，管離加熱表面的高度為H,截面的寬度為W,以管軸為中心建立圓柱形坐標(biāo)系來分析其對(duì)流熱傳導(dǎo)；以截面底部左角為中心建立笛卡爾坐標(biāo)系來分析熱交換器固體壁內(nèi)的熱傳導(dǎo)，如圖2所示，z為液流方向的坐標(biāo)。由于其對(duì)稱性，除了上表面具有均衡的熱通量，管壁具有均衡的對(duì)流之外，其它外表面都是絕熱的。橫截面的幾何外形可以由三個(gè)無量綱的量進(jìn)行定義，它們分別是H*(=H/L),W*(=W/L)和r0*(=r0/W)。圖2 用于分析的熱轉(zhuǎn)換器的橫截面2.1 流體域?yàn)榱撕?jiǎn)化分析中的問題，我們作了一下假設(shè)：（1）恒定的流體和固體性質(zhì)；（2）管中液體的流動(dòng)為層流；（3）忽略基底和流體之間的軸向傳導(dǎo)。無量綱形式的動(dòng)量方程如下所示：其中，R=r/r0，U=u/um, f =r0 (-dP/dz) / (um2)，Re=2umr0 /。在方程（1）中，壓力梯度（dP/dz）在設(shè)定條件下假設(shè)是恒定的，方程（1）的解為將代入到質(zhì)量方程中，我們可以得到f Re=16，因此，該方程變?yōu)槟芰糠匠痰臒o量綱形式可表示如下：其中，=（T-Tb）/(q L/kf)，在公式（4）中，假設(shè) ，那公式（4）的解如下所示：當(dāng)=0和= 時(shí)，公式（5）中的解滿足對(duì)稱條件 ，當(dāng)R=0時(shí)，f也是一定的，代入如下條件：我們得到，最終，我們得到2.2 固體域固體的能量方程如下：其中，X=x/L, Y=y/L, 為了得到完全符合能量方程和臨界條件的解，我們將固體域分成三個(gè)區(qū)域，如圖2所示。在區(qū)域1中，其解為 其中，Y1=1-H*,方程（8）滿足方程（7）的解和以下臨界條件：，X=0和X=W*；，Y=1。在區(qū)域3中，其解可以寫成如下形式：其中，Y2=1-H*-2 r0*W*, 這個(gè)解滿足方程（7）及以下臨界條件：，X=0和X=W*；，Y=0。對(duì)于區(qū)域2，只有一個(gè)固定的臨界條件，即，X=0。在其它三個(gè)邊界條件下，該方程必須滿足連續(xù)的溫度和熱通量，該區(qū)域中關(guān)于溫度分布的一個(gè)可能的解可以表示如下： 方程（10）滿足方程（7）的解和當(dāng)X=0時(shí)上述的臨界條件。另外，方程（10）保證了區(qū)域1.區(qū)域2和區(qū)域3各界面之間溫度的連續(xù)，比如，當(dāng)Y=Y1時(shí)，s,2 =s,1 ,當(dāng)Y=Y2時(shí)，s,2=s,3 。方程（8）-（10）中的未知系數(shù)B0，C0，An,Bn,Cn 和Dn (總共（4N +2）個(gè)系數(shù))，都由當(dāng)Y=Y1 和Y=Y2 時(shí)熱通量的連續(xù)性，以及固-液界面溫度和熱通量的連續(xù)性所決定。2.3 系數(shù)的估算方程（8）-（10）給出的溫度分布必須滿足以下條件：- 當(dāng)Y=Y1 時(shí)連續(xù)的熱通量：- 當(dāng)Y=Y2時(shí)連續(xù)的熱通量：- 固-液界面連續(xù)的溫度：其中，固-液界面（管表面）定義為- 固-液界面連續(xù)的熱通量，可以表示為：方程（11）-（13）和（15）當(dāng)中，每個(gè)都適用于沿各自界面的一系列大小相同的點(diǎn)，NP。由此可以得出當(dāng)4NP (4N+2)時(shí)，4NP對(duì)于(4N+2)個(gè)未知系數(shù)的線性代數(shù)方程，線性方程是用著名的最小二乘法得出的。一旦確定了未知的系數(shù)，方程中的就很容易確定，該方程需要的輸入?yún)?shù)有H*,W* ，r0*和kf / ks，對(duì)于kf / ks =0的特殊情況，當(dāng)An=Bn=Cn=Dn，B0=C0=11W*/(24)，且通過固體的溫度恒定時(shí)，方程（11）-（15）滿足其解。我們對(duì)不同組合的獨(dú)立參數(shù)研究了N和NP對(duì)結(jié)果精確性的影響，對(duì)精確性的評(píng)估取決于B0和C0的值。注意，當(dāng)Y =0時(shí)，平均溫度是s,3 = C0，當(dāng)Y =1時(shí)，s,1 = B0+kf / ks，我們可以看出這兩個(gè)系數(shù)對(duì)于溫度場(chǎng)的精確度具有非常大的作用。另外，從后面的介紹我們可以看出，B0是在計(jì)算散熱器的熱阻時(shí)唯一用到的系數(shù)，表1總結(jié)了不同幾何形狀（H*，W*，r0*）和不同材料特性（ks / kf）的管中N和NP 對(duì)B0和C0 的影響。這些結(jié)果表明這些級(jí)數(shù)解的收斂速度非?？?，當(dāng)N =10時(shí)，我們可以得到合理精確的解，為了確保結(jié)果有大于0.5%的精確度，所有的計(jì)算都是在N =20，NP =400時(shí)進(jìn)行的。表1 不同幾何形狀（H*，W*，r0*）和不同材料特性（ks / kf）的管中N和NP 對(duì)B0和C0 的影響3 結(jié)果和討論在三組不同的ks / kf 值即 ks / kf =243（表示硅-水），ks / kf =24.6（表示不銹鋼-水），ks / kf =2.3（表示混凝土-水）下產(chǎn)生的結(jié)果。這些ks / kf 的值以及它們所代表的材質(zhì)覆蓋了熱轉(zhuǎn)換器在電子產(chǎn)品的制冷，工藝設(shè)備中的熱傳導(dǎo)和混凝土路面的溫度控制方面的典型應(yīng)用。另外，這些數(shù)值在熱-電導(dǎo)比中提供了兩個(gè)不同的數(shù)量級(jí)。3.1 溫度分布兩種不同尺寸熱轉(zhuǎn)換器的計(jì)算區(qū)域內(nèi)等溫線如圖3和4所示，兩種尺寸都符合ks / kf =24.6，兩個(gè)等溫圖中相同等溫線的值和連續(xù)的兩條等溫線之間的的值都是相等的，這些結(jié)果表明加熱上表面附近在X方向的溫度變化很??；然而，在流通管道周圍的區(qū)域其等溫線偏離了平滑的形狀，同時(shí)，我們也可以看出通道上面的平板中溫度變化幅度高于通道下面的溫度變化幅度。固相中溫度梯度的方向表明熱量可以從頂部和底部進(jìn)入到流體管道，因此，從表面輸入的部分熱量直接流入到管道的上部，而剩余的一部分熱量通過旁路再返回到管道的下面。流體的等溫線稍微偏離圓形，這種偏離在管道的外半徑附近顯得更為明顯。圖3 H*=0.3，W*=0.5，r0*=0.4，ks / kf =24.6的管道等溫線圖4 H*=0.1，W*=0.2，r0*=0.5，ks / kf =24.6的管道等溫線另外我們發(fā)現(xiàn)，圖3中平板的值大于圖4中平板的值，固定板的厚度L值（這樣溫度就跟成比例），對(duì)應(yīng)于相應(yīng)的H*，W*，r0*，圖3和圖4的結(jié)果表明含大量小直徑管道的平板的溫度比含少量大直徑管道的平板更低。不同幾何形狀和材質(zhì)特性的管道的固-液界面的溫度分布如圖5-7所示，圖5中，在保持其他參數(shù)（H*，r0*，ks / kf）不變的情況下，我們研究了W* 對(duì)其溫度分布的影響，同時(shí)，我們還保持L不變，以保證（Ti-Tb）和i 之間成比例，從結(jié)果可以看出，在相同的r0*下，W* 的減小相當(dāng)于管道直徑和管道間距離的減小。因?yàn)闊嵩次挥跓徂D(zhuǎn)換器的上表面，我們預(yù)計(jì)當(dāng)管的圓周從=0到=180時(shí)，i 逐漸減?。ㄈ鐖D5）。在該區(qū)域的兩端，由于其對(duì)稱性，其斜率為零，隨著W* 的增大，i 的值顯著增大，這跟圖3和4中的結(jié)果是一致的，即熱轉(zhuǎn)換器中近距離的小直徑管道的溫度較低。從方程（6）可以看出，平均界面溫度可以進(jìn)行如下估算：，圖5的結(jié)果跟這個(gè)值是一致的，我們還可以看到，在=0到=之間，i 的值隨著W*的增大而增大。這是因?yàn)殡S著W*的增大，管道的阻礙能力也就越大。圖5 H*=0.1， r0*=0.4，ks / kf =24.6時(shí)，不同W* 下i 的變化圖6 H*=0.1，W*=0.1， ks / kf =24.6時(shí)，不同r0* 下i 的變化圖7 H*=0.1，W*=0.5，r0*=0.5 時(shí)，不同ks / kf 下i 的變化圖6表示的是在其它參數(shù)不變的情況下，i 隨著r0* 的變化而變化的趨勢(shì)，這些結(jié)果探究了在保持相同的管與管中心之間的距離的情況下，管道直徑對(duì)i 的影響。圖6表明隨著管道半徑與角度的增大，溫度變化也隨著增大，但是，平均界面溫度不會(huì)隨著r0* 的變化而變化，這個(gè)圖表明，當(dāng)管數(shù)固定時(shí)，更小的管道半徑會(huì)在固-液界面引起更多的等溫條件。圖7代表的是i 隨著ks / kf 的變化趨勢(shì)，固定kf 以使（Ti-Tb）和i 之間成比例，圖7的結(jié)果表明，由于固體中具有更小的熱阻，隨著固相熱傳導(dǎo)的增大，界面溫度變得更均勻。對(duì)于為計(jì)算機(jī)芯片而設(shè)計(jì)的硅-水系統(tǒng)來說，熱轉(zhuǎn)換器沿著管的圓周都有恒定的溫度，當(dāng)熱導(dǎo)率減小時(shí)，沿著管道圓周的界面溫度有顯著的變化，因此，在更小的熱電導(dǎo)下，為了達(dá)到熱轉(zhuǎn)換器給定的熱負(fù)載，就需要有較大的溫度梯度。我們也研究了H* 對(duì)i 的影響，結(jié)果發(fā)現(xiàn)與其它參數(shù)相比，其影響很小。3.2 固-液界面的熱通量固-液界面的局部熱通量（qi）可以表示成如下的無量綱形式：其中，表示固-液界面的平均熱通量，qi 的結(jié)果如圖8-10所示，圖8表示的是W* 對(duì)qi 的影響，當(dāng)=0時(shí)，qi 的值達(dá)到最大，當(dāng)=時(shí)，qi有最小，最大值和最小值之間的差別并不是很大，液也就是說，W* 對(duì)qi 的值沒有明顯的影響。圖9表示的是在固定的管間距下，管半徑對(duì)qi 的影響，qi 的圓周值隨著管半徑的減小而降低，在r0* 等于0.9的情況下，對(duì)應(yīng)于具有小的管間距的大直徑管道，與小管徑的管道相比，qi 的角剖面圖偏離了光滑的形狀，而且在=0和=時(shí)，qi 的值相差較大。ks / kf 對(duì)qi 的影響如圖10所示，如我們所料，固相中的熱導(dǎo)率越大，其熱通量的分布越均勻，因?yàn)榇藭r(shí)固相中有更好的溫度均一性。圖8 H*=0.1， r0*=0.4，ks / kf =24.6,時(shí)，W*=對(duì)qi 的影響圖9 H*=0.1，W*=0.1，ks / kf =24.6時(shí)，r0*對(duì)qi 的影響圖10 H*=0.1，W*=0.5，r0*=0.5 時(shí)，ks / kf 對(duì)qi 的影響3.3 總熱阻假設(shè)熱交換器的長(zhǎng)度為，那么它的總熱阻通常定義如下：其中，bar表示x的平均值，=常數(shù)，那么我們可以將表示為其中，取決于其幾何形狀，取決于流量。我們主要看取決于幾何形狀的部分，定義如下：因此，我們可以用無量綱的熱阻*進(jìn)行計(jì)算并對(duì)幾何參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，*的定義為利用公式（8），我們可以將*定義為在kf / ks =0的特殊情況下，平板的溫度是均勻的，假設(shè)B0=11 W*/(24)，根據(jù)公式（21），熱阻的最小值可以表示為*min=0.1459 W*。在ks / kf 的三個(gè)不同值下，*的值和大量的幾何參數(shù)如圖11-16所示，從圖11我們可以看出，在ks / kf =2.3的情況下，對(duì)于所有的W*，*隨著H* 單調(diào)遞增，隨著加熱表面和管道上沿之間距離的增大，其熱傳遞的傳導(dǎo)途徑會(huì)變大，其熱阻就會(huì)隨之增大。另外，含有大量小直徑管的平板與含有少量大直徑管的平板相比，其熱阻較小，這個(gè)趨勢(shì)和前面溫度分布的結(jié)果是一致的。圖12表示的是在ks / kf =2.3的情況下，對(duì)于不同的W*，*隨著r0* 的變化，對(duì)于一個(gè)固定的管間距，隨著管半徑的增大，* 首先減小到一個(gè)最小值，然后隨著管半徑的進(jìn)一步增加而增大，* 的最小值在r0* =0.3 時(shí)得到，隨著管半徑的增大，熱交換器的固相區(qū)域被液相區(qū)域所取代，因此，熱源和熱接收器之間的傳導(dǎo)距離減小，但是，固相區(qū)域內(nèi)沒有更多的空間允許溫度的再分配。這兩種作用的凈結(jié)果是如圖12所示，如我們所料，熱阻的增大幅度隨著管間距的增大而增加。圖11 ks / kf =2.3，r0* =0.3時(shí)，* 隨著H* 和W* 的變化趨勢(shì)圖12 ks / kf =2.3，H* =0.1時(shí)，* 隨著r0* 和W* 的變化趨勢(shì)ks / kf =24.6時(shí)，* 的值如圖13和14所示，它們的趨勢(shì)和圖11和12中的趨勢(shì)很相似，必須指出的是，隨著ks / kf 的增大，* 對(duì)H* 的直線的斜率降低，* 隨著的r0* 變化越來越不明顯。圖15和16表示當(dāng)ks / kf =243時(shí)，H* 和r0* 的變化對(duì)* 基本上沒有影響，而W* 的變化對(duì)其的影響依然很顯著。我們可以看出，圖11-16中W* 對(duì)* 的影響與前面所述的W* 對(duì)s 和i 的影響完全一致。圖13 ks / kf =24.6，r0* =0.3時(shí)，* 隨著H* 和W* 的變化趨勢(shì)圖14 ks / kf =24.6，H* =0.1時(shí)，* 隨著r0* 和W* 的變化趨勢(shì)圖15 ks / kf =243，r0* =0.3時(shí)，* 隨著H* 和W* 的變化趨勢(shì)圖16 ks / kf =243，H* =0.1時(shí)，* 隨著r0* 和W* 的變化趨勢(shì)3.4 最優(yōu)結(jié)構(gòu)不同的設(shè)計(jì)取決于所需要優(yōu)化的物體的功能以及和它特殊應(yīng)用相關(guān)的限制條件。本節(jié)內(nèi)容中，我們將要描述如何將目前的分析運(yùn)用到三種不同的設(shè)計(jì)模式中。在第一種情形中，假設(shè)我們的平板具有給定的尺寸（）和已知的固，液材料特性，我們的目的是在固定的管道數(shù)目的情況下，來確定一個(gè)r0值使* 最小，在這種情況下，我們可以直接利用圖11-16中的結(jié)果來達(dá)到上述目的。比如，我們有一塊混凝土板，其WT =1m，=5m，L =20cm，管道數(shù)目為10 ，其中的流體為水。在這種情況下，W= WT /2M=5cm，W* = W/ L =0.25，為了使熱阻最小，假設(shè)H* =0.1；因?yàn)镠*再小的話可能會(huì)引起結(jié)構(gòu)上的問題?，F(xiàn)在我們就探索在ks / kf =2.3，以及上述H* 和W* 值的條件下，能夠使得* 具有最小值的r0* 的值。直接利用前面的分析結(jié)果可得r0* =0.28. r0 =1.4cm，* =0.1184。在第二種情形中，假設(shè)平板具有已知的幾何形狀和固液材料特性，那我們的目標(biāo)是在固定的總熱阻的條件下，確定M 和r0 的值以使泵功率PT最小。泵功率的公式表示如下：其中，P表示熱轉(zhuǎn)換器的壓力差，它（在當(dāng)前的層流條件下）可以表示為我們知道，用公式(20)中給出的* 的定義，我們可以寫成將公式（23）和（24）代到公式（22）中，我們可以得到其中，。從下面的例子中我們可以看到整個(gè)過程：假設(shè)一個(gè)不銹鋼的平板（WT =10cm，=50cm，L =2cm），在它上表面的熱通量是均勻的，管道中用水冷卻，我們希望得到的總熱阻為=0.05K/W，要求我們確定管道的規(guī)格（M, r0 ）以使泵功率PT最小。利用300K時(shí)水的特性，我們得到ks / kf =24.6，H* 的值假設(shè)為0.1，需要一個(gè)求結(jié)過程。選定一個(gè)M值，這樣我們就可以確定W 和W* 的值，確定了M值以后，利用前面的分析，對(duì)于每一個(gè)H*，W*，r0* 和ks / kf 的組合，用不同的r0* 的值來確定* 。和PT很容易從公式（25）中確定，這個(gè)研究過程在不同M值下進(jìn)行，其中一個(gè)例子的結(jié)果如圖17所示，當(dāng)M=14，r0* =0.88時(shí)，PT值達(dá)到最小。圖17 優(yōu)化泵功率