高中數學 第二章 數列 2.4 等比數列 2.4.2 等比數列的性質及應用課件 新人教A版必修5.ppt

2 4 2等比數列的性質及應用 等比數列的常用性質 1 若m n p q m n p q n 則am an ap aq 特例 若m n 2p m n p n 則am an 2 an am qn m m n n 3 在等比數列 an 中 每隔k項取出一項 取出的項 按原來順序組成新數列 該數列仍然是等比數列 公比為qk 1 4 數列 an 為等比數列 則數列 an 為不等于0的常數 仍然成等比數列 5 等比數列的單調性當a1 0 q 1或a10 01時 數列 an 為遞減數列 當q 1時 數列 an 為常數列 當q 0時 數列 an 為擺動數列 練一練1已知在等比數列 an 中 若a1a9 9 則a4a6 a 3b 3c 9d 9答案 c練一練2已知數列 an 是遞增的等比數列 a2 2 a4 8 則公比q 解析 a2 2 a4 8 q2 4 q 2 又數列 an 是遞增數列 q 2 答案 2 探究一 探究二 探究三 探究一等比數列性質的應用等比數列中的有些計算比較麻煩 但適當地利用等比數列的性質 可以簡化計算 典型例題1已知數列 an 為等比數列 1 若an 0 且a2a4 2a3a5 a4a6 25 求a3 a5的值 2 若a1 a2 a3 7 a1a2a3 8 求數列 an 的通項公式 思路分析 利用等比數列的通項及性質求解 探究一 探究二 探究三 解 1 a2a4 2a3a5 a4a6 25 且數列 an 是等比數列 又an 0 a3 a5 5 探究一 探究二 探究三 變式訓練1 已知遞增的等比數列 an 中 a2 a8 3 a3 a7 2 則 解析 an 是遞增的等比數列 a3a7 a2a8 2 又a2 a8 3 a2 a8是方程x2 3x 2 0的兩根 則a2 1 a8 2 q6 2 q3 答案 探究一 探究二 探究三 探究二靈活設項求解等比數列在等比數列中 靈活設項是非常重要的 一般來說 當三個數成等比數列時 可設這三個數分別為a aq aq2或 a aq 此時公比為q 當四個數成等比數列時 可設這四個數分別為a aq aq2 aq3 公比為q 當四個數均為正 負 數時 可設為 aq aq3 公比為q2 探究一 探究二 探究三 典型例題2有四個數 其中前三個數成等差數列 后三個數成等比數列 并且第一個數和第四個數的和是16 中間兩個數的和是12 求這四個數 思路分析 根據條件 用兩個未知數表示這四個數 探究一 探究二 探究三 所以 當a 4 d 4時 所求四個數為0 4 8 16 當a 9 d 6時 所求四個數為15 9 3 1 故所求四個數為0 4 8 16或15 9 3 1 探究一 探究二 探究三 探究一 探究二 探究三 變式訓練2 三個數成等比數列 其積為512 若第一個數與第三個數各減去2 則這三個數成等差數列 求這三個數 探究一 探究二 探究三 探究三等差 等比數列的綜合問題1 解有關等差 等比數列有關的綜合問題時 應注意以下方法與技巧的應用 1 轉化思想 將非等差 比 數列轉化 構造出新的等差 比 數列 以便于利用其公式和性質解題 2 等差 比 數列公式和性質的靈活應用 3 當題中有多個數列出現時 既要研究單一數列項與項之間的關系 又要關注各數列之間的相互聯系 4 注意求通項與求和的相互聯系 2 對于存在性問題 在解答時 應先假設結論成立 然后結合已知條件運算 推理 最后根據結果確定結論 探究一 探究二 探究三 典型例題3已知數列 an 的前n項和sn 3n2 5n 數列 bn 中 b1 8 64bn 1 bn 0 問是否存在常數c 使得對任意的正整數n n n an logcbn恒為常數m 若存在 求出常數c和m的值 若不存在 請說明理由 思路分析 先求出an與bn 假設存在c與m 利用n的任意性建立c m的方程 判斷解是否存在 探究一 探究二 探究三 解 sn 3n2 5n 當n 2時 an sn sn 1 6n 2 而a1 s1 8適合上式 an 6n 2 bn 是首項為8 公比為8 2的等比數列 bn 8 8 2 n 1 83 2n 假設存在常數c和m 使an logcbn m恒成立 則6n 2 logc83 2n m 即 6 2logc8 n 2 3logc8 m對任意n n 恒成立 故存在常數c 2 使得對任意n n an logcbn恒為常數11 變式訓練3 在等差數列 an 中 公差d 0 且a2是a1和a4的等比中項 已知成等比數列 求數列k1 k2 k3 kn的通項kn 解 由題意得 a1a4 即 a1 d 2 a1 a1 3d 又d 0 所以a1 d 又成等比數列 所以該數列的公比為所以 a1 3n 1 又 a1 kn 1 d kna1 所以kn 3n 1 所以數列 kn 的通項為kn 3n 1 探究一 探究二 探究三 12345 1 對任意等比數列 an 下列說法一定正確的是 a a1 a3 a9成等比數列b a2 a3 a6成等比數列c a2 a4 a8成等比數列d a3 a6 a9成等比數列解析 根據等比數列的性質 若m n 2k m n k n 則am ak an成等比數列 即a3 a6 a9成等比數列 故選d 答案 d 12345 2 若1 a1 a2 4成等差數列 1 b1 b2 b3 4成等比數列 則的值等于 解析 1 a1 a2 4成等差數列 3 a2 a1 4 1 a2 a1 1 又1 b1 b2 b3 4成等比數列 設其公比為q 則 1 4 4 且b2 1 q2 0 b2 2 答案 a 12345 3 若等比數列 an 滿足a2a4 則 解析 數列 an 是等比數列 a1a5 a1a5 a2a4 a2a4 a2a4 2 答案 12345 4 在等比數列 an 中 a1 a2 30 a3 a4 120 則a5 a6